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% The Project Gutenberg EBook of Sur les Principes Fondamentaux de la     %
% Théorie des Nombres et de la Géométrie, by Hermann Laurent              %
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% This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with        %
% almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or    %
% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included     %
% with this eBook or online at www.gutenberg.org                          %
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% Title: Sur les Principes Fondamentaux de la Théorie des Nombres et de la Géométrie
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% Author: Hermann Laurent                                                 %
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% Release Date: July 10, 2010 [EBook #33132]                              %
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% Language: French                                                        %
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% Character set encoding: ISO-8859-1                                      %
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% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK LA THÉORIE DES NOMBRES ***    %
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\def\ebook{33132}
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%% Packages and substitutions:                                      %%
%%                                                                  %%
%% book:     Required.                                              %%
%% inputenc: Standard DP encoding. Required.                        %%
%% fontenc:  T1 font encoding. Required.                            %%
%% babel:    French language features. Required.                    %%
%%                                                                  %%
%% calc:     Infix arithmetic. Required.                            %%
%%                                                                  %%
%% ifthen:   Logical conditionals. Required.                        %%
%%                                                                  %%
%% array:    Enhanced array capabilities. Required.                 %%
%%                                                                  %%
%% amsmath:  AMS mathematics enhancements. Required.                %%
%% amssymb:  Additional mathematical symbols. Required.             %%
%%                                                                  %%
%% alltt:    Fixed-width font environment. Required.                %%
%% textcase: Apply \MakeUppercase (et al.) only to text. Required.  %%
%%                                                                  %%
%% indentfirst: Optional.                                           %%
%% textcase: Apply \MakeUppercase (et al.) only to text, not math.  %%
%%           Required.                                              %%
%%                                                                  %%
%% fancyhdr: Enhanced running headers and footers. Required.        %%
%%                                                                  %%
%% geometry: Enhanced page layout package. Required.                %%
%% hyperref: Hypertext embellishments for pdf output. Required.     %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Producer's Comments:                                             %%
%%                                                                  %%
%%   Minor spelling and punctuation corrections are marked with     %%
%%   \DPtypo{original}{corrected}. Other changes and retentions     %%
%%   are [** TN: noted] in the file.                                %%
%%                                                                  %%
%%   The original's use of \cos h and \sin h for the hyperbolic     %%
%%   trig functions is modernized. Cos is replaced by cos.          %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Compilation Flags:                                               %%
%%                                                                  %%
%%   The following behavior may be controlled with a boolean flag.  %%
%%                                                                  %%
%%   ForPrinting (false by default):                                %%
%%   Compile a print-optimized PDF file. Set to false for screen-   %%
%%   optimized file (pages cropped, one-sided, blue hyperlinks).    %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% PDF pages: 121 (if ForPrinting set to false)                     %%
%% PDF page size: 5.25 x 8in (non-standard)                         %%
%% PDF bookmarks: created, point to ToC entries                     %%
%% PDF document info: filled in                                     %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Compile History:                                                 %%
%%                                                                  %%
%% July, 2010: adhere (Andrew D. Hwang)                             %%
%%             texlive2007, GNU/Linux                               %%
%%                                                                  %%
%% Command block:                                                   %%
%%                                                                  %%
%%     pdflatex x2                                                  %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% July 2010: pglatex.                                              %%
%%   Compile this project with:                                     %%
%%   pdflatex 33132-t.tex ..... TWO times                           %%
%%                                                                  %%
%%   pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6)                 %%
%%                                                                  %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\listfiles
\documentclass[12pt]{book}[2005/09/16]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% PACKAGES %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\usepackage[latin1]{inputenc}[2006/05/05] %% DP standard encoding
\usepackage[T1]{fontenc}

\usepackage[french]{babel}    % the language

\usepackage{calc}[2005/08/06]

\usepackage{ifthen}[2001/05/26]  %% Logical conditionals

\usepackage{array}

\usepackage{amsmath}[2000/07/18] %% Displayed equations
\usepackage{amssymb}[2002/01/22] %% and additional symbols

\usepackage{alltt}[1997/06/16]   %% boilerplate, credits, license

\usepackage{textcase}[2004/10/07]

% for running heads; no package date available
\usepackage{fancyhdr}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%             Conditional compilation switches            %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%        Set up PRINTING (default) or SCREEN VIEWING      %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% ForPrinting=true (default)           false
% Letterpaper                          Cropped pages
% Asymmetric margins                   Symmetric margins
% Black hyperlinks                     Blue hyperlinks
\newboolean{ForPrinting}

%% COMMENT the next line for a SCREEN-OPTIMIZED VERSION of the text %%
%\setboolean{ForPrinting}{true}

%% Normalize punctuation?
\newboolean{NormalizePunctuation}
% COMMENT the next line to reproduce the book's punctuation
\setboolean{NormalizePunctuation}{true}

%% Initialize values to ForPrinting=false
\newcommand{\Margins}{hmarginratio=1:1}     % Symmetric margins
\newcommand{\HLinkColor}{blue}              % Hyperlink color
\newcommand{\PDFPageLayout}{SinglePage}
\newcommand{\TransNote}{Note sur la transcription}
\newcommand{\TransNoteCommon}{%
  Ce livre a été préparé à l'aide d'images fournies par la
  Département des Mathématiques, Université de Glasgow.
}
\newcommand{\TransNoteText}{%
  \TransNoteCommon
  \bigskip

  Ce fichier est optimisée pour être lu sur un écran, mais peut être
  aisément reformater pour être imprimer. Veuillez consulter le
  préambule du fichier \LaTeX\ source pour les instructions.
}

%% Re-set if ForPrinting=true
\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{%
  \renewcommand{\Margins}{hmarginratio=2:3} % Asymmetric margins
  \renewcommand{\HLinkColor}{black}         % Hyperlink color
  \renewcommand{\PDFPageLayout}{TwoPageRight}
  \renewcommand{\TransNote}{Notes sur la transcription}
  \renewcommand{\TransNoteText}{%
    \TransNoteCommon
    \bigskip

    Ce fichier est optimisée pour imprimer, mais peut être aisément
    reformater pour être lu sur un écran. Veuillez consulter le
    préambule du fichier \LaTeX\ source pour les instructions.
  }
}{% If ForPrinting=false, don't skip to recto
  \renewcommand{\cleardoublepage}{\clearpage}
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%  End of PRINTING/SCREEN VIEWING code; back to packages  %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{%
  \setlength{\paperwidth}{8.5in}%
  \setlength{\paperheight}{11in}%
  \usepackage[body={5in,6.66in},\Margins]{geometry}[2002/07/08]
}{%
  \setlength{\paperwidth}{6in}%
  \setlength{\paperheight}{8in}%
  \raggedbottom
  \usepackage[body={5in,6.66in},\Margins,includeheadfoot]{geometry}[2002/07/08]
}

\providecommand{\ebook}{00000}    % Overridden during white-washing
\usepackage[pdftex,
  hyperfootnotes=false,
  pdfkeywords={Andrew D. Hwang, Laura Wisewell, Chuck Greif,
               Project Gutenberg Online Distributed Proofreading Team,
               University of Glasgow Department of Mathematics},
  pdfstartview=Fit,    % default value
  pdfstartpage=1,      % default value
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  linktocpage=false,   % default value
  pdfpagelayout=\PDFPageLayout,
  pdfdisplaydoctitle,
  pdfpagelabels=true,
  bookmarksopen=true,
  bookmarksopenlevel=1,
  colorlinks=true,
  linkcolor=\HLinkColor]{hyperref}[2007/02/07]

%%%% Re-crop, squash screen-formatted version, omit blank verso pages
\ifthenelse{\not\boolean{ForPrinting}}{%
  \hypersetup{pdfpagescrop= 30 30 402 566}%
  \raggedbottom%
  \renewcommand{\cleardoublepage}{\clearpage}
}{}% Else do nothing

% Do this here to avoid numerous hyperref warnings from accents
\hypersetup{pdftitle={The Project Gutenberg eBook \#\ebook:%
  \texorpdfstring{Sur les principes fondamentaux de la théorie des nombres et de la géométrie}{Sur les principes fondamentaux de la theorie des nombres et de la geometrie}},
  pdfauthor={H. Laurent}}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% COMMANDS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%% Fixed-width environment to format PG boilerplate %%%%
% 9.2pt leaves no overfull hbox at 80 char line width
\newenvironment{PGtext}{%
\begin{alltt}
\fontsize{9.2}{10.5}\ttfamily\selectfont}%
{\end{alltt}}


%% Page separator stub: \DPPageSep{png number}{folio number}
\newcommand{\DPPageSep}[2]{%
  % \phantomsection\label{page:#2}%
}%


%% Titles and running heads
\newcommand{\CtrHeading}[1]{%
  {\footnotesize\scshape\MakeTextLowercase{#1}}%
}

\newcommand{\ChapHeading}{\centering\normalfont}

\newcommand{\SetPageNumbers}{%
  \ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{%
    \fancyhead[RO,LE]{\thepage}% End of ForPrinting
  }{%
    \fancyhead[R]{\thepage}%
  }%
}

\newcommand{\SetCatalogPageNumbers}{%
  \renewcommand{\thepage}{--- \arabic{page}\ ---}%
  \fancyhead[C]{\thepage}
  \thispagestyle{empty}
  \footnotesize\stretchyspace%
}

\newcommand{\SetRunningHeads}[1]{%
  \setlength{\headheight}{15pt}%
  \fancyhead[C]{\CtrHeading{#1}}%
}

%% Common initialization for Chapter-like units
\newcounter{ChapNo}% For internal bookkeeping

\newcommand{\ChapInit}[1]{%
  \clearpage\fancyhf{}
  \cleardoublepage
  \refstepcounter{ChapNo}%
  \phantomsection\pdfbookmark[0]{#1}{\theChapNo}%
  \thispagestyle{empty}%
  \SetPageNumbers%
}

%\Chapter{Running Head}{ToC Entry}}{Title}
\newcommand{\Chapter}[4]{%
  \clearpage\fancyhf{}\cleardoublepage%
  \thispagestyle{empty}%
  \ifthenelse{\equal{#3}{Introduction}}{%
    \begin{center}
      \large SUR LES PRINCIPES FONDAMENTAUX \\[12pt]
      \Large\textbf{DE LA THÉORIE DES NOMBRES} \\[12pt]
      \normalsize ET DE LA GÉOMÉTRIE
    \end{center}
    \vspace*{12pt}%
    \hrule
    \vspace*{24pt}%
    \section*{\large\ChapHeading\MakeUppercase{#3}}
    \begin{center}
      \vspace*{-0.5\baselineskip}%
      \tb[0.5in]
      \vspace*{0.5\baselineskip}%
    \end{center}
  }{%
    \section*{\large\ChapHeading\MakeUppercase{#3}}
    \subsection*{\footnotesize\ChapHeading\MakeUppercase{#4}}
    \vspace*{\baselineskip}%
  }

  \SetRunningHeads{#1}%
  \SetPageNumbers
  \addcontentsline{toc}{chapter}{#2}
}

\newcommand{\Section}[2][]{%
  \setcounter{footnote}{0}%
  \subsection*{\normalsize\ChapHeading\textsc{\MakeLowercase{#2}}}
  \ifthenelse{\not\equal{#1}{}}{\addcontentsline{toc}{section}{#1}}{}%
}

\makeatletter
\renewcommand{\l@chapter}{\@dottedtocline{0}{0em}{3.5em}}
\renewcommand{\l@section}{\@dottedtocline{0}{0em}{3.5em}}
\makeatother

\AtBeginDocument{%
  \renewcommand{\contentsname}{%
    {\centering \vspace*{-2\baselineskip}\normalsize TABLE DES MATIÈRES\\[16pt]
      \tb\vspace*{-2\baselineskip}\par}
  }
}

%% Convenience macros
\newcommand{\Tag}[1]{\tag*{#1}}
\newcommand{\tb}[1][1in]{\rule{#1}{0.5pt}}

\newlength{\Skip}
\newcommand{\DPtypo}[2]{#2}
\newcommand{\DPnote}[1]{}
\newcommand{\Add}[1]{\DPtypo{}{#1}}

\renewcommand{\(}{{\upshape(}}
\renewcommand{\)}{{\upshape)}}

\newcommand{\Dots}{\ldots\ldots}
\newcommand{\DotRow}[1]{\hdotsfor[6]{#1}}
\newcommand{\LBrace}{\left.}
\newcommand{\RBrace}{\right\}}
\newenvironment{eqnar}[1]{%
  \begin{array}{*{#1}{r@{\:}l@{\:}}r}
  }{
  \end{array}
}

\newcommand{\dd}{\partial}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\DeclareInputText{176}{\ifmmode{{}^\circ}\else\textdegree\fi}
\DeclareInputText{183}{\ifmmode\cdot\else\textperiodcentered\fi}

%% French abbreviations
\DeclareMathOperator{\Cos}{cos} %[** TN: No mathematical significance of case]
\DeclareMathOperator{\Cosh}{cosh}
\DeclareMathOperator{\tg}{tg}
\newcommand{\cqfd}{\mbox{c.\ q.\ f.\ d.}}

\newcommand{\Dr}{D\textsuperscript{r}}
\newcommand{\Nos}{N\textsuperscript{os}}

% Ordinals with no enforced following space
\newcommand{\Ord}[2]{#1\textsuperscript{#2}}
\renewcommand{\primo}{\Ord{1}{o}}
\renewcommand{\secundo}{\Ord{2}{o}}
\renewcommand{\tertio}{\Ord{3}{o}}
\renewcommand{\quarto}{\Ord{4}{o}}

%% Restyling
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

\DeclareMathSizes{12}{11}{8}{6}


%% Upright capital letters in math mode
\DeclareMathSymbol{A}{\mathalpha}{operators}{`A}
\DeclareMathSymbol{B}{\mathalpha}{operators}{`B}
\DeclareMathSymbol{C}{\mathalpha}{operators}{`C}
\DeclareMathSymbol{D}{\mathalpha}{operators}{`D}
\DeclareMathSymbol{E}{\mathalpha}{operators}{`E}
\DeclareMathSymbol{F}{\mathalpha}{operators}{`F}
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\DeclareMathSymbol{J}{\mathalpha}{operators}{`J}
\DeclareMathSymbol{K}{\mathalpha}{operators}{`K}
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\begin{center}
\begin{minipage}{\textwidth}
\small
\begin{PGtext}
The Project Gutenberg EBook of Sur les Principes Fondamentaux de la
Théorie des Nombres et de la Géométrie, by Hermann Laurent

This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or
re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included
with this eBook or online at www.gutenberg.org


Title: Sur les Principes Fondamentaux de la Théorie des Nombres et de la Géométrie

Author: Hermann Laurent

Release Date: July 10, 2010 [EBook #33132]

Language: French

Character set encoding: ISO-8859-1

*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK LA THÉORIE DES NOMBRES ***
\end{PGtext}
\end{minipage}
\end{center}

\clearpage


%%%% Credits and transcriber's note %%%%
\begin{center}
\begin{minipage}{\textwidth}
\begin{PGtext}
Produced by Andrew D. Hwang, Laura Wisewell, Chuck Greif
and the Online Distributed Proofreading Team at
http://www.pgdp.net (The original copy of this book was
generously made available for scanning by the Department
of Mathematics at the University of Glasgow.)
\end{PGtext}
\end{minipage}
\end{center}
\vfill

\begin{minipage}{0.85\textwidth}
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\pdfbookmark[0]{Note sur la Transcription}{Note sur la Transcription}
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\TransNoteText
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FRONT MATTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\DPPageSep{001}{1}%
\noindent
\parbox[c]{0.5\linewidth}{\underline{\textsl{SCIENTIA}} \\
Juin \oldstylenums{1902}.}
\hfill
\settowidth{\Skip}{\scriptsize PHYS. --- MATHÉMATIQUE}%
\parbox[c]{\Skip}{\centering\scriptsize  PHYS. --- MATHÉMATIQUE \\
\normalsize\no \textbf{20}.}
\vfil\vfil

\begin{center}
\setlength{\Skip}{12pt}%
\large SUR LES PRINCIPES FONDAMENTAUX \\[1.5\Skip]
\textbf{\LARGE DE LA THÉORIE DES NOMBRES} \\[\Skip]
ET DE LA GÉOMÉTRIE
\vfil

\scriptsize PAR \\[1.5\Skip]
\textsf{\large \bfseries H. LAURENT}
\end{center}
\vfil
\DPPageSep{002}{2}%
%[Blank Page]
\DPPageSep{003}{3}%
\cleardoublepage
\tableofcontents

\iffalse%% Table of contents is auto-generated
TABLE   DES  MATIÈRES

INTRODUCTION .........................        1

\DPtypo{Egalité}{Égalité} et addition .......................        7

Quantités ...........................        8

Propriétés des quantités ...............      9

Les nombres ..........................       17

Multiplication et division ...........       19

Les incommensurables .....................     23

Logarithmes ..........................      28

Conclusion ...........................      29

La Pangéométrie ........................      31

Les espaces et leurs dimensions ........     32

Déplacements euclidiens ..............      33

Distances ............................      38

Figures égales .........................      39

Ligne droite ..........................      40

Angles .............................      42

Trigonométrie .........................      48

Perpendiculaire à plusieurs droites ........   49

Contacts ............................      51

Longueurs ............................      56

Pangéométrie sphérique .....................      57

Trigonométrie sphérique ....................      59

Pangéométrie hyperbolique ..............  61

La géométrie euclidienne................      64

Résumé ..............................      67
\fi%% End of commented code
\DPPageSep{004}{4}%
%[Blank Page]
\DPPageSep{005}{5}%

\cleardoublepage
\phantomsection
\pdfbookmark[-1]{Matière Principale}{Matière Principale}

\mainmatter
\pagestyle{fancy}

\iffalse%[** TN: Printed by the \Chapter macro]
SUR LES PRINCIPES FONDAMENTAUX
DE LA THÉORIE DES NOMBRES
ET DE LA GÉOMÉTRIE
\fi

\Chapter{Les Nombres}{\textsc{Introduction}}{Introduction}{}

Pour bien raisonner, on admet généralement avec Pascal
qu'il faut prouver ce qui est obscur et n'employer dans les
démonstrations que des \emph{axiomes très évidents} ou des propositions
déjà accordées ou démontrées.

Mais un axiome très évident pour l'un, ne l'est pas pour un
autre, et je crois qu'il vaudrait mieux dire: pour bien raisonner
il faut ne faire qu'un petit nombre d'hypothèses, et en
chercher les conséquences logiques.

Au fond ces deux manières de concevoir l'art de raisonner
sont identiques, car un axiome très évident n'est qu'une hypothèse
très plausible. Mais si le fond est le même, la forme est différente
au moins dans les applications; la doctrine des axiomes
très évidents a peut-être l'inconvénient de laisser de côté la
question de savoir si ces axiomes ne sont pas des conséquences
les uns des autres.

Il est curieux d'observer ce qu'est pour nous un axiome très
évident; les hommes de ma génération qui ont suivi les cours
de mathématiques spéciales de notre époque, se rappellent,
sans doute, que l'on admettait comme un axiome très évident:
qu'une courbe continue ayant manifestement une tangente, toute
fonction continue devait avoir une dérivée; une première
affirmation nous laissait un peu sceptiques, mais en allant en
avant, la foi nous venait. On connaît le sort du prétendu axiome
en question.

Or parmi les axiomes que je pourrais appeler classiques, il
y en a une foule qui ne méritent ce nom que parce que nous
\DPPageSep{006}{6}%
les avons acceptés sur la simple affirmation d'un maître. On
nous a affirmé que le postulatum d'Euclide n'était pas évident,
nous nous sommes inclinés, on nous a affirmé qu'un angle
\emph{retourné} était susceptible de coïncider avec sa position ancienne,
nous nous sommes inclinés, on nous aurait affirmé le contraire,
nous nous serions également inclinés. L'éducation première a
laissé son empreinte, et nous regardons comme des axiomes
très évidents, ce que l'on nous a habitués à regarder comme
des axiomes très évidents. A l'ancienne définition de l'axiome,
\emph{vérité évidente par elle-même}, on doit donc substituer la suivante
infiniment plus exacte:

Un axiome est une proposition que l'atavisme, l'éducation,
l'autorité du maître nous ont fait accepter comme vraie sans
examen, et surtout, sans nous préoccuper de savoir ce qu'est
au fond pour nous une vérité.

Il est temps, je crois, de renoncer à la doctrine des axiomes
pour lui substituer celle des hypothèses. Dans cet ordre d'idées
une vérité est une hypothèse plausible ou une conséquence
logique d'hypothèses non contradictoires.

On sait qu'en se plaçant à ce point de vue, le grand géomètre
Sophus Lie, qui a été, peut-être sans le vouloir, un grand
philosophe, a résolu pour la première fois une question de
métaphysique sinon en nous révélant la nature de l'espace, au
moins en détruisant les idées erronées qui s'étaient propagées
à travers les âges, sur la valeur des axiomes énoncés ou sous-entendus
dans Euclide et ses continuateurs.

J'ai essayé comme l'on fait MM.~Tannery, Méray, Cosserat
de fonder la théorie des nombres sur un petit nombre d'hypothèses,
mais en suivant une tout autre voie; je me suis bien
vite aperçu que les axiomes énoncés, ou sous-entendus dans
les traités élémentaires d'arithmétique et d'algèbre, pouvaient
être considérablement réduits; et pour cela il m'a suffi de
donner une définition nette et précise de la \emph{quantité} et du
nombre. J'espère avoir réussi, sans avoir recours à des considérations
transcendantes.

Comme on le voit, je me place au point de vue \emph{utilitaire};
MM.~Méray, Tannery, Cosserat se placent à un point de vue
\emph{esthétique}. Pour moi les mathématiques pures ont pour objet
l'étude des quantités à l'aide des nombres; pour MM.~Tannery\DPtypo{,}{}
et Cosserat les mathématiques pures sont un exercice de
logique.
\DPPageSep{007}{7}%

Je ne ferai, comme on le verra, que quatre hypothèses que
je mets franchement en relief:

\primo~\emph{Je raisonne juste} (hypothèse de tout raisonnement).

\secundo~La quantité sera définie, \emph{je suppose qu'il existe des quantités}.

\tertio~\emph{Il y a des quantités susceptibles d'être divisées en autant de
parties égales qu'on voudra} (je définirai la division en parties
égales).

\quarto~\emph{Quand une quantité croît sans cesse, \(ou décroît sans cesse\)
sans devenir plus grande \(ou plus petite\) qu'une quantité fixe,
elle a une limite.}

Si l'on fait ces hypothèses, il n'y a plus \emph{d'axiomes très évidents}.
On \textsc{démontrera} que pour ajouter une somme à une
quantité, il suffit de lui ajouter chacune des parties de la somme,
qu'une différence ne change pas quand on ajoute ou quand on
retranche une même quantité à ses deux termes, etc.


\Section[Égalité et addition]{Égalité et addition}

Deux choses qui ne diffèrent en rien l'une de l'autre sont
une seule et même chose; car si elles étaient distinctes, elles
diffèreraient par une qualité quelconque, elles n'auraient pas
par exemple le même mode d'existence dans le temps ou dans
l'espace, la même couleur, etc., permettant de dire qu'elles
sont distinctes.

Il est commode de dire que deux objets qui ne diffèrent en
rien l'un de l'autre, et qui par suite ne sont qu'un seul même
objet, sont des objets identiques.

Des objets matériels ou immatériels, sans être identiques,
peuvent avoir une propriété commune; si alors, par la pensée,
on fait abstraction de toutes leurs autres propriétés, ils ne
diffèrent plus en rien, ils deviennent identiques; et pour exprimer
ce fait, on dit qu'ils sont \emph{égaux}.

Deux objets \emph{égaux} sont donc deux \DPtypo{objet}{objets} jouissant d'une
même propriété énoncée ou sous-entendue et dont on laisse de
côté les autres propriétés.

Il n'y a là rien de conventionnel de ma part, et je ne fais
que préciser une idée que nous nous faisons tous de l'\emph{égalité}.
L'égalité est une propriété toute relative, et qui dépend du
point de vue auquel on se place. Ainsi un cheval est l'égal d'une
\DPPageSep{008}{8}%
poule, quand, faisant abstraction de toutes leurs autres propriétés,
on les considère l'un et l'autre comme des animaux.

Si des objets $A$~et~$B$ sont égaux à un objet~$C$, $A$~et~$B$ sont
égaux entre eux, par \emph{définition}.

Considérons maintenant des objets $A, B, C, D,\dots$, aussi différents
les uns des autres que l'on voudra par leurs propriétés,
combinons ces objets entre eux de manière à constituer un
objet~$S$, en procédant, toutefois, comme on va le dire\ldots. On combinera
$A$~avec~$B$, en suivant une certaine règle, et l'on obtiendra
un objet~$B'$; on combinera, en suivant la même règle, $B'$~avec~$C$
et l'on obtiendra un objet~$C'$; et ainsi de suite, jusqu'à
ce que l'on trouve un objet~$S$. L'opération finale portera le nom
d'\emph{addition}, si le résultat~$S$ ne dépend pas de l'ordre suivi en
combinant $A, B, C\Add{,}\dots$. Si, par exemple, on obtient encore~$S$ en
combinant $B$~avec~$A$, ce qui donne~$A''$, puis $A''$~avec~$D$, ce qui
donne~$D''$, et ainsi de suite, en employant tous les objets considérés
dans la première série d'opérations.

S'il arrive qu'un objet puisse être supprimé sans que le résultat
de l'addition en soit altéré, on dira que cet objet est nul
ou de nul effet.

On considérera deux objets comme égaux, quand on obtiendra
l'un en ajoutant à l'autre un objet nul; en d'autres termes,
on fera abstraction de la propriété qu'ont les objets d'être associés
par addition à des objets nuls.

Le résultat de l'addition de $A, B, C\Add{,}\dots$ portera le nom de
\emph{somme} ou \emph{total} des objets $A, B, C\Add{,}\dots$; $A, B, C,\dots$ seront les
parties de la somme~$S$. Donc:

Une somme reste la même, \emph{par définition}, quel que soit
l'ordre dans lequel on ajoute ses parties.


\Section[Quantités]{Quantités}

Si un objet~$A$ peut s'obtenir en ajoutant à~$B$ un objet~$C$ qui
n'est pas nul, on dit que $A$~est plus grand que~$B$ et que~$C$; $B$~et~$C$
sont plus petits que~$A$.

Considérons maintenant une suite illimitée d'objets, $A, B, C\Add{,}\dots$.
Supposons que ces objets, en vertu d'une règle déterminée,
soient susceptibles d'être ajoutés et que la somme de deux
quelconques d'entre eux fasse partie de la suite $A, B, C\Add{,}\dots$.
Supposons en outre que deux quelconques d'entre eux $A, B$
\DPPageSep{009}{9}%
étant choisis arbitrairement, il résulte de la règle adoptée pour
faire l'addition, que $A$~soit égal à~$B$, soit plus petit que~$B$ ou
soit plus grand que~$B$; le système de ces objets $A, B, C,\dots$
formera un système de \emph{quantités homogènes} ou de \emph{même espèce}.

Ainsi des quantités homogènes sont des choses que l'on peut
ajouter, supposer égales entre elles, plus grandes ou plus petites
les unes que les autres.

Je fais cette hypothèse, qu'il existe au moins une espèce de
quantités homogènes.


\Section[Propriétés des quantités]{Propriétés des quantités}

Soit $A$ une quantité plus grande que~$B$, on obtient par définition
$A$~en ajoutant une quantité~$C$ à~$B$, on dit que $C$~est la
différence entre $A$~et~$B$. Si $+$~est le signe de l'addition, $=$~celui
de l'égalité,
\[
\Tag{(1)}
A = B + C
\]
exprimera que $A$~est la somme de $B$~et~$C$, et que $C$~est la différence
entre $A$~et~$B$; on dit que l'on obtient~$C$ en soustrayant
$B$~de~$A$. --- étant le signe de la soustraction, la formule~(1) et la
suivante
\[
A - B = C
\]
expriment la même idée.

\emph{Il est facile de prouver que la soustraction ne peut se faire que
d'une seule manière.}

\DPtypo{c'est}{C'est}-à-dire que si
\[
\Tag{(1)}
A - B = C,\qquad      A - B' = C,
\]
on a forcément
\[
B = B'.
\]

En effet, dire que $A - B = C$, c'est dire que $A = B + C$,
de même $A = B' + C$, or si $B$~et~$B'$ ne sont pas égaux, on aura
par exemple $B'= B + \alpha$ et
\[
B + C = B + \alpha + C
\]
\DPPageSep{010}{10}%
ce qui exprime que $\alpha$~est de nul effet dans l'addition, c'est-à-dire
est nul, et il est permis de ne pas en tenir compte, donc
$B = B'$. Ainsi les formules
\[
A - B = A - B'
\]
entraînent la conséquence
\[
B = B'.
\]

\emph{Il est facile de voir que si
\[
A + B = A + B'
\]
on aura aussi}
\[
B = B',
\]
car si $B' = B + \alpha$, par exemple,
\[
A + B = A + B + \alpha
\]
ce qui veut dire que $\alpha$~est nul.

\emph{Si $A > C$ on aura}
\[
A - C + C = A + C - C = A.
\]

En effet $A - C$ est, par définition, une quantité telle qu'en
lui ajoutant~$C$, on a~$A$; et $A + C - C$ est une quantité~$H$ telle
que
\[
A + C = H + C;
\]
donc, en vertu du théorème précédent, $H = A$, \cqfd

Soit maintenant $N$~une quantité plus grande que $A, B$, $A + B$
et en général assez grande pour que les opérations $N - A + B$,
$N - B - A$, $N - A + B$ soient possibles.

\emph{Par définition on a
\[
N + A + B = N + B + A,
\]
je dis que l'on aura aussi}
\[
N - A + B = N + B - A,
\]
appelons $H_{1}$~et~$H_{2}$ les deux membres de cette formule, il faut
\DPPageSep{011}{11}%
prouver que $H_{1} = H_{2}$. Or
\[
H_{1} + A = (N - A) + B + A = (N - A) + A + B
= N - A + A + B = N + B
\]
on a ensuite
\[
H_{2} + A = N + B - A + A = N + B,
\]
donc
\[
H_{1} + A = H_{2} + A
\]
d'où l'on conclut $H_{1} = H_{2}$, \cqfd

\emph{Je dis que l'on aura encore}
\[
N - A - B = N - B - A.
\]
Appelons $H_{1}$~et~$H_{2}$ les deux membres de cette formule; il faut
prouver que $H_{1} = H_{2}$. On a
\[
H_{1} + B = N - A - B + B = N - A;
\]
on a ensuite
\[
H_{2} + B = N - B - A + B = (N - B) - A + B,
\]
ou, en vertu du théorème précédent,
\[
H_{2} + B = (N - B) + B - A = N - B + B - A = N - A;
\]
donc
\[
H_{1} + B = H_{2} + B\qquad \text{et}\qquad H_{1} = H_{2}, \quad\cqfd
\]

\emph{On a}
\[
N + A + B = N + (A + B).
\]

En effet
\[
N + A + B = A + B + N = (A + B) + N = N + (A + B).
\]

\emph{On a si $A > B$}
\[
N + A - B = N + (A - B),
\]
car
\[
N + A - B = A - B + N = (A - B) + N = N + (A - B).
\]
\DPPageSep{012}{12}%

\emph{On a si $A < B$}
\[
N + A - B = N - (B - A).
\]

Soit $H_{1}$ le premier membre, $H_{2}$~le second; il faut prouver
que $H_{1} = H_{2}$. On a
\begin{align*}
H_{1} + (B - A) &= H_{1} + B - A = N + A - B + B - A = N, \\
H_{2} + (B - A) &= N - (B - A) + (B - A) = N,
\end{align*}
donc $H_{1} = H_{2}$, \cqfd

\emph{Comme conséquence}
\begin{align*}
N - A + B &= N - (A - B)\quad\text{si}\quad A > B \\
          &= N + (B - A)\quad\text{si}\quad B > A.
\end{align*}

\emph{On a}
\[
N - A - B = N - (A + B).
\]

En effet ajoutant $(A + B)$ au premier membre, on a
\[
N + (A + B) - A - B = N + A + B - A - B = N,
\]
en ajoutant $(A + B)$ au second on a aussi~$N$, ce qui démontre le
théorème.


\Section{Généralisation}

Soient $N, A, B, C,\dots$ des quantités de même espèce, une expression
de la forme
\[
\Tag{(1)}
N ± A ± B ± \Dots ± L
\]
est ce que nous appellerons un \emph{polynôme}.

Quand deux polynômes seront égaux, nous dirons qu'ils ont
la même valeur.

Les quantités~$N$ et $±A, ±B,\dots$ considérées avec les signes
$+$~ou~$-$ qui les précèdent seront les \emph{termes} du polynôme~(1)\DPtypo{,}{.}
Les termes précédés du signe~$+$ et le premier~$N$ seront dits
\emph{positifs}, ceux qui sont précédés du signe~$-$ seront dits \emph{négatifs}.
Dans un terme, il y a à considérer son \emph{signe} $+$~ou~$-$ et
sa \emph{valeur absolue}, c'est-à-dire la quantité qui entre dans ce
terme.
\DPPageSep{013}{13}%

Les quantités positives, négatives ou nulles portent le nom
de quantités algébriques.

On appelle \emph{somme} algébrique de deux quantités algébriques,
la somme de leurs valeurs absolues, précédée du signe commun,
si elles sont de même signe, et leur différence précédé
du signe de la plus grande, si elles sont de signes contraires.
(On regarde comme précédées du signe~$+$ dans ces définitions
les quantités qui ne sont précédées d'aucun signe.)

Une quantité algébrique peut être représentée par une seule
lettre, ainsi $-A$~peut être représenté par~$a$ en sorte que si
$+B$~est représenté par~$b$ on aura
\begin{align*}
a + b &= (-A) + (+B) \\
      &= B - A \quad\text{si}\quad B > A \\
      &= -(A - B) \quad\text{si}\quad B < A.
\end{align*}

Cela posé, reprenons les formules du §~précédent:
\begin{align*}
N + A + B &= N + (A + B)
\Tag{(1)} \\
%
N + A - B &= \left\{
\begin{aligned} &N + (A - B) \quad\text{si}\quad A > B %\Tag{(2)}
\\
                &N - (B - A) \quad\text{si}\quad A < B %\Tag{(3)}
\end{aligned}
\right.
%[** TN: Hack the tags]
\Tag{\smash{\settowidth{\Skip}{(2)}\parbox[c]{\Skip}{(2)\\[4pt](3)}}} \\
%
N - A - B &= N - (A + B).
\Tag{(4)}
\end{align*}

\emph{On peut les résumer en une seule
\[
\Tag{(5)}
N + a + b = N + (a + b)
\]
dans laquelle $a$~et~$b$ sont des quantités algébriques.}

En effet si $a$~et~$b$ sont positifs et égaux à $+A$~et~$+B$ on a
\[
N + A + B = N + (A + B),
\]
c'est la formule~(1). Si $a$~est positif et $b$~négatif, on peut les représenter
par $+A$~et~$-B$ et la formule~(3) revient à
\[
N + A - B = N + (A - B)
\]
ce qui est la formule~(2), etc.

Généralisons. Supposons $N$~assez grand pour que les opérations
que nous allons indiquer soient possibles, et soient $c, d\Add{,}\dots$
des quantités algébriques.
\DPPageSep{014}{14}%

Aux deux membres de la formule
\[
N + a + b = N + (a + b),
\]
ajoutons~$c$, nous aurons
\begin{align*}
N + a + b + c &= N + (a + b) + c \\
              &= N + (a + b + c),
\end{align*}
aux deux membres ajoutons~$d$, nous aurons
\begin{align*}
N + a + b + c + d &= N + (a + b + c) + d \\
                  &= N + (a + b + c + d);
\end{align*}
donc en général:
\[
N + a + b + \Dots + l = N + (a + b + \Dots + l).
\]

Généralisons encore, et appelons quantités algébriques égales,
celles qui ont même signe et même valeur absolue.

\emph{Si l'on a
\[
N + \alpha = N + \alpha',
\]
on aura}
\[
\alpha = \alpha'.
\]

En effet $\alpha$~et~$\alpha'$ sont de même signe, car si l'on avait $\alpha = +a$,
$\alpha' = -b$ on aurait
\[
N + a = N - b
\]
ce qui est absurde; si l'on suppose $\alpha$~et~$\alpha'$ positifs et égaux à
$a$~et à~$b$ on a
\[
N + a = N + b,\qquad a = b,\qquad \alpha = \alpha\DPtypo{}{'}, \text{ etc.}
\]

\emph{Une somme algébrique $a + b + \dots + l$ ne change pas de valeur
quand on intervertit l'ordre des parties $a, b,\dots\Add{,} l$.}

En effet on a vu que
\begin{align*}
N + a + b &= N + (a + b), \\
N + b + a &= N + (b + a), \\
\intertext{et comme $a + b = b + a$, on a}
N + a + b &= N + b + a.
\end{align*}
\DPPageSep{015}{15}%

Il en résulte que
\[
N + a + b + c = (N + a) + b + c = (N + a) + c + b
= N + a + c + b,
\]
donc
\begin{align*}
N + a + b + c + d &= (N + a + b) + c + d \\
                  &= (N + a + b) + d + c = N + a + b + d + c,
\end{align*}
et en général si $N$~est assez grand
\[
N + a + b \Add{+} \Dots + k + l = N + a + \Dots + l + k.
\]
\emph{Un polynôme ne change donc pas de valeur quand on intervertit
l'ordre de ses deux derniers termes.}

En ajoutant successivement $m, n\DPtypo{.,.}{,\dots}$ aux deux membres de la
formule précédente, on a
\[
N + a + b + \dots + k + l + m + \dots = N + a + \dots + l + k + m \Add{+}\dots
\]
ce qui prouve que: un polynôme ne change pas de valeur quand
on intervertit l'ordre de deux termes consécutifs quelconques,
pourvu que l'on ne touche pas au premier, et par suite \emph{on peut
placer les termes dans un ordre arbitraire, pourvu que le premier
reste à sa place \(et soit assez grand\)}.
Maintenant on a
\begin{gather*}
N + a + b = N + (a + b), \\
N + a + b + c = N + (a + b) + c = N + (a + b + c),
\end{gather*}
et en général
\[
N + a + b +  \Dots  + l = N + (a + b +  \Dots  + l).
\Tag{(1)}
\]
Or on a vu que l'on pouvait intervertir l'ordre des termes d'un
polynôme, donc
\[
N + a + b \Add{+}  \Dots  + l = N + l + b +  \Dots  + a,
\Tag{(2)}
\]
et
\[
N + l + b +  \Dots  + a = N + (l + b \Add{+}  \Dots  + a),
\Tag{(3)}
\]
donc (1),~(2) et~(3) donnent
\[
N + (a + b \Add{+}  \Dots  + l) = N + (l + b +  \Dots  + a),
\]
\DPPageSep{016}{16}%
et en vertu de la formule $\alpha = \alpha'$, qui résulte de $N + \alpha = N + \alpha'$,
on a
\[
a + b + \Dots + l = l + b \Add{+} \Dots + a\DPtypo{,}{.}
\]

Nous généraliserons encore en donnant le nom de \emph{polynôme}
à une somme algébrique quelconque, et nous pourrons dire
que \emph{la valeur d'un polynôme quelconque ne dépend pas de l'ordre
de ses termes}.

Pour trouver la valeur d'un polynôme on peut grouper les
termes arbitrairement, ainsi on a par exemple
\[
a + b + c + d + \Dots + l = a + (b + c + d) + \Dots + (k + l),
\]
en effet
\[
a + b + c + d = b + c + d + a = (b + c + d) + a
= a + (b + c + d),
\]
par suite
\begin{align*}
a + b + c \Add{+} \Dots  + k + l &= a + (b + c + d) \Add{+} \Dots  + k + l \\
                                 &= a + (b + c + d) \Add{+} \Dots  + (k + l), \text{ etc.}
\end{align*}

Il en résulte que pour trouver la valeur d'un polynôme, on
peut, en appelant $p_{1}, p_{2}\Add{,}\dots$ les termes positifs, $n_{1}, n_{2}\Add{,}\dots$ \DPtypo{ses}{les} termes
négatifs, l'écrire ainsi
\[
(p_{1} + p_{2} \Add{+} \Dots ) + (n_{1} + n_{2} \Add{+} \Dots ),
\]
et l'on voit que \emph{sa valeur s'obtient en ajoutant, d'une part les
termes positifs, d'autre part les termes négatifs, puis en faisant
la différence des sommes trouvées et en donnant au résultat le
signe de la plus grande}.

\emph{Donc pour changer le signe d'un polynôme, il suffira de
changer les signes de tous ses termes.}

\emph{Soustraire} une quantité algébrique~$b$ d'une autre~$a$, c'est
trouver une quantité~$c$ telle que
\[
a = b + c,\quad \text{alors on écrit}\quad c = a - b.
\]
Pour faire la soustraction, il suffit de changer le signe de la
quantité à soustraire et de l'ajouter à l'autre, ainsi par exemple:
\[
A - (-B) = A + B
\]
\DPPageSep{017}{17}%
car
\[
A + B - B = A.
\]

La soustraction algébrique ne peut se faire que d'une seule
manière, car si l'on avait
\[
c = a - b,\qquad    c' = a - b
\]
on aurait
\begin{gather*}
a = b + c,\qquad a = b + c' \\
b + c = b + c'
\end{gather*}
ce qui n'est possible, comme on l'a vu, que si $c = c'$.

\emph{Pour ajouter un polynôme, ou une somme algébrique à une
quantité algébrique, il suffit de lui ajouter successivement les
parties de la somme.}

Car
\[
a + (b + c + d) = (b + c + d) + a = b + c + d + a
= a + b + c + d.
\]

\textit{Corollaire.} --- Pour retrancher une somme, il suffit de changer
les signes de ses termes et de les ajouter successivement.

M.~Méray, dans son remarquable opuscule sur les quantités
dirigées, appelle somme de quantités algébriques la différence
des valeurs absolues des sommes des termes positifs et
négatifs, précédée du signe de la plus grande de ces sommes;
il en conclut qu'une somme, en vertu de cette définition, ne
change pas de valeur quand on intervertit l'ordre de ses termes,
mais il reste à prouver que
\[
a + b + c + d = \Bigl(\bigl((a + b) + c\bigr) + d\Bigr)
\]
ce qui résulte pour nous de notre définition du mot somme.


\Section[Les nombres]{Les nombres}

On appelle \emph{nombre} une locution et un signe qui la représente,
destiné à désigner avec précision une quantité et toutes
celles qui lui sont égales, de manière à les distinguer nettement
de celles qui sont plus grandes ou plus petites.
\DPPageSep{018}{18}%

Il reste à prouver que cette désignation est possible\;(\footnotemark).
\footnotetext{M.~Tannery a reproché à notre définition, que le mot quantité n'était
  pas défini, j'espère que, s'il veut jeter un coup d'{\oe}il sur ce qui précède,
  il voudra bien reconnaître que le mot \emph{quantité}, au contraire, est parfaitement
  défini.}

Si l'on choisit arbitrairement une quantité bien connue, parmi
toutes les quantités de même espèce, et si on l'appelle \emph{unité},
toutes les quantités égales à l'unité seront désignés ou, comme
l'on dit, mesurées par le mot \emph{un}.

On a donné des noms à toutes les quantités résultant de
l'addition d'unités, on a ainsi créé les mots un, deux, trois\ldots\ et
des signes $1, 2, 3\Add{,}\dots$ qui sont les \emph{nombres entiers}. Je n'ai pas
à examiner ici les règles que l'on a suivies pour soulager la
mémoire et retenir les noms des nombres entiers, il y en a un
grand nombre, et on pourrait en imaginer beaucoup d'autres.
Je retiens seulement cette définition:

Les \emph{nombres entiers} sont ceux qui servent à désigner avec
précision, ou comme l'on dit à \emph{mesurer} les quantités obtenues
en ajoutant des unités.

Bien que nous n'ayons pas encore montré comment on pouvait
désigner les quantités ne résultant pas de l'addition d'unités,
nous pouvons poser les définitions et remarques suivantes:

\emph{Mesurer} une quantité c'est dire comment on peut la former
avec l'unité et la distinguer de celles qui ne lui sont pas égales,
au moyen d'un \emph{nombre}. Deux nombres $a, b$ sont \emph{égaux}, quand
ils représentent des quantités égales, et par suite cette égalité
entre deux nombres est une identité.

Un nombre~$a$ est plus grand ou plus petit qu'un autre~$b$,
quand la quantité mesurée par~$a$ est plus grande ou plus petite
que la quantité mesurée par~$b$.

La somme des nombres $a, b, c\Add{,\dots}$ est le nombre qui mesure la
somme des quantités mesurées par $a, b, c\Add{,}\dots$\;\DPtypo{\footnotemark}{(\footnotemark)}\Add{.}
\footnotetext{Les définitions que l'on donne dans les traités d'arithmétique n'ont
  pas de sens. Exemple: «\emph{Ajouter plusieurs nombres, c'est les réunir en
  un seul qui les contienne tous!!}», il faudrait dire comment on les réunit.}

Les nombres sont d'après ces définitions de véritables \emph{quantités}
puisque leur égalité et leur addition est définie.

La soustraction des quantités ayant été définie, celle des
nombres l'est.
\DPPageSep{019}{19}%

Je n'examine pas ici comment on procède pour effectuer
réellement l'addition et la soustraction des nombres, il me
suffit de concevoir la possibilité de ces opérations en ce qui
concerne les nombres entiers. Il ne sera peut-être pas inutile
de montrer que le prétendu axiome:

%[** TN: Duplicating the original; line break, no punctuation at font change]
\emph{Une différence de deux quantités ne change pas quand à
chacune d'elles on ajoute une même quantité} \\
se démontre très facilement de la manière suivante.

Soit $d$~la différence de $a$~et~$b$, en sorte que
\[
a = b + d;
\]
en ajoutant une même quantité~$q$ à~$a$ et à~$b + d$ on a
\[
a + q = b + q + d,
\]
et, comme on obtient $a + q$ en ajoutant~$d$ à $b + q$, $d$~est par
définition la différence entre $a + q$ et $b + q$, comme elle l'est
entre $a$~et~$b$.

Du reste cette proposition a été déjà implicitement démontrée,
puisque nous avons prouvé que l'on pouvait grouper arbitrairement
les termes d'une somme algébrique, ainsi
\[
(a + q) - (b + q) = a + q - b - q = a + q - q - b = a - b.
\]


\Section[Multiplication et division]{Multiplication et division}

Multiplier une quantité par un nombre entier, c'est ajouter
autant de quantités égales à celle-là qu'il y a d'unités dans l'entier
considéré.

La quantité que l'on ajoute ainsi à ses égales est le \emph{multiplicande},
l'entier égal au nombre de parties ainsi ajoutées porte
le nom de multiplicateur\DPnote{[** TN: No italics in original]}, et la somme obtenue est le \emph{produit} du
multiplicande par le multiplicateur, qui sont les \emph{facteurs} du
produit.

Le multiplicande peut d'ailleurs être un nombre.

On démontre dans tous les traités d'arithmétique, qu'un produit
de plusieurs nombres (facteurs) ne change pas quand on
intervertit l'ordre de ces nombres.

La multiplication est donc à un double point de vue une
addition: \primo~par définition; \secundo~parce que c'est une opération
\DPPageSep{020}{20}%
indépendante de l'ordre dans lequel on combine les objets sur
lesquels on opère. Si l'on se place au second point de vue,
l'objet nul est le nombre \emph{un}, car multiplier une quantité ou un
nombre par \emph{un}, c'est ne lui faire subir aucun changement.

Cette remarque a une très haute portée philosophique, et
bien qu'elle ne soit pas faite, et pour cause, dans les traités
d'arithmétique, elle donne la clef et la véritable origine des
logarithmes. Je dis \emph{et pour cause}, car ces traités ne donnant
pas la véritable définition de l'addition, il était impossible d'en
tirer une conclusion.

On apprend dans les traités d'arithmétique, à abréger l'opération
que nous avons appelée multiplication; mais ceci n'ayant
rien d'essentiel pour le but que nous poursuivons, nous laisserons
cette question de côté.

Diviser une quantité (qui le plus souvent est un nombre)
appelée \emph{dividende}, par un nombre appelé \emph{diviseur}, c'est trouver
deux nombres, l'un appelé \emph{quotient}, qui indique combien
on peut ajouter de quantités égales au diviseur pour former
une somme au plus égale au dividende, et l'autre appelée \emph{reste}
qui indique ce qui reste.

Ceci sera plus clair en indiquant la manière d'opérer: soit $D$~le
dividende et $d$~le diviseur on retranchera $d$~de~$D$. Si le reste
est supérieur à~$d$ on en retranchera encore~$d$, et ainsi de suite,
jusqu'à ce que le reste~$R$ soit moindre que~$d$; $R$~est alors le
reste cherché et si l'on a effectué $q$~soustractions, $q$~sera le
quotient, le dividende~$d$ est donc égal à ce que l'on en a retranché,
c'est-à-dire $d × q$ plus le reste.

Le lecteur connaît la définition des mots multiple, diviseur,
etc., il sait faire une division; mais peu importe, pour faire une
division on peut suivre la méthode classique, on peut en suivre
d'autres, cela m'est indifférent, je demande seulement qu'on
m'accorde la possibilité de faire l'opération.


\Section{Les nombres fractionnaires}

Supposons que l'on ait choisi une unité, et soit~$A$ une quantité
à mesurer, c'est-à-dire que l'on éprouve le besoin de désigner
avec précision, ainsi que celles qui lui sont égales, de
manière à ne pas la confondre avec les autres.

Si $A$~résulte de l'addition d'unités, nous savons comment on
\DPPageSep{021}{21}%
peut le mesurer au moyen d'un nombre entier; mais s'il en est
autrement voici comment on pourra procéder, sans affirmer
pour le moment que l'on réussira.

On partagera l'unité en parties égales, c'est-à-dire que l'on
considérera des quantités égales qui ajoutées donneront l'unité,
ces parties sont dites \emph{aliquotes}.

Commençons par partager l'unité en deux parties égales, s'il
arrive que $A$~se compose d'un certain nombre~$n$ de ces parties,
on dira que $A$~est mesuré par le nombre $\dfrac{n}{2},\dots$. S'il faut partager
l'unité en $m$~parties égales pour que $A$ résulte de l'addition
d'un certain nombre~$n$ de ces parties, on dira que $A$ est mesuré
par le nombre~$\dfrac{n}{m}$. Ces nombres tels que $\smash[t]{\dfrac{n}{m}}$ sont des nombres
fractionnaires (ou des fractions proprement dites s'ils sont
moindres que un).

Ainsi on appelle \emph{nombres fractionnaires}, ceux qui mesurent
les quantités obtenues en ajoutant des parties aliquotes de
l'unité\;(\footnotemark).
\footnotetext{Je fais ici une hypothèse: \emph{L'unité peut être partagée en parties égales},
  s'il n'en est pas ainsi, notre théorie n'a pas sa raison d'être.}

Les propriétés des fractions résultant de cette définition, je
n'ai pas à répéter ici ce qui est fort bien dit ailleurs, mais je
dois encore définir la multiplication pour ne laisser aucun équivoque
entre le lecteur et moi.

Multiplier une quantité par une fraction~$\dfrac{m}{n}$, c'est prendre
$m$~fois la $n$\ieme~partie de cette quantité; en faisant cela le produit
est formé avec le multiplicande, comme le multiplicateur est
formé avec l'unité.

Remarque, au fond et en soi, parfaitement inutile; mais qu'il
faut signaler, parce que l'on a voulu faire de cette propriété la
définition même de la multiplication, ce qui est absurde, et en
effet on peut former le multiplicateur de bien des manières
avec l'unité, et en formant le produit d'une quelconque de ces
manières avec le multiplicande on n'obtient pas toujours le
même résultat.

Je ne voudrais pas abandonner ce sujet, sans critiquer une
nouvelle définition des nombres fractionnaires qu'on tend à
imposer à la nouvelle génération.
\DPPageSep{022}{22}%

Il y a, comme je l'ai déjà fait observer ailleurs, deux espèces
de définitions. Les unes ont pour but de fixer dans l'esprit une
notion que nous possédons antérieurement, notion très claire,
mais qui a besoin d'être précisée par une propriété fondamentale
de l'objet défini, parce que cette propriété doit entrer
comme élément dans un raisonnement.

La définition n'a alors rien d'arbitraire, et dans cette définition
on doit immédiatement reconnaître l'objet défini. Si je
définis le mot fraction; comme nous savons tous ce que c'est
qu'une fraction, il ne faut pas que j'en donne une définition
bizarre, qui, bien que logiquement exacte, nous donne \textit{a~priori}
une idée qui semble en contradiction avec la réalité.

Sans doute, logiquement on peut dire qu'une fraction est
l'ensemble de deux entiers séparés par une barre\;(\footnotemark), donner à
l'ensemble de ces deux nombres certaines propriétés fondamentales
qui en feront ce que nous savons être une fraction.
\footnotetext{Quelques personnes, parmi lesquelles se trouvaient des dames dont
  la culture intellectuelle avait été très développée, et auxquelles je racontais
  que plusieurs professeurs définissaient de cette manière les nombres
  fractionnaires, non seulement ont refusé de me croire, mais même ont
  pensé que je voulais les mystifier.}

On peut encore considérer $\dfrac{a}{b}$ comme une sorte de symbole
imaginaire, ne \DPtypo{réprésentant}{représentant} qu'une impossibilité, mais pouvant
entrer utilement dans les calculs.

Ces considérations, logiquement exactes, sont antiphilosophiques
et ne peuvent que fausser l'esprit des malheureux auxquels
on les enseigne.

\emph{Une remarque qui a son importance.} --- Nous avons déjà
observé que la multiplication est une des formes de l'addition,
donc à tout théorème relatif à l'addition correspond un théorème
relatif à la multiplication, qu'il n'y a pas besoin de démontrer
de nouveau. Exemple:

Une différence ne change pas quand on ajoute une même
quantité à ses deux termes. Donc:

Un quotient ne change pas quand on multiplie le dividende
et le diviseur par un même nombre.

Dans la théorie de la multiplication les nombres négatifs sont
les nombres de la forme~$\dfrac{1}{a}$.
\DPPageSep{023}{23}%

Il y a en arithmétique comme en géométrie une loi de dualité.


\Section[Les incommensurables]{Les incommensurables}

Il me reste à montrer comment on peut mesurer les quantités
que l'on ne peut pas obtenir en ajoutant des parties aliquotes
de l'unité, et j'aurai pleinement justifié la définition que j'ai
donnée du \emph{nombre}.

Je vais avoir besoin de deux principes qui pour être compris
n'ont pas besoin d'être démontrés, mais seulement expliqués.

Une quantité qui varie de manière à différer d'une quantité
fixe, d'aussi peu que l'on veut, a cette quantité fixe pour limite.
Ainsi on appellera \emph{limite} d'une quantité variable~$V$, une quantité
fixe~$L$ telle que la valeur absolue de $V - L$ puisse être
supposée moindre que toute \DPtypo{quantitée}{quantité} donnée, si petite que
l'on voudra. Suivant les cas $V$~pourra ou ne pourra pas devenir
rigoureusement égale à~$L$.

\textit{Premier principe.} --- Si $N$~est un nombre croissant de manière
à dépasser tout nombre donné, $\dfrac{1}{N}$~aura zéro pour limite.
Car $\dfrac{1}{N}$~décroît quand $N$~croît et quand $N$~est un entier suffisamment
grand la $N$\ieme~partie de l'unité devient aussi petite que
l'on veut et moindre qu'une quantité donnée~$\delta$; en effet en ajoutant~$\delta$
un nombre de fois suffisamment grand à lui-même on finira
par obtenir un nombre qui dépassera l'unité, en appelant~$N$ le
nombre de fois on aura
\[
N\delta > 1,\qquad \delta > \frac{1}{N}.
\]

\textit{Deuxième principe.} --- Si une quantité variable~$V$ croît sans
cesse en restant inférieure à une quantité fixe~$A$ elle a une limite
au plus égale à~$A$, qui est la plus petite des quantités qu'elle ne
peut surpasser. De même quand une quantité~$V$ \DPtypo{décroit}{décroît} sans
cesse en restant supérieure à une quantité fixe~$A$ elle a une
limite au moins égale à~$A$.

Soit maintenant $A$~une quantité qui ne puisse s'obtenir en
ajoutant des parties aliquotes de l'unité. Partageons l'unité en
$m$~parties égales si c'est possible, $A$~sera compris par exemple
\DPPageSep{024}{24}%
entre $n$~fois et $n + 1$~fois l'unité. Si $m$~est assez grand, on
aura une idée assez exacte de cette quantité~$A$ et de celles qui lui
sont égales, en disant qu'elle est comprise entre deux quantités
mesurées par les nombres $\dfrac{n}{m}$~et~$\dfrac{n + 1}{m}$; et si l'on appelle
commensurables tous les nombres entiers ou fractionnaires,
on donnera une idée exacte de la quantité~$A$ si l'on indique un
moyen de calculer tous les nombres commensurables, mesurant
les quantités plus grandes que $A$~et les nombres commensurables
mesurant les quantités plus petites que~$A$. Et en effet
si l'on fait cela, on apprendra que $A$~est compris entre les $n$
\Ord{$m$}{mes} et les $n + 1$\DPtypo{,}{} \Ord{$m$}{mes} de l'unité, $m$~étant aussi grand que l'on
voudra, et si l'on pouvait ainsi définir une autre quantité~$B$
différente de~$A$, la différence $B - A$ serait par exemple supérieure
à la \Ord{$\mu$}{me}~partie de l'unité et $B$~ne pourrait pas alors être
compris entre les $\nu$~et les $\nu + 1$ \Ord{$µ$}{mes} parties de l'unité, si $A$~était
déjà compris entre ces limites.

Le nombre ainsi défini est dit incommensurable, et $A$~est
incommensurable avec l'unité.

En général deux quantités sont incommensurables, ou n'ont
pas de commune mesure, quand l'une étant prise pour unité,
l'autre est incommensurable avec celle-ci.

On peut dire qu'un nombre incommensurable est la limite
commune aux nombres commensurables plus grands et plus
petits que lui; les premiers allant en décroissant et les seconds
en croissant sans cesse.


\Section{Calcul des nombres incommensurables\DPtypo{.}{}}

L'addition et la soustraction ont été définies d'une manière
générale, mais la multiplication et la division n'ont encore
aucun sens quand il s'agit de nombres incommensurables.

On définira comme il suit le produit $a × b$. Soient $\alpha$~et~$\alpha'$
deux nombres commensurables et variables tels que
\[
\alpha < a < \alpha',
\]
le premier croissant, le second décroissant, et ayant pour
limite commune~$a$. Soient $\beta$~et~$\beta'$ deux nombres choisis d'une
manière analogue relativement à~$b$.
\DPPageSep{025}{25}%

Les produits $\alpha\beta$~et~$\alpha'\beta'$ iront, le premier en croissant, le
second en décroissant; un nombre~$\alpha\beta$ restant constamment
inférieur à un quelconque, bien déterminé, des nombres~$\alpha'\beta'$;
les nombres $\alpha\beta$ ont donc une limite, les nombres $\alpha'\beta'$ aussi,
pour une raison analogue. Ces deux limites sont égales; en
effet, posant
\[
\alpha' = \alpha + x,\qquad \beta' = \beta + y,
\]
on a
\[
\alpha'\beta' = \alpha\beta + \alpha y + \beta x + xy.
\]
Or $x$~et~$y$ diffèrent de zéro d'aussi peu que l'on veut, $\alpha'\beta'$~et~$\alpha\beta$
diffèrent l'un de l'autre d'aussi peu que l'on voudra, et par
suite de la limite de~$\alpha\beta$, par exemple; $\alpha\beta$\DPtypo{,}{}~et~$\alpha'\beta'$ ont donc la
même limite.

Le quotient de $\dfrac{a}{b}$ pourra être défini comme un nombre~$q$, tel
que
\[
a = bq;
\]
il faut montrer que $q$~existe, or il est facile de prouver en raisonnant
comme tout à l'heure que $\dfrac{\alpha}{\beta'}$~et~$\dfrac{\alpha'}{\beta}$ ont même limite~$q$.
Si l'on pose $\alpha = a - x$, $\beta = b + y$, $\smash[t]{\dfrac{\alpha}{\beta'}} = q - z$, on a
\[
a - x = (b + y)(q - z)
\]
et on voit que $bq$~différera de~$a$ d'aussi peu que l'on voudra,
donc, etc.

Il reste à montrer comment sachant approcher de $a, b$ autant
que l'on voudra, on pourra obtenir $a + b$, $a - b$, $ab$, $\dfrac{a}{b}$ avec
telle approximation que l'on voudra. C'est là une question qui
dépend de la théorie générale des erreurs et que j'ai traitée
d'une manière entièrement rigoureuse, dans ma \textit{Théorie
des opérations financières}. (Encyclopédie des aide-mémoire
Léauté.)

\DPtypo{Etant}{Étant} donné un système quelconque de quantités, il peut
arriver que, après avoir choisi une unité, et procédé comme
nous venons de le faire, on ne parvienne à désigner avec précision
qu'une partie seulement des quantités considérées. Ce
\DPPageSep{026}{26}%
système est alors ce que l'on appelle un système de quantités
\emph{complexes}, et pour les désigner toutes on est obligé de choisir
une, quelquefois deux, trois\ldots\ nouvelles unités; en appelant
$i, j\Add{,}\dots$ ces unités, toute quantité pourra se représenter par un
symbole tel que
\[
ai + bj + \dots
\]
$i, j\Add{,}\dots$ sont alors des unités complexes, mais je n'ai pas l'intention
d'entrer ici dans les détails d'une théorie exposée ailleurs.


\Section{Encore les quantités algébriques}

On a pu remarquer comment, même avant l'introduction de
l'idée de nombre, s'imposait la notion de quantité négative,
pour simplifier le langage. Nous allons retrouver le besoin de
faire usage des quantités algébriques en étudiant les opérations
sur les polynômes. On a souvent besoin de multiplier une
expression de la forme
\[
N ± A ± B ± \dots
\]
par une autre de même forme, $N, A,\dots$ désignant des nombres
et l'opération indiquée étant arithmétiquement possible. Si
l'on se place au point de vue didactique, il ne sera pas inutile
de considérer deux cas particuliers très simples $(4 - 3)
(5 + 2)$, $(4 - 3) (5 - 2)$ et de montrer comme il serait difficile
d'arriver directement à une règle générale, sans faire usage
du langage algébrique pour condenser le raisonnement, même
en supposant les termes des polynômes que l'on considère
entiers.

Sur ces exemples, on fera entrevoir la simplification introduite
en faisant la convention suivante:

On appelle produit de deux quantités algébriques le produit
de leurs valeurs absolues précédé du signe commun, si elles
sont de mêmes signes, et du signe~$-$ si elles sont de signes
contraires. Alors pour multiplier deux binômes dans le cas \DPtypo{ou}{où}
les valeurs absolues des termes sont entières, on voit qu'il
suffit de multiplier chaque terme du premier algébriquement
par chaque terme du second, et d'ajouter, algébriquement
aussi, les produits obtenus.
\DPPageSep{027}{27}%

Cet énoncé en condense un grand nombre d'autres, et il est
alors naturel de se demander si l'on ne pourrait pas profiter
des avantages que l'on a retirés des considérations algébriques
pour simplifier l'énoncé des résultats, et appliquer ces considérations
à la démonstration des théorèmes découverts, et même
à leur généralisation.

En se plaçant sur le terrain algébrique, on observera que
pour multiplier un polynôme quelconque positif
\[
N + a + b + c + d,
\]
où $N$~est suffisamment grand, par un entier,~$3$, cela revient à
former
\[
N + a + b + c + d + N + a + b + c + d + N + a + b + c + d,
\]
\DPtypo{où}{ou} $3N + 3a + 3b + 3c + 3d$\DPtypo{\ldots}{.} Pour le multiplier par une fraction~$\dfrac{3}{4}$,
il faudra en prendre les~$\dfrac{3}{4}$, le quart est
\[
\frac{N}{4} + \frac{a}{4} + \frac{b}{4} + \frac{c}{4} + \frac{d}{4},
\]
car en multipliant ce nouveau polynôme par~$4$, on reproduit
l'ancien, et les $\dfrac{3}{4}$ du polynôme seront
\[
\frac{3}{4}\, N + \frac{3}{4}\, a + \frac{3}{4}\, b + \frac{3}{4}\, c + \frac{3}{4}\, d.
\]

Si le multiplicateur est incommensurable, on le remplacera
par un des nombres~$\alpha$ commensurables plus petits que lui, puis
par un des nombres commensurables plus grands et on passera
aux limites. On verra ainsi que pour multiplier un polynôme
représentant un nombre positif (arithmétique) par un nombre,
il suffit de multiplier les termes du polynôme par ce nombre
en conservant les signes, c'est-à-dire en observant la règle des
signes.

Si l'on veut multiplier un polynôme négatif par un terme
positif, on multipliera la valeur absolue du polynôme par le
monôme et on changera le signe du résultat. Or il est facile de
voir qu'en opérant ainsi cela revient à multiplier chaque terme
\DPPageSep{028}{28}%
du polynôme par le monôme, algébriquement, et à ajouter
algébriquement les produits ainsi obtenus, etc.

La considération des quantités négatives s'impose donc,
comme moyen d'abréger le langage et avant toute interprétation
concrète; et sans qu'il soit nécessaire de faire de nouvelles
hypothèses ou de poser des axiomes très évidents.


\Section[Logarithmes]{Les logarithmes}

Les nombres sont de deux manières différents des quantités.
On peut en effet définir leur addition de deux manières différentes:
\primo~à la manière ordinaire; \secundo~en considérant leur multiplication
comme une addition, car un produit jouit de la
propriété
\begin{align*}
abc \dots &= bca \dots = \dots \\
abcd\dots &= \bigl((ab)c\bigr)d \dots;
\end{align*}
l'objet nul est le nombre~$1$.

En se plaçant à ce second point de vue on peut représenter
les nombres, les \emph{mesurer} comme il suit:

On choisira l'un d'eux~$B$ pour unité, on lui donnera, pour
éviter toute confusion, le nom de base et on le représentera
par le symbole~$[1]$, alors $1$~étant l'objet nul sera représenté
par~$[0]$. Les nombres entiers résultant de l'addition d'unités,
à savoir $B^{2}, B^{3}\Add{,}\dots$ seront représentés par $[2], [3], \dots$.

Si un nombre~$A$ ne résulte pas de l'addition d'unités (n'est
pas de la forme~$B^{n}$), on partagera\;(\footnotemark) l'unité~$B$ en $n$~parties
égales à~$\sqrt[n]{B}$ et l'on dira que $A$~contient $m$~de ces parties et est
égal à~$\sqrt[n]{B^{m}}$; il sera représenté par~$\genfrac{[}{]}{0pt}{0}{m}{n}$\Add{.}
\footnotetext{Il faudra d'ailleurs démontrer que les nombres considérés au
  second point de vue, peuvent être partagés en parties égales, où que
  $\sqrt[n]{B}$~existe.}

Il pourra arriver que $A$ ne puisse pas se mettre sous la
forme~$\sqrt[n]{B^{m}}$, alors le nombre représentant~$A$ sera incommensurable
(dans la nouvelle numération) et on le définira à la manière
ordinaire.
\DPPageSep{029}{29}%

Les nombres~$[p]$ sont ce qu'on appelle les logarithmes des
nombres~$p$ dans la base~$B$ et l'on a
\[
[p] + [q] = [pq];
\]
toute la théorie des logarithmes est contenue dans cette formule\;(\footnotemark).
\footnotetext{Si l'on veut changer de \emph{base}, c'est-à-dire d'\emph{unité}, il faudra multiplier
  les nombres~$[n]$ par le nombre~$\left[\dfrac{1}{B}\right]$.}


\Section[Conclusion]{Conclusion}

En précisant la notion de quantité et la notion de nombre,
en donnant de bonnes définitions de ces mots, on assoit, on
voudra bien le reconnaître, la théorie des nombres ou la
mathématique pure, sur des bases absolument inébranlables.
Et maintenant si l'on veut comparer notre manière de procéder
avec celles de MM.~Tannery, Méray, Cosserat, on voudra bien
accorder que la nôtre:

\primo~Est toute aussi simple et certainement plus accessible
aux jeunes intelligences qui ne sont pas familiarisées avec les
subtilités de la métaphysique;

\secundo~Qu'en refusant de fonder la théorie des nombres sur la
considération de la quantité, on n'en est pas moins obligé,
pour arriver à faire une application quelconque, à refaire au
moins l'équivalent de ce que nous avons commencé par faire
au début;

\tertio~Que la mathématique étant la science qui a pour but
l'étude des relations exactes et nécessaires de grandeur, de
forme et de position des objets accessibles à nos sens,
MM.~Tannery, Méray et Cosserat ne font pas des mathématiques,
mais de la métaphysique. C'est évidemment leur droit;
je leur accorde même qu'au point de vue purement esthétique,
leurs méthodes ont certainement quelque chose de séduisant,
mais elles sont beaucoup moins simples et moins naturelles
que les nôtres et, sous une apparente rigueur, elles ne sont
peut-être pas toujours à l'abri de quelques objections.

Si le lecteur pouvait m'adresser la parole, il me demanderait
\DPPageSep{030}{30}%
sans doute, si chargé d'enseigner les mathématiques, mon
cours serait conforme à l'exposé de mes doctrines.

A cela je répondrai que si j'enseignais l'arithmétique à de
jeunes enfants qui n'ont jamais fait de mathématiques, je leur
définirais la quantité et le nombre, le nombre entier et le nombre
fractionnaire comme je l'ai fait, mais je postulerais la
plupart des théorèmes que j'ai démontrés.

Que si j'avais, au contraire, à faire un cours d'algèbre, je
croirais devoir me conformer entièrement à la façon dont je
viens de présenter les choses.

Que si enfin j'avais à professer un cours d'arithmologie ou
d'arithmétique supérieure, je croirais devoir me placer au
point de vue de M.~Tannery, car dans un pareil cours le
nombre entier joue le rôle prépondérant, et tout gravite autour
de lui.

\vfil
{\centering\tb\par}
\vfil
\DPPageSep{031}{31}%


\Chapter{La Pangéométrie}{La Pangéométrie}{La Pangéométrie}
{Et L'examen Des Principes Fondamentaux de la Géométrie}

On donne le nom de pangéométrie à une branche de l'analyse
pure, qui emprunte à la géométrie son langage figuré pour
exprimer des idées et des faits qu'il serait trop long de traduire
en langage ordinaire.

Dans ce qui va suivre, les mots tels que point, ligne, surface,
déplacement, vont recevoir une signification tout autre qu'en
géométrie, je prie le lecteur de vouloir bien faire table rase de
toutes les notions qu'il a pu acquérir dans cette science, et de
ne pas s'étonner des contradictions qui pourraient se présenter
tout d'abord entre nos théories et ses préjugés.

Je dois aussi le prévenir que le sinus, le cosinus et la tangente
d'un \emph{nombre} seront pour nous, non pas les \emph{lignes} dont
on étudie les propriétés en trigonométrie, mais les fonctions
définies par les séries convergentes
\begin{gather*}
\begin{aligned}
\sin x &= x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \dots, \\
\cos x &= 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \dots,
\end{aligned} \\
\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}.
\end{gather*}

On démontre, \emph{sans faire usage de considérations géométriques},
(voir mon \textit{Traité d'Analyse}, t.~I), que ces fonctions jouissent de
toutes les propriétés dont jouissent les lignes qui portent le
même nom en trigonométrie; $\pi$~est alors le nombre défini par
la série
\[
\pi = 4\left(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \dots\right)
\]
que l'on peut transformer de bien des manières.
\DPPageSep{032}{32}%


\Section[Les espaces et leurs dimensions]{Les espaces et leurs dimensions}

Un ensemble de $n$~quantités $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ sera ce que nous
appellerons les coordonnées d'un \emph{point} dans l'espace à $n$~dimensions.

Si les coordonnées $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ d'un point sont fonctions d'un
seul paramètre~$t$ (qui pourra être l'une des variables $x_{1}, \dots, x_{n}$)
on dit que le point $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ décrit une \emph{ligne} ou une \emph{variété},
ou même un \emph{espace} à une dimension.

%[** TN: Terms \DPnote{}-ed below not italicized in the original]
Si $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ sont fonctions de deux variables indépendantes,
$t, u$, on dit que le point $x_{1}, \dots, x_{n}$ décrit une \emph{variété} ou
encore un espace\DPnote{**} à deux dimensions.

Si $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ sont fonctions de trois variables indépendantes,
on dit que le point $x_{1}, x_{2}\Add{,} \dots x_{n}$ décrit une variété\DPnote{**} ou un
espace\DPnote{**} à trois dimensions, etc.

% [** TN: Removed hyphens below for consistency]
Une variété à $n-1$~dimensions est une \emph{surface} ou une
\emph{\DPtypo{hyper-surface}{hypersurface}}. Un espace à plus de trois dimensions est un
\emph{\DPtypo{hyper-espace}{hyperespace}}.

Une variété à $p$~dimensions est continue\DPtypo{,}{}\DPnote{[** TN: [sic] no italics]} quand les coordonnées
d'un quelconque de ses points sont fonctions continues
des $p$~paramètres dont elles dépendent.

Une \emph{figure} est un ensemble de variétés de mêmes dimensions
ou de variétés de dimensions différentes (points, lignes, etc\ldots).

On dit qu'une variété est le \emph{lieu} des points dont les coordonnées
satisfont à son équation, ou à ses équations. On dit
aussi qu'une variété \emph{contient} les points dont les coordonnées
satisfont à ses équations. On dit enfin que des variétés se \emph{coupent}
ou se \emph{rencontrent} quand elles contiennent un ou plusieurs
points communs en nombre fini ou infini, formant une variété
à~$0$ ou à un nombre quelconque de dimensions.

Si les coordonnées d'un point $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ sont fonctions
linéaires d'un même paramètre variable~$t$, qui peut être l'une
des variables $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$, on dit que ce point décrit une
\emph{droite}. Ainsi les équations
\[
x_{1} = a_{1} + \alpha_{1}t,\quad
x_{2} = a_{2} + \alpha_{2}t,\quad \dots,\quad
x_{n} = a_{n} + \alpha_{n}t\DPtypo{.}{}
\]
représentent une \emph{droite}. Ces équations peuvent se mettre sous
\DPPageSep{033}{33}%
la forme
\[
\frac{x_{1} - a_{1}}{\alpha_{1}} =
\frac{x_{2} - a_{2}}{\alpha_{2}} \Add{=} \dots =
\frac{x_{n} - a_{n}}{\alpha_{n}}
\]
ou même
\[
\frac{x_{1} - a_{1}}{k\alpha_{1}} = \dots = \frac{x_{n} - a_{n}}{k\alpha_{n}}.
\]

Elles sont toujours satisfaites pour les mêmes valeurs de
$x_{1}, \dots, x_{n}$ et représentent toujours la même droite, le même
lieu. $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{n}$ sont les \emph{coefficients directeurs} de la droite.

Une équation du premier degré représente ce que l'on
appelle un plan.

La théorie des équations linéaires peut se résumer comme
il suit, en employant le langage de la pangéométrie: $n$~équations
linéaires entre $n$~inconnues ont en général une solution et
une seule.

$n$~plans dans l'espace à $n$~dimensions ont, en général, un
et un seul point d'intersection.

Si cependant le déterminant~$\Delta$ des coefficients des coordonnées
est nul, sans autre condition, ces plans ne se coupent
plus, à moins que l'un des déterminants obtenus en remplaçant,
dans le précédent~$\Delta$, une ligne par les termes indépendants
des coordonnées ne soit nul; les plans se coupent alors
en une infinité de points située sur une droite (variété à une
dimension) car les $n$~équations de nos plans se réduisant à $n-1$
distinctes, $n-1$~des coordonnées deviennent fonctions de l'une
d'elles.

Si tous les mineurs du déterminant~$\Delta$ sont nuls, les plans
peuvent n'avoir aucun point commun, ils peuvent aussi se
couper suivant une variété à deux dimensions, etc.

Au fond, il ne faut voir dans ces propositions qu'une manière
imagée de représenter des faits parfaitement réels;
on appréciera seulement plus tard les avantages de la pangéométrie.


\Section[Déplacements euclidiens]{Déplacements euclidiens}

Si l'on désigne par $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ les coordonnées d'un point
quelconque~$M$ d'une figure~$F$, si l'on pose
\[
% [** TN: Succeeding text seems to refer to this substitution as (1).]
x_{1} = \DPtypo{\phi}{\phi_{1}}(y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}),\quad \dots,\quad
x_{n} = \phi_{n}(y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n})
\]
\DPPageSep{034}{34}%
et si l'on suppose que l'on puisse résoudre ces équations par
rapport aux~$y$; au point~$M$ ($x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$) de la figure~$F$ correspondra
un point~$N$ de coordonnées $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}$, appartenant
à une autre figure~$G$; $G$~est la transformée de~$F$ par la substitution~(1)\Add{.}

Si la substitution~(1) contient des paramètres variables, on
pourra, en faisant varier ces paramètres d'une façon continue,
transformer~$F$ en d'autres figures, en différant infiniment peu, si
les paramètres varient infiniment peu; il y a plus, pour certaines
valeurs des paramètres, les figures $F$~et~$G$ pourront être
identiques, de sorte que la figure~$F$ se trouvera parmi les
transformées.

Il peut même arriver qu'en effectuant sur la figure~$G$ la
substitution
\[
y_{1} = \phi_{1}(z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n}),\quad \Add{\dots,\quad}
y_{n} = \DPtypo{\phi}{\phi_{n}}(z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n}),
\]
on obtienne une des transformées de~$F$, le cas est particulièrement
intéressant et son étude approfondie a conduit à des
résultats qui ont révolutionné l'analyse et la géométrie.

Parmi les substitutions dont nous venons de parler, les plus
simples sont les substitutions orthogonales. Rappelons rapidement
leurs propriétés: Une \DPtypo{substition}{substitution} orthogonale est
définie par les équations
\[
\Tag{(1)}
\LBrace
\begin{eqnar}{5}
x_{1} &=& a_{11}y_{1} &+& a_{12}y_{2} &+& \dots &+& a_{1n}y_{n} &+& b_{1}, \\
x_{2} &=& a_{21}y_{1} &+& a_{22}y_{2} &+& \dots &+& a_{2n}y_{n} &+& b_{2}, \\
\DotRow{11} \\
x_{n} &=& a_{n1}y_{1} &+& a_{n2}y_{2} &+& \dots &+& a_{nn}y_{n} &+& b_{n};
\end{eqnar}
\RBrace
\]
les $\DPtypo{b^{n}}{b_{n}}$ sont arbitraires, mais on a entre les~$a_{ij}$ les relations
\[
\Tag{(2)}
a_{1i} a_{1j} + a_{2i} a_{2j} \Add{+} \dots + a_{ni} a_{nj}
  = \begin{cases}
% [** TN: Not modernizing \gtrless to \neq]
    0 & \text{ si } i \gtrless j\Add{,} \\
    1 & \text{ si } i = j\Add{.}
    \end{cases}\DPtypo{.}{}%[** TN: Regularized punctuation, cf. below.]
\]
On en conclut
\[
\left(\sum ±a_{12} a_{22} \dots a_{nn}\right)^{2} = 1
\]
en sorte que
\[
A = \sum ±a_{11} a_{22} \dots a_{nn}
\]
\DPPageSep{035}{35}%
est égal à $1$~ou à~$-1$. Lorsque $A = 1$, la figure qui a été transformée
par la substitution orthogonale est dite avoir subi un
\emph{déplacement} euclidien.

Ce déplacement est une \emph{translation} quand les~$a_{ij}$ sont nuls et
les~$a_{ii}$ égaux à l'unité, et une \emph{rotation} quand les~$b$ sont nuls.

Supposons $A = 1$ et posons
\[
\Tag{(3)}
\LBrace
\begin{eqnar}{3}
z_{1} &=& a_{11} y_{1} &+& \dots &+& a_{1n} y_{n}, \\
\DotRow{7} \\
z_{n} &=& a_{n1} y_{1} &+& \dots &+& a_{nn} y_{n}.
\end{eqnar}
\RBrace
\]

En vertu de~(2) on aura
\[
z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + \Dots + z_{n}^{2} =
y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + \Dots + y_{n}^{2}
\Tag{(4)}
\]
et
\[
\Tag{(5)}
\LBrace
\begin{eqnar}{4}
y_{1} &=& a_{11}z_{1} &+& a_{21}z_{2} &\Add{+&} \Dots &+& a_{n1}z_{n}, \\
\DotRow{9} \\
y_{n} &=& a_{1n}z_{1} &+& a_{2n}z_{2} &\Add{+&} \Dots &+& a_{nn}z_{n},
\end{eqnar}
\RBrace
\]
ce qui, en vertu de l'identité~(4), exige que
\[
a_{i1} a_{j1} + \Dots + a_{in} a_{jn}
  = \begin{cases}
% [** TN: Not modernizing \gtrless to \neq]
    0 & \text{ si } i \gtrless j, \\
    1 & \text{ si } i = j.
    \end{cases}%[** cf. punctuation in previous cases envt.]
\]

On remarquera qu'il suffit pour que (3)~et~(5) soient orthogonales
que
\[
\sum z_{i}^{2} = \sum y_{i}^{2}\Add{.}
\]

Quand on connaît deux substitutions orthogonales
\begin{align*}
\Dots,\quad x_{i} &= a_{i1} y_{1} + \Dots + a_{in} y_{n},\quad \Dots \\
\Dots,\quad y_{i} &= a'_{i1} z_{1} + \Dots + a'_{in} z_{n},\quad \Dots
\end{align*}
on en déduit une troisième en éliminant les~$y$ entre ces équations,
ce qui donne par exemple
\[
\Tag{(6)}
\Dots,\quad x_{i} = b_{i1} z_{1} + \Dots + b_{in} z_{n},\quad \Dots
\]
\DPPageSep{036}{36}%

Cette dernière est bien orthogonale car on a
\begin{align*}
\sum x_{i}^{2} &= \sum y_{i}^{2} \\
\sum y_{i}^{2} &= \sum z_{i}^{2} \\
\intertext{et par suite}
\sum x_{i}^{2} &= \sum z_{i}^{2}
\end{align*}
ce qui prouve, en vertu de la remarque que nous venons de
faire, que la substitution~(6) est orthogonale.

On peut former comme il suit une substitution orthogonale.

Soit $b_{ij} = -b_{ji}$ et $b_{ii} = 0$; posons
\[
\Tag{(3)}
\LBrace
\begin{eqnar}{3}
x_{1} - y_{1} &=& b_{11}(x_{1} + y_{1}) &+& \Dots &+& b_{1n}(x_{n} + y_{n}), \\
\DotRow{7} \\
x_{n} - y_{n} &=& b_{n1}(x_{1} + y_{1}) &+& \Dots &+& b_{nn}(x_{n} + y_{n}),
\end{eqnar}
\RBrace
\]
on a en multipliant la première équation par $x_{1} + y_{1}, \dots$, la dernière
par $x_{n} + y_{n}$ et en ajoutant
\[
\sum (x_{i}^{2} - y_{i}^{2})
  = \sum (b_{ij} + b_{ji}) (x_{i} + y_{i}) (x_{j} + y_{j}) = 0,
\]
donc $\DPtypo{\sum_i^2 x}{\sum x_{i}^{2}} = \sum y_{i}^{2}$, et par suite, si l'on résout le système~(3) par
rapport aux~$x$ ou aux~$y$, on aura une substitution orthogonale
générale.

Nous ferons au sujet des formules~(3) quelques remarques:

{\stretchyspace%
On peut se donner $x_{1}, \dots, x_{n}$ et $y_{1}, \dots, y_{n}$ et en déduire les~$b_{ij}$,
et bien que les équations soient à $\dfrac{n(n-1)}{2}$ inconnues, on doit
avoir $\sum x^{2} = \sum y^{2}$.}

Si l'on se donne $n - 1$ points
\[
\begin{array}{*{2}{l>{\quad}l}}
x_{11}, & x_{12}\Add{,} & \Dots\Add{,} & x_{1n} \\
x_{21}, & x_{22}\Add{,} & \Dots\Add{,} & x_{2n} \\
\DotRow{4}
\end{array}
\]
\DPPageSep{037}{37}%
et les points obtenus en déplaçant ceux-ci par les formules~(3)
\[
\begin{array}{*{2}{l>{\quad}l}}
y_{11}, & y_{12}\Add{,} & \Dots\Add{,} & y_{1n} \\
y_{21}, & y_{22}\Add{,} & \Dots\Add{,} & y_{2n} \\
\DotRow{4}
\end{array}
\]
on se donnera trop de conditions pour déterminer les~$b_{ij}$;
voyons à quelles conditions les points donnés et leurs transformés
devront satisfaire pour que les $b_{ij}$ existent.

Il est clair que $n$~systèmes obtenus en remplaçant dans~(1)
$x_{i}$~et~$y_{i}$ par $x_{ij}$~et~$y_{ij}$ devront être satisfaits.

Considérons d'abord les $n - 1$ équations
\[
\Tag{(4)}
\LBrace
\begin{eqnar}{3}
x_{11} - y_{11} &=& b_{11} (x_{11} + y_{11}) &+& \Dots &+& b_{1n} (x_{1n} + y_{1n}), \\
x_{21} - y_{21} &=& b_{11} (x_{21} + y_{21}) &+& \Dots &+& b_{1n} (x_{2n} + y_{2n}), \\
\DotRow{7}
\end{eqnar}
\RBrace
\]
$b_{11}$ étant nul elles sont à $n - 1$ inconnues $b_{12}, \dots, b_{1n}$ et elles
admettront une solution. Il en sera de même des équations
\[
\Tag{(5)}
\LBrace
\begin{eqnar}{3}
x_{12} - y_{12} &=& b_{21} (x_{11} + y_{11}) &+& \Dots &+& b_{2n} (x_{1n} + y_{1n}), \\
x_{22} - y_{22} &=& b_{21} (x_{21} + y_{21}) &+& \Dots &+& b_{2n} (x_{2n} + y_{2n}), \\
\DotRow{7}
\end{eqnar}
\RBrace
\]
pourvu que l'on ne considère que les $n - 2$ premières, car
$b_{21} = -b_{12}$ est déjà déterminé, et ainsi de suite. En résumé
pour calculer les~$b$, il suffira de se donner
\[
\begin{array}{r*{2}{>{\quad}r}rr}
x_{11}, & x_{12}, & x_{13}\Add{,} & \Dots\Add{,} & x_{1n}, \\
        & x_{22}, & x_{23}\Add{,} & \Dots\Add{,} & x_{2n}, \\
\DotRow{5} \\
&& \multicolumn{2}{r}{x_{n-1, \DPtypo{h-1}{n-1}},} & x_{n-1, n},
\end{array}
\]
et les valeurs correspondantes des~$y$. Dans ces conditions on
aura
\[
\sum x_{ij}^{2} = \sum y_{ij}^{2},
\]
quel que soit l'indice~$j$.

Les systèmes (4)\Add{,}~(5)\Add{,}~\ldots\ ont une solution et on peut grouper
leurs équations autrement.

Considérons donc d'abord les premières équations des systèmes
\DPPageSep{038}{38}%
(4),~(5),~\ldots\ si l'on y adjoint
\[
x_{1n}- y_{1n} = b_{1n} (x_{11} + y_{11}) + \Dots + b_{nn} (x_{1n} + y_{1n}),
\]
il faudra y adjoindre la condition
\[
\Tag{($a$)}
\sum x_{1i}^{2} = \sum y_{1i}^{2}.
\]

Considérons les secondes équations des systèmes (4),~(5)\Add{,}~\ldots,
on pourra y adjoindre les conditions
\begin{gather*}
x_{2,n-1} - y_{2,n-1} = \dots, \\
x_{2n} - y_{2n} = \dots, \\
\end{gather*}
pourvu que l'on ait d'abord
\[
\Tag{($b$)}
\sum x_{2i}^{2} = \sum y_{2i}^{2},
\]
et
\[
\sum (x_{1i} - x_{2i})^{2} = \sum (y_{1i} - y_{2i})^{2},
\]
ce qui, en vertu de ($a$)~et~($b$), peut s'écrire
\[
\sum x_{1i} x_{2i} = \sum y_{1i} y_{2i},
\]
et ainsi de suite.

De là résulte que à $n - 1$ points on peut faire correspondre
$n - 1$ autres points donnés, pourvu que l'on ait
\begin{align*}
\sum x_{ij}^{2} &= \sum y_{ij}^{2}, \\
\sum x_{ij} x_{kj} &= \sum y_{ij} y_{kj}.
\end{align*}


\Section[Distances]{Distances}

On appelle \emph{distance euclidienne}, ou simplement distance de
deux points $x_{1}, \dots, x_{n}$ et $y_{1},\dots\Add{,} y_{n}$, la quantité
\[
+ \sqrt{(x_{1} - y_{1})^{2} + (x_{2} - y_{2})^{2}\Add{+} \dots + (x_{n} - y_{n})^{2}};
\]
\DPPageSep{039}{39}%
c'est un \emph{invariant} de tout déplacement \DPtypo{Euclidien}{euclidien}, c'est-à-dire
une quantité qui ne change pas quand on effectue sur la figure
composée des deux points une substitution orthogonale de
déterminant~$1$ (et même~$-1$).

En effet si l'on pose
\[
\begin{eqnar}{3}
x_{1} &=& b_{1} &+& a_{11} x_{1}' &+& \Dots, \\
x_{2} &=& b_{2} &+& a_{21} x_{1}' &+& \Dots, \\
\DotRow{7} \\
y_{1} &=& b_{1} &+& a_{11} y_{1}' &+& \Dots, \\
\DotRow{7}
\end{eqnar}
\]
on a
\[
\begin{eqnar}{2}
x_{1} - y_{1} &=& a_{11} (x_{1}' - y_{1}') &+& \Dots, \\
x_{2} - y_{2} &=& a_{21} (x_{1}' \DPtypo{+}{-} y_{1}') &+& \Dots, \\
\DotRow{5}
\end{eqnar}
\]
et si la substitution considérée est orthogonale, on a bien
\[
(x_{1} - y_{1})^{2} + (x_{2} - y_{2})^{2} + \Dots =
(x_{1}' - y_{1}')^{2} + (x_2' - y_2')^{2} + \Dots
\]
\cqfd


\Section[Figures égales]{Figures égales}

Deux figures sont égales, quand on peut transformer l'une
dans l'autre au moyen d'un déplacement. Lorsque la transformation
est faite, on dit qu'on les a fait coïncider.

\emph{Lorsque la distance de deux points $A$~et~$B$ est égale à la distance
de deux autres points $A'$~et~$B'$, les figures $AB$~et~$A'B'$ sont
égales.}

En effet une translation fera coïncider les points $A$~et~$A'$, une
autre translation les fera coïncider avec le point~$O$ de coordonnées
$0, 0, \dots, 0$, les points $B$~et~$B'$ coïncideront alors avec deux
autres points $C$~et~$C'$ et comme les distances de $O$~et~$C$, de $O$~et~$C'$
sont égales, une infinité de rotations permettront de
faire coïncider $C$~et~$C'$. Donc les figures $AB$~et~$A'B'$ sont
égales.

Si l'on appelle triangle la figure formée de trois points $A,
B, C$, et si l'on appelle côtés les distances $AB, BC, AC$; deux
triangles ayant leurs côtés égaux deux à deux sont des figures
\DPPageSep{040}{40}%
égales, et en général dans l'espace à $n$~dimensions deux figures
formées chacune de $n + 1$ points dont toutes les distances sont
égales deux à deux sont des figures égales.


\Section[Ligne droite]{Étude de la ligne droite}

\emph{Par un point donné on peut faire passer une infinité de droites.}

En effet si $a_{1}, \dots, a_{n}$ sont les coordonnées du point donné, les
droites
\[
\Tag{(1)}
\frac{x_{1} - a_{1}}{\alpha_{1}} =
\frac{x_{2} - a_{2}}{\alpha_{2}} = \Dots =
\frac{x_{n} - a_{n}}{\alpha_{n}}
\]
passeront par ce point et \DPtypo{diffèreront}{différeront} entre elles par les paramètres
$\alpha_{1}: \alpha_{2}: \dots: \DPtypo{\alpha^{n}}{\alpha_{n}}$.

\emph{Par deux points donnés passe une droite et une seule.}

Si l'on exprime en effet que la droite~(1) contient encore le
point $b_{1}, \dots b_{n}$, on a pour déterminer $\alpha_{1}: \alpha_{2}\Add{:} \dots$
\[
\frac{b_{1} - a_{1}}{\alpha_{1}} = \frac{b_{2} - a_{2}}{\alpha_{2}} = \Dots.
\]

Les $\alpha_{1}: \alpha_{2}\Add{:} \dots$ sont ainsi déterminés sans ambiguïté, et l'équation
de la seule droite passant par $a_{1}, a_{2}\Add{,} \Dots$ et $b_{1}, b_{2}\Add{,} \dots$ est
\[
\frac{x_{1} - a_{1}}{b_{1} - a_{1}} = \Dots =
\frac{x_{n} - a_{n}}{b_{n} - a_{n}}.
\]

\emph{Ainsi deux droites qui ont deux points communs coïncident.}

\emph{Deux droites quelconques sont deux figures égales.}

En effet, considérons deux droites, on peut faire subir à
chacune d'elles une translation qui les fasse passer par le point
dont toutes les coordonnées sont nulles. Soit
\[
\frac{x_{1}}{a_{1}} = \frac{x_{2}}{a_{2}} = \Dots,\qquad
\frac{x_{1}}{b_{1}} = \frac{x_{2}}{b_{2}} = \Dots;
\]
leurs équations, la première passe par le point~$A$
\[
\frac{a_{1}}{\sqrt{\sum a_{i}^{2}}},\qquad
\frac{a_{2}}{\sqrt{\sum a_{i}^{2}}},\quad \Dots,
\]
\DPPageSep{041}{41}%
la seconde par le point~$B$
\[
\frac{b_{1}}{\sqrt{\sum b_{i}^{2}}},\qquad
\frac{b_{2}}{\sqrt{\sum b_{i}^{2}}},\quad\Dots,
\]
tous deux à la distance~$1$ de leur point commun, une rotation
fera coïncider les points $A$~et~$B$, elles auront alors deux points
communs et coïncideront donc, etc.

\emph{Sur toute droite passant en~$A$, il existe deux points $B$~et~$B'$
situés à égales distances de~$A$.}

En effet soit
\[
\frac{x_{1} - a_{1}}{\alpha_{1}} =
\frac{x_{2} - a_{2}}{\alpha_{2}} = \Dots = t
\]
une droite, les points $a_{1} + \alpha_{1}t, a_{2} + \alpha_{2}t, \dots$; $a_{1} - \alpha_{1}t, a_{2} - \alpha_{2}t, \dots$
sont tous deux à la distance
\[
t \sqrt{\alpha_{1}^{2} + \alpha_{2}^{2} + \Dots}
\]
de $A$ dont les coordonnées sont $a_{1}, a_{2}\Add{,} \dots$ et ce sont les seuls
points de la droite située à cette distance de~$A$, car la distance
change avec~$t$.

Soient $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}$ les coordonnées de~$B$; $b'_{1}, \dots, b'_{n}$ celles de~$B'$,
les coefficients directeurs de la droite seront à volonté
\begin{multline*}
±(a_{1} - b_{1}),\
±(a_{2} - b_{2})\DPtypo{.}{,}\ \Dots\Add{,}\
±(a_{n} - b_{n}) \\
\quad\text{ou}\quad
±(a_{1} - b'_{1}),\ \Dots\Add{,}\ ±(a_{n} - b'_{n}).
\end{multline*}

Nous observerons que
\[
\frac{\alpha_{1}}{\sqrt{\sum \alpha_{i}^{2}}},\qquad
\frac{\alpha_{2}}{\sqrt{\sum \alpha_{i}^{2}}},\quad\Dots,\qquad
\frac{\alpha_{n}}{\sqrt{\sum \alpha_{i}^{2}}},\qquad
\]
sont inférieurs à~$1$ en valeur absolue, ce qui permettra de les
désigner respectivement par $\cos \phi_{1}, \cos \phi_{2}, \dots, \cos \phi_{n}$ et l'on
aura
\[
\Tag{(1)}
\cos^{2} \phi_{1} + \cos^{2} \phi_{2} + \Dots + \cos^{2} \phi_{n} = 1
\]
et les \emph{nombres}~$\phi$ seront bien déterminés si on les suppose compris
entre $0$~et~$\pi$.
\DPPageSep{042}{42}%

Les équations de la droite prennent alors la forme
\[
x_{1} = a_{1} + t \cos \phi_{1},\quad \Dots,\qquad x_{n} = a_{n} + t \cos \phi_{n},
\]
et comme en vertu de~(1)
\[
\sum (x_{i} - \DPtypo{a}{a_{i}})^{2} = t^{2},
\]
$±t$ est la distance du point $x_{1}, \dots, x_{n}$ de la droite au point $a_{1}, \dots, a_{n}$.

Les points de la droite peuvent être classés en deux catégories,
les uns seront fournis par les valeurs positives de~$t$, les
autres par les valeurs négatives de~$t$.

On obtient les points de la seconde catégorie en supposant $t$
positif mais en remplaçant $\phi_{1}, \phi_{2}, \dots, \phi_{n}$ par $\pi - \phi_{1}, \pi - \phi_{2}, \Dots$
(ou par $\pi + \phi_{1}, \pi + \phi_{2}, \dots$). On dit que les premiers sont situés
dans la direction positive de la droite et que les autres sont
situés dans la direction opposée, et l'on peut évidemment
prendre pour direction positive celle que l'on veut.


\Section[Angles]{Angles}

Considérons deux droites, mettons leurs équations sous les
formes
\begin{align*}
\Tag{(1)}
x_{1} &= a_{1} + t \cos \phi_{1},\quad \Dots,\qquad
x_{n}  = a_{n} + t \cos \phi_{n}, \\
\Tag{(2)}
y_{1} &= b_{1} + u \cos \psi_{1},\quad \Dots,\qquad
y_{n}  = b_{n} + u \cos \psi_{n};
\end{align*}
leurs directions positives sont alors déterminées. Il est facile
de voir que si l'on pose
\[
\cos V = \cos \phi_{1} \cos \psi_{1}
       + \cos \phi_{2} \cos \psi_{2} + \Dots
       + \cos \phi_{n} \cos \psi_{n}\DPtypo{.}{,}
\]
$\cos V$ sera compris entre $+1$~et~$-1$, et que $\cos V$~restera le
même quand on déplacera la figure formée par les deux droites.
En effet
\begin{align*}
\cos V &= \frac{(x_{1} - a_{1})(y_{1} - b_{1}) + \Dots
              + (x_{n} - \DPtypo{\alpha}{a}_{n})(y_{n} - b_{n})}{ut} \\
  &= -\frac{\sum\bigl[(x_{i} - a_{i} - y_{i} + b_{i})^{2} - (x_{i} - a_{i})^{2} - (y_{i} - b_{i})^{2}\bigr]}{2ut}
\end{align*}
\DPPageSep{043}{43}%
et
\[
\sum (x_{i} - a_{i} - y_{i} + b_{i})^{2},\qquad
\sum (x_{i} - a_{i})^{2},\qquad
\sum (y_{i} - b_{i})^{2}
\]
ne changent pas quand on fait une substitution orthogonale,
de plus $\cos V$ est inférieur à un, ou tout au plus égal à un, en
valeur absolue.

On a en effet
\begin{multline*}
(\cos^{2} \phi_{1} + \cos^{2} \phi_{2} + \Dots)
(\cos^{2} \psi_{1} + \cos^{2} \psi_{2} + \Dots) \\
  - (\cos \phi_{1} \cos \psi_{1} + \cos \phi_{2} \cos \psi_{2} + \Dots)^{2} \\
  = \sum (\cos \phi_{i} \cos \psi_{j} - \cos \phi_{j} \cos \psi_{i})^{2} > 0
\end{multline*}
ou
\[
1 - \cos^{2} V > 0,
\]
le nombre~$V$ compris entre $0$~et~$\pi$ qui a pour cosinus
\[
\cos \phi_{1} \cos \psi_{1} + \cos \phi_{2} \cos \psi_{2} + \Dots + \cos \phi_{n} \cos \psi_{n},
\]
est ce que l'on appelle l'angle des deux droites, ou de leurs
directions positives.

Lorsque l'on donne les droites sous la forme
\[
x_{1} = a_{1} + t\DPtypo{\alpha}{\alpha_{1}},\quad \Dots;\qquad
x_{1} = b_{1} + u\beta_{1},\quad \Dots
\]
ou
\[
\frac{x_{1} - a_{1}}{\alpha_{1}} = \Dots =
\frac{x_{n} - a_{n}}{\alpha_{n}},\quad \Dots%\Add{,}
\]
la direction positive n'est pas indiquée; on a alors
\[
\cos V = ± \frac{\alpha_{1}\beta_{1} + \alpha_{2}\beta_{2} + \Dots}
                {\sqrt{\sum \alpha_{i}^{2} \sum \beta_{i}^{2}}},
\]
et l'angle est à volonté $V$~ou~$\pi - V$.

Lorsque $V = 0$ ou~$\pi$, on dit que les deux droites sont \emph{parallèles},
elles sont de même sens quand $V = 0$.

Lorsque $V = \dfrac{\pi}{2}$, on dit qu'elles sont dans des directions
perpendiculaires, si de plus elles ont un point commun on dit
qu'elles sont perpendiculaires l'une sur l'autre.
\DPPageSep{044}{44}%

\emph{Par un point on peut toujours mener une et une seule parallèle
à une droite donnée.}

Soient $\cos \phi_{1}, \cos \phi_{2}, \dots$ les cosinus directeurs de la droite donnée,
$a_{1}, a_{2}, \dots$ les coordonnées du point donné, $\cos \psi_{1}, \cos \psi_{2}, \dots$
les cosinus directeurs de la droite cherchée, ses équations seront
\[
x_{1} = a_{1} + t \cos \DPtypo{\phi}{\psi}_{1},\qquad
x_{2} = a_{2} + t \cos \psi_{2},\quad \Dots%\Add{,}
\]
et l'on devra avoir
\[
±1 = \cos \phi_{1} \cos \psi_{1} + \cos \phi_{2} \cos \psi_{2} + \Dots
\]
ce qui donne
\[
1 = (\cos \phi_{1} \cos \psi_{1} + \cos \phi_{2} \cos \psi_{2} + \Dots)^{2},
\]
ou
\[
\sum \cos^{2} \phi_{i} \sum \cos^{2} \psi_{i}
  - \left(\sum \cos \phi_{i} \cos \psi_{i}\right)^{2} = 0,
\]
ou
\[
\sum ( \cos \phi_{i} \cos \psi_{j} - \cos \phi_{j} \cos \psi_{i} )^{2} = 0
\]
ce qui ne peut avoir lieu que si
\[
\cos \phi_{i} \cos \psi_{j} - \cos \phi_{j} \cos \psi_{i} = 0,
\]
ou
\[
\frac{\cos \phi_{1}}{\cos \psi_{1}} =
\frac{\cos \phi_{\DPtypo{1}{2}}}{\cos \psi_{2}} = \Dots
  = \frac{\sqrt{\sum \cos \phi_{i}^{2}}}
         {\sqrt{\sum \cos \DPtypo{\psi_{i}}{\psi_{i}^{2}}}} = ±1.
\]
La droite cherchée est donc bien déterminée, et a pour équations
\[
x_{1} = a_{1} + t \cos \phi_{1},\qquad
x_{2} = a_{2} + t \cos \phi_{2}\Add{,}\quad \Dots.
\]

\emph{Par un point donné $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}$, mener une perpendiculaire sur
la droite.}
\[
x_{1} = a_{1} + t \cos \phi_{1},\qquad
x_{2} = a_{2} + t \cos \phi_{2},\quad \Dots.
\]

Supposons d'abord le point $b_{1}, b_{2}, \dots$, sur la droite donnée et
en coïncidence avec $a_{1}, a_{2}, \dots$, la droite cherchée aura pour
\DPPageSep{045}{45}%
équations
\[
\Tag{(1)}
x_{1} = a_{1} + u \cos \psi_{1},\qquad
x_{2} = a_{2} + u \cos \psi_{2},\quad \Dots
\]
et l'on devra avoir
\[
\Tag{(2)}
\cos \phi_{1} \cos \psi_{1} + \cos \phi_{2} \cos \psi_{2} + \Dots = 0;
\]
il en résulte qu'une infinité de droites répondent à la question car
tous les~$\psi$ moins un sont arbitraires, si l'on élimine les~$\psi$ entre
(1)~et~(2), on aura une équation satisfaite pour tous les points
des perpendiculaires en question, ce sera leur lieu, ce lieu a
pour équation
\[
(\DPtypo{x}{x_{1}} - a_{1}) \cos \phi_{1} +
(\DPtypo{x}{x_{2}} - a_{2}) \cos \phi_{2} + \Dots = 0,
\]
et comme il est du premier degré c'est un plan. On dit qu'il est
\emph{perpendiculaire} à la droite~(1). Donc \emph{par un point d'une droite
on peut mener un et un seul plan perpendiculaire à la droite}.

Supposons maintenant le point $b_{1}, b_{2}, \dots$, hors de la droite
donnée; par ce point menons le plan
\[
(x_{1} - b_{1}) \cos \phi_{1} +
(x_{2} - b_{2}) \cos \phi_{2} + \Dots +
(x_{n} - b_{n}) \cos \phi_{n} = 0.
\]
Cherchons le point où il rencontre la droite, le $t$ de ce point
sera donné par la formule
\[
\sum (a_{i} - b_{i} + t \cos \phi_{i}) \cos \phi_{i} = 0,
\]
ou, comme
\begin{gather*}
\sum \cos^{2} \phi_{i} = 1, \\
t = \sum (b_{i} - a_{i}) \cos \phi_{i}.
\end{gather*}
Les coordonnées du point de rencontre seront
\[
\Tag{(3)}
a_{1} + \cos \phi_{1} \sum (b_{i} - a_{i}) \cos \phi_{i},\quad \dots,
\]
\DPPageSep{046}{46}%
la droite passant par ce point et $b_{1}, b_{2}\Add{,} \dots$ aura pour équation
\[
\frac{x_{1} - b_{1}}{a_{1} - b_{1} + \cos \phi_{1} \sum (b_{\DPtypo{1}{i}} - a_{i}) \cos \phi_{i}} = \dots;
\]
elle sera perpendiculaire à la proposée, car on aura
\[
\sum \cos \phi_{i} \bigl[a_{i} - b_{i} + \cos \phi_{i} \sum (b_{j} - a_{j}) \cos \phi_{j}\bigr] = 0
\]
en effet cette formule se réduit à
\[
\sum (a_{i} - b_{i}) \cos \phi_{i} - \sum (b_{j} - a_{j}) \cos \phi_{j} = 0,
\]
ce qui est une identité\Add{.}

La distance~$\delta$ des points~(3) et $b_{1}, b_{2}, \dots$ que l'on appelle
distance du point $b_{1}, b_{2}, \dots$ à la droite donnée, est donnée par la
formule
\begin{align*}
\delta^{2}
  &= \sum \left[ ( a_{i} - b_{i} + \cos \phi_{i} \sum ( b_{j} - a_{j} ) \cos \phi_{j} ) \right]^{2} \\
  &= \sum \bigl[ ( a_{i} - b_{i}) \cos \phi_{j} - ( a_{j} - b_{j}) \cos \phi_{i} \bigr]^{2}.
\end{align*}

Cette distance~$\delta$ est la plus petite distance du point $b_{1}, b_{2}, \dots$
\DPtypo{a}{à} un point $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ de la droite. En effet si l'on veut rendre
\[
(x_{1} - b_{1}\DPtypo{}{)}^{2} + (x_{2} - b_{2})^{2} + \Dots = \Delta^{2}
\]
minimum avec les conditions~(1), il faudra rendre minimum
\[
\sum ( a_{i} - b_{i} + u \cos \phi_{i})^{2} = \Delta^{2}
\]
ou
\[
\Delta^{2} = u^{2} + \sum 2u \cos \phi_{i} (a_{i} - b_{i}) + \sum (a_{i} - b_{i})^{2}
\]
pour cela il faut prendre
\[
u = \sum (b_{i} - a_{i}) \cos \phi_{i},
\]
\DPPageSep{047}{47}%
et l'on a
\[
\Delta^{2} = \sum ( a_{i} - b_{i} )^{2}
  - \left[ \sum ( a_{i} - b_{i}) \cos \phi_{i} \right]^{2} = \delta^{2}.
\]

\emph{On peut mener par un point une perpendiculaire à un plan.}

En effet soit
\[
x_{1} \cos \phi_{1} + x_{2} \cos \phi_{2} + \dots + x_{n} \cos \phi_{n} + h = 0
\]
l'équation d'un plan, où on peut supposer
\[
\cos^{2} \phi_{1} + \cos^{2} \phi_{2} + \dots + \cos^{2} \phi_{n} = 1.
\]

La droite qui a pour équations
\[
\frac{x_{1} - a_{1}}{\cos \phi_{1}} =
\frac{x_{2} - a_{2}}{\cos \phi_{2}} = \dots = t
\]
sera la droite demandée; le point où elle rencontre le plan,
ou \emph{pied} de la perpendiculaire, sera donné par la formule
\[
\cos \phi_{1} ( a_{1} + t \cos \phi_{1} ) +
\cos \phi_{2} ( a_{2} + t \cos \phi_{2} ) + \dots + h = 0,
\]
ou
\[
t = \frac{a_{1} \cos \phi_{1} + \dots + a_{n} \cos \phi_{n} + h}{\sum \cos^{2} \phi_{i}}
  =  a_{1} \cos \phi_{1} + \dots + a_{n} \cos \phi_{n} + h;
\]
et $t$~est la distance du point $a_{1}, a_{2}\Add{,} \dots$ au pied, c'est ce que l'on
appelle la distance du point au plan.

Si l'on cherche à rendre
\[
\sum ( a_{j} - x_{j} )^{2} = \Delta^{2}
\]
minimum, $x_{1}, x_{2}, \dots$ désignant les coordonnées d'un point du
plan on trouve que les~$x$ doivent satisfaire aux relations
\[
( a_{i} - x_{i} ) + t \cos \DPtypo{\phi}{\phi_{i}} = 0,
\]
et par suite que $t$~est la plus courte distance du point $a_{1}, a_{2}\Add{,} \dots$
au plan.
\DPPageSep{048}{48}%

Considérons les plans
\[
x_{1} = 0,\qquad
x_{2} = 0,\quad \dots\Add{,}\qquad
x_{n} = 0;
\]
les distances du point $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}$ à ces plans seront précisément
les coordonnés $y_{1}, \dots, y_{\DPtypo{2}{n}}$ de ce point. Les plans $x_{1} = 0$,
$x_{2} = 0$,~\ldots\ portent le nom de \emph{plans de coordonnées}, leur intersection
est le point $0, 0, \dots$ on lui donne le nom \emph{d'origine} des
coordonnées.


\Section[Trigonométrie]{Trigonométrie}

Considérons la figure formée par trois points, soient $a, b, c$
les distances de ces points, $x_{1}, \dots, x_{n}$; $y_{1}, \dots, y_{n}$; $z_{1}, \dots, z_{n}$ leurs
coordonnées; appelons $A, B, C$ les angles que font respectivement
les directions qui vont de $y_{1}\dots$ en $z_{1}\dots$; de $z_{1}\dots$ en $x_{1}\dots$
de $x_{1}\dots$ en $y_{1}\dots$\Add{.} Les cosinus directeurs de ces directions sont
\begin{align*}
&\frac{z_{1} - y_{1}}{a},\qquad \frac{z_{\DPtypo{1}{2}} - y_{2}}{a},\quad \dots \\
&\frac{x_{1} - z_{1}}{b},\qquad \frac{x_{2} - z_{2}}{b},\quad \dots \\
&\frac{y_{1} - x_{1}}{c},\qquad \frac{y_{2} - x_{2}}{c},\quad \dots
\end{align*}
on en conclut
\[
\Cos A = \frac{(x_{1} - z_{1}) (y_{1} - x_{1}) + (x_{2} - z_{2}) (y_{2} - x_{2}) \Add{+} \dots}{bc}
\]
ou
\[
\Cos A = \frac{\sum \bigl[ (x_{i} - z_{i})^{2} + (x_{i} - y_{i})^{2} - (y_{i} - z_{i})^{2} \bigr]}{2bc},
\]
ou enfin
\[
\Cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}
\]
d'où l'on déduit
\begin{align*}
a^{2} &= b^{2} + c^{2} - 2bc \cos A, \\
b^{2} &= c^{2} + a^{2} - 2ac \cos B, \\
c^{2} &= a^{2} + b^{2} - 2ab \cos C.
\end{align*}
\DPPageSep{049}{49}%
On sait que de ces formules on peut conclure
\[
A + B + C = \pi,\qquad
\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c},\quad\text{etc.}
\]
en supposant $A, B, C$ compris entre $0$~et~$\pi$. Toutes ces formules
renferment implicitement les théorèmes du premier livre
de géométrie et une grande partie de ceux du troisième, le
cinquième livre résulte également de ce que nous venons de
démontrer. Mais il est entendu qu'il s'agit ici, non de vérités
géométriques mais de vérités s'énonçant dans un langage emprunté
à la géométrie et ne s'appliquant pas, pour le moment,
à des êtres concrets.


\Section[Perpendiculaire à plusieurs droites]{Perpendiculaire commune \DPtypo{a}{à} plusieurs droites}

Considérons les droites représentées par
\[
\begin{eqnar}{2}
x_{1} &=& a_{1} + t \cos \phi_{1}, \quad\Dots\Add{,}\quad
x_{n} &=& a_{n} + t \cos \phi_{n}, \\
x_{1} &=& b_{1} + u \cos \psi_{1}, \quad\Dots\Add{,}\quad
x_{n} &=& b_{n} + u \cos \psi_{n}, \\
\DotRow{5}
\end{eqnar}
\]
il existera une et une seule direction $\cos \lambda_{1}, \cos \lambda_{2}, \dots, \cos \lambda_{n}$ perpendiculaire
à $n - 1$~de ces droites; mais il n'est pas possible de
trouver une droite de direction $\cos \lambda_{1}, \cos \lambda_{2}\Add{,} \dots$ les rencontrant
toutes si $n > 3$. Si $n = 3$ la droite perpendiculaire aux deux
premières sera
\[
x_{1} = p_{1} + \rho \cos \lambda_{1},\qquad
x_{2} = p_{2} + \rho \cos \lambda_{2},\qquad
x_{3} = p_{3} + \rho \cos \lambda_{3}
\]
et si elle les rencontre on aura
\begin{align*}
a_{1} = t \cos \phi_{1} &= p_{1} + \rho \cos \lambda_{1},\ \dots \\
b_{1} = u \cos \psi_{1} &= p_{1} + \rho \cos \lambda_{1},\ \dots
\end{align*}
et par suite
\[
\begin{vmatrix}
a_{1} - p_{1}, & \cos \phi_{1}, & \cos \lambda_{1} \\
a_{2} - p_{2}, & \cos \phi_{2}, & \cos \lambda_{2} \\
a_{3} - p_{3}, & \cos \phi_{3}, & \cos \lambda_{3}
\end{vmatrix} = 0\qquad
%
\begin{vmatrix}
b_{1} - p_{1}, & \cos \psi_{1}, & \cos \lambda_{1} \\
b_{2} - p_{2}, & \cos \psi_{2}, & \cos \lambda_{2} \\
b_{3} - p_{3}, & \cos \psi_{3}, & \cos \lambda_{3}
\end{vmatrix} = 0
\]
ces équations entre les coordonnées $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ d'un point quelconque
\DPPageSep{050}{50}%
de la perpendiculaire commune seront les équations de
cette perpendiculaire.


\Section{Sphères}

On appelle sphère la surface qui a pour équation
\[
\Tag{(1)}
\sum (\DPtypo{x}{x_{i}} - a_{i})^{2} = R^{2}
\]
c'est le lieu des points à la distance~$R$ du point fixe $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$,
ce point est le centre de la sphère, $R$~est son rayon.

Toute équation de la forme
\[
\sum x_{i}^{2} + \sum A_{i} x_{i} + B = 0
\]
peut se mettre sous la forme
\[
\sum \left( x_{i} + \frac{A_{i}}{2} \right)^{2} + B - \sum \frac{A_{i}^{2}}{4} = 0,
\]
et par suite représente une sphère de centre
\[
-\frac{A_{\DPtypo{i}{1}}}{2},\ \dots,\quad -\frac{A_{n}}{2}
\]
et de rayon réel ou imaginaire $\ds\sqrt{\sum \frac{A_{i}^{2}}{4} - B}$.

La sphère~(1) dans l'espace à $n$~dimensions est ce que l'on
appelle une surface \emph{fermée}. Il faut entendre par là que si l'on
suppose
\[
\Tag{(2)}
\sum ( z_{i} - a_{i} )^{2} < R^{2}
\]
et si l'on fait varier $z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n}$, on ne pourra jamais avoir
\[
\Tag{(3)}
\sum ( z_{i} + \Delta z_{i} - a_{i} )^{2}  >  R^{2}
\]
\DPPageSep{051}{51}%
en faisant varier les $\Delta z$ d'une manière continue sans les faire
passer par une valeur telle que
\[
\sum (z_{i} + \Delta z_{i} - a_{i}\DPtypo{^{2})}{)^{2}} = R^{2}.
\]

{\stretchyspace%
Les points $z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n}$ pour lesquels la distance à $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$
est inférieure à~$R$ sont dits intérieurs à la sphère, ceux pour
lesquels $\sum (z_{i} - a_{i})^{2} > R^{2}$ sont dits extérieurs.}

Si l'on considère la variété plane à $n - 1$ dimensions
\[
\LBrace
\begin{aligned}
\sum (x_{i} - a_{i})^{2} - R^{2} &= 0, \\
\sum A_{i} x_{i} + B &= 0,
\end{aligned}
\RBrace
\]
en la déplaçant de manière à faire coïncider son plan avec le
plan $x_{n} = 0$ il viendra
\[
\sum_{i=1}^{i=n-1} (x_{i} - b_{i})^{2} - R'^{2} = 0,\qquad x_{n} = 0
\]
$b_{i}$~et~$R'$ désignant de nouvelles constantes, ce sera si l'on veut,
une sphère dans l'espace à $n - 1$ dimensions; à ce point de vue,
la sphère n'est plus fermée et l'on peut toujours entrer dans
une sphère ou en sortir sans la franchir, pourvu que l'on passe
par un espace à une dimension d'ordre supérieur, c'est ainsi
qu'en géométrie ordinaire on ne peut sortir de l'intérieur d'un
cercle qu'en quittant son plan.

Plus généralement nos prisons seraient illusoires pour des
êtres capables de se mouvoir dans un espace à quatre dimensions.


\Section[Contacts]{Contacts}

Considérons deux variétés à $p$~et~$q$ dimensions dans un
espace à $n$~dimensions. Supposons que ces variétés aient en
commun le point $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ et $\mu$~autres points dont nous désignerons
\DPPageSep{052}{52}%
les coordonnées par
\[
\begin{array}{l}
\dots\ x_{i} + \Delta x_{i}\ \dots \\
\dots\ x_{i} + 2 \Delta x_{i} + \Delta^{2} x_{i}\ \dots \\
\DotRow{1} \\
\dots\ x_{i}
  + \mu \Delta x_{i}
  + \dfrac{\mu (\mu - 1)}{1 · 2}\, \Delta^{2} x_{i} + \dots
  + \Delta^{\mu} x_{i}
\end{array}
\]
peu importe d'ailleurs qu'outre ces $\mu + 1$~points communs,
elles en aient encore d'autres. Supposons l'une au moins de
ces variétés mobiles. Les~$x_{i}$, les $\Delta x_{i} \dots$ les $\Delta\DPtypo{_{\mu}}{^{\mu}} x_{i}$ seront les
mêmes pour ces variétés et, si les $\mu + 1$~points considérés
viennent se confondre, les deux variétés auront en un point
$x_{1}, \dots\Add{,} x_{n}$ les mêmes~$dx_{i}$, les mêmes $d^{2}x_{i} \dots$ les mêmes~$d^{\mu} x$,
($i = 1, 2, \dots\Add{,} n$).

Si nos deux variétés sont des lignes, on dira qu'elles ont un
contact d'ordre~$\mu$ et les dérivées des~$x_{i}$ seront les mêmes jusqu'à
l'ordre~$\mu$ inclusivement par rapport au paramètre~$t$ dont les
coordonnées des deux lignes peuvent être considérées comme
fonctions.

Si les variétés sont à $p$~et~$q$ dimensions, supposons $p \leq q$ les
coordonnées de la variété~$P$ à $p$~dimensions seront fonctions
de $p$~paramètres $t_{1}, t_{2}, \dots, t_{p}$. Les $\mu + 1$~intersections considérées
de~$P$ avec l'autre variété~$Q$ dépendront de $t_{1}, t_{2},\dots\Add{,} t_{p}$ et les~$d^{j} x_{i}$,
dépendront des $dt_{1}, dt_{2}\Add{,} \dots\Add{,} dt_{p}$; s'ils sont les mêmes pour~$P$ et
pour~$Q$, quels que soient $dt_{1}, dt_{2}\Add{,} \dots\Add{,} dt_{p}$, on dira que $P$~et~$Q$ ont
un contact d'ordre~$\mu$.

En particulier, si $P$~et~$Q$ sont deux surfaces, les différentielles
d'ordre $1, 2,\DPtypo{.,.}{\dots} \mu$ étant les mêmes pour $P$~et~$Q$ si l'on
considère les~$x_{1}$ comme fonctions de $x_{2},\dots\Add{,} x_{n}$ on aura pour la
condition d'un contact d'ordre~$\mu$
\[
\begin{array}{c}
\dfrac{\dd x_{1}}{\dd x_{2}} = \dfrac{\dd x'_{1}}{\dd x_{2}},\quad \Dots,\quad
\dfrac{\dd x_{1}}{\dd x_{n}} = \dfrac{\dd x'_{1}}{\dd x_{n}} \\
\DotRow{1} \\
\dots\ \dfrac{\dd^{\mu} x_{1}}{\dd x_{2}^{\alpha}\, \dd x_{3}^{\beta}\, \dots}
     = \dfrac{\dd^{\mu} x'_{1}}{\dd x_{2}^{\alpha}\, \dd x_{3}^{\beta}\, \dots}\Add{\,,}\ \dots,\quad
(x_{1} = x'_{1})
\end{array}
\]
$x'_{1}$\DPtypo{,}{}~désignant la coordonnée~$x_{1}$ de~$Q$.
\DPPageSep{053}{53}%

Si par exemple
\[
x_{1} = \phi_{1}(t),\quad \Dots,\quad x_{n} = \phi_{n}(t)
\]
représente une variété à une dimension, une ligne:
\[
\frac{X_{1} - x_{1}}{dx_{1}} =
\frac{X_{2} - x_{2}}{dx_{2}} = \dots =
\frac{X_{n} - x_{n}}{dx_{n}}
\]
représentera, si $X_{1}, X_{2}\Add{,} \dots$ sont les coordonnées courantes, une
droite passant en $x_{1}, \dots, x_{n}$ et ayant en ce point avec la ligne
un contact du premier ordre,  c'est la \emph{tangente} à cette ligne
en $x_{1}\Add{,} \dots\Add{,} x_{\DPtypo{2}{n}}$.

Le plan
\[
A_{1}(X_{1} - x_{1}) + A_{2}(X_{2} - x_{2}) + \dots + A_{n}(X_{n} - x_{n}) = 0
\]
aura avec la surface
\[
x_{1} = f(x_{2}, x_{3}\Add{,} \dots\Add{,} x_{n})
\]
un contact de premier ordre en $x_{1}, \dots, x_{n}$, si
\[
-\frac{A_{2}}{A_{1}} = \frac{\dd f}{\dd x_{2}} = \frac{\dd x_{1}}{\dd x_{2}},\quad
-\frac{A_{3}}{A_{1}} = \frac{\dd x_{1}}{\dd x_{3}},\quad \dots,
\]
et son équation sera
\[
X_{1} - x_{1}
  = (X_{2} - x_{2})\, \frac{\dd x_{1}}{\dd x_{2}} + \dots
  + (X_{n} - x_{n})\, \frac{\dd x_{1}}{\dd x_{n}},
\]
c'est ce que l'on appelle le plan tangent en $x_{1}\Add{,} \dots, x_{n}$ à la surface.

Si l'équation de la surface se présente sous la forme
\[
F(x_{1}, x_{2}\Add{,} \dots\Add{,} x_{n}) = 0,
\]
la règle des fonctions implicites permet de mettre l'équation
du plan tangent sous la forme
\[
(X_{1} - x_{1})\, \frac{\dd F}{\dd x_{1}} + \dots +
(X_{n} - x_{n})\, \frac{\dd F}{\dd x_{n}} = 0.
\]

\emph{Le plan tangent en~$M$ est le lieu des droites qui ont avec la surface
un contact du premier ordre en~$M$.}
\DPPageSep{054}{54}%

En effet, soit
\[
\frac{x_{1} - x_{1}'}{a_{1}} = \dots = \frac{x_{n} - x_{n}'}{a_{n}}
\]
une droite passant par le point $x_{1}', x_{2}'\Add{,} \dots\Add{,} x_{n}'$ de la surface
\[
F(x_{1},\dots,x_{n}) = 0,
\]
on aura
\[
F(x_{1}',\dots,x_{n}') = 0,
\]
et
\[
\frac{\dd F}{\dd x_{1}'}\, dx_{1}' +
\frac{\dd F}{\dd x_{2}'}\, dx_{2}' + \dots = 0\DPtypo{.}{,}
\]
or les $dx'$ pour la droite sont proportionnels aux~$a$, en sorte
que ses équations sont de la forme
\[
\frac{x_{1} - x_{1}'}{dx_{1}'} = \frac{x_{\DPtypo{1}{2}} - x_{2}'}{dx_{2}'} = \dots;
\]
Le lieu de ces droites, quand on fait varier les~$dx'$, est donc
\[
(x_{1} - x_{1}')\, \frac{\dd F}{\dd x_{1}'} +
(x_{2} - x_{2}')\, \frac{\dd F}{\dd x_{2}'} + \dots = 0,
\]
ce qui démontre la proposition.

En général la variété du premier degré
\begin{align*}
(X_{1} - x_{1})\, \frac{\dd F}{\dd x_{1}} + (X_{2} - x_{2})\, \frac{\dd F}{\dd x_{2}} + \dots &= 0, \\
(X_{1} - x_{1})\, \frac{\dd G}{\dd x_{1}} + (X_{2} - x_{2})\, \frac{\dd G}{\dd x_{2}} + \dots &= 0,
\end{align*}
touchera la variété
\[
F = 0,\qquad G = 0,\quad \dots.
\]


\Section{Variétés  singulières}

Le plan tangent à la surface
\[
f(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = 0
\]
\DPPageSep{055}{55}%
a pour équation
\[
(X_{1} - x_{1})\, \frac{\dd f}{\dd x_{1}} + \dots +
(X_{n} - x_{n})\, \frac{\dd f}{\dd x_{n}} = 0,
\]
ou en posant
\[
\frac{\dd x_{n}}{\dd x_{1}} = p_{1},\quad \dots,\quad
\frac{\dd x_{n}}{\dd x_{n-1}} = p_{n-1};
\]
et, en appliquant la règle des fonctions implicites,
\[
X_{n} - x_{n} = p_{1}(X_{1} - x_{1}) + \dots + p_{n-1}(X_{n-1} - x_{n-1}),
\]
ou encore
\[
X_{n} = p_{1} X_{1} + \dots + p_{n-1} X_{n-1} + (x_{n} - p_{1} x_{1} - \dots - p_{n-1} x_{n-1});
\]
le plan tangent renferme donc $n$~paramètres
\[
p_{1}, \dots, p_{n-1}\quad\text{et}\quad
\theta = x_{n} - p_{1} x_{1} - \dots - p_{n-1} x_{n-1},
\]
mais ces paramètres se réduisent à $n-1$ distincts car $\theta$~est
fonction de $p_{1}, \dots, p_{n-1}$ comme nous allons le voir. On a en
effet
\[
d\theta = dx_{n} - p_{1}\, dx_{1} - \dots - p_{n-1}\, dx_{n-1} - x_{1}\, dp_{1} - \dots - x_{n-1}\, dp_{n-1}
\]
mais
\[
dx_{n} = p_{1}\, dx_{1} + \dots + p_{n-1}\, dx_{n-1},
\]
donc
\[
d\theta = x_{1}\, dp_{1} + \dots + x_{n}\, dp_{n}
\]
et $\theta$~est fonction de $p_{1}, p_{2}\Add{,} \dots\Add{,} p_{n}$.

Il résulte de là que l'on peut assujettir le plan tangent à une
surface à $n-1$~conditions. On peut, par exemple, l'assujettir
à passer par $n-1$~points donnés, on aura alors $n-1$~équations
qui permettront de calculer les $n-1$ quantités $x_{1}, x_{2}\Add{,} \dots\Add{,}
x_{n-1}$ qui déterminent le point de contact. Supposons maintenant
que l'on pose
\[
\Tag{(1)}
F(p_{1}, p_{2}\Add{,} \dots\Add{,} p_{n-1}) = 0.
\]
Cette équation intégrée fournira une infinité de surfaces, car
\DPPageSep{056}{56}%
son intégrale dépend, non seulement de la forme de~$F$, qui est
arbitraire, mais en outre d'une seconde fonction arbitraire
amenée par l'intégration.

Pour une pareille surface le plan tangent sera déterminé par
$n-2$ conditions. Il pourra se faire que l'équation de la surface
considérée satisfasse à plusieurs conditions analogues à~(1),
cela diminuera encore le nombre des conditions auxquelles on
peut assujettir le plan tangent.

Dans l'espace à $3$~dimensions les surfaces singulières dont
nous venons de signaler l'existence portent le nom de surfaces
développables. Nous leur conserverons ce nom dans l'hyperespace.


\Section[Longeurs]{Les longueurs, les angles}

Nous appellerons longueur d'une courbe
\[
x_{1} = \phi_{1}(t),\quad \dots,\quad x_{n} = \phi_{n}(t)
\]
prise de $x_{1}^{0}\Add{,} \dots\Add{,} x_{n}^{0}$ en $x_{1}'\Add{,} \dots\Add{,} x_{n}'$ l'intégrale
\[
s = \int_{t^{0}}^{t'} \sqrt{dx_{1}^{2} + \dots + dx_{n}^{2}},
\]
$t^{0}$~et~$t'$ désignant les valeurs de~$t$ pour lesquelles en général
$x_{i} = x_{i}^{0}$ et $x_{i} = x_{i}'$, alors
\[
ds^{2} = dx_{1}^{2} + dx_{2}^{2} + \dots + dx_{n}^{2}
\]
comme $dx_{1}, dx_{2}, \dots$ sont proportionnels aux cosinus directeurs
de la tangente en $x_{1}, \dots\Add{,} x_{n}$ à la courbe, ces cosinus eux-mêmes
seront $\dfrac{dx_{1}}{ds}, \dfrac{dx_{2}}{ds}, \dots$\Add{.}

Nous dirons que deux courbes
\[
\dots\ x_{i} = \phi_{i}(t),\quad\text{et}\quad \dots\ x_{i} = \psi_{i}(u)\ \dots
\]
se coupent sous l'angle~$V$ en $x_{1}\Add{,} \dots, x_{n}$ si leurs tangentes se coupent
sous cet angle, c'est-à-dire si
\[
\frac{d\phi_{1}}{dt}\, \frac{d\psi_{1}}{du} + \dots +
\frac{d\phi_{n}}{dt}\, \frac{d\psi_{n}}{du} = \cos V.
\]
\DPPageSep{057}{57}%
Si l'on a
\[
x_{1} = a_{1} + t \cos\phi_{1},\quad \dots,\quad x_{n} = a_{n} + t \cos\phi_{n}
\]
et $\sum \cos^{2}\phi = 1$ on aura
\begin{gather*}
dx_{1} = \cos\phi_{1}\, dt,\quad \dots \\
dx_{1}^{2} + dx_{2}^{2} + \dots = dt^{2} = ds^{2}
\end{gather*}
et $t$~sera la longueur de la droite comprise entre $\DPtypo{a_{1}, a_{2} \dots}{a_{1}, \dots, a_{n}}$ et
$x_{1},\dots\Add{,} x_{n}$. Ce qui est d'accord avec notre définition primitive de
la longueur d'un segment.


\Section[Pangéométrie sphérique]{Pangéométrie sphérique}

En voilà assez, je pense, pour montrer que la pangéométrie
que nous venons d'exposer et que l'on peut appeler pangéométrie
euclidienne, se confond, dans le cas des espaces à trois
dimensions, avec la géométrie ordinaire, à cela près que les
mots point, surface, etc\ldots, n'y ont pas la même signification
qu'en géométrie: ils ont un sens beaucoup plus général.

Nous allons maintenant étudier d'autres espaces.

Nous appellerons point l'ensemble de $n$~nombres $x_{1}, x_{2}, \dots,
x_{n}$, non plus arbitraires mais satisfaisant à la relation
\[
\Tag{(1)}
x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2} = R^{2}
\]
ce qui revient à dire que nous ne considérons que des points
situés sur une sphère~(1).

Nous dirons qu'un point subit un \emph{déplacement} dans le cas où
ses coordonnées $x_{1}\Add{,} \dots\Add{,} x_{n}$ subissent une substitution orthogonale
homogène
\[
\begin{eqnar}{3}
x_{1}' &=& a_{11} x_{1} &+& \dots &+& a_{1n} x_{n}, \\
\DotRow{7} \\
x_{n}' &=& a_{n1} x_{1} &+& \dots &+& a_{nn} x_{n},
\end{eqnar}
\]
substitution en vertu de laquelle il reste sur la sphère~(1) car
on a
\[
\sum x'^{2} = \sum x^{2} = R^{2};
\]
\DPPageSep{058}{58}%
deux figures seront égales quand on pourra transformer l'une
dans l'autre au moyen d'un déplacement. (Acception nouvelle.)

Nous appellerons plans les seules surfaces représentées par
des équations homogènes du premier degré. Les plans seront
alors des figures égales, c'est-à-dire transformables les unes
dans les autres par des substitutions orthogonales homogènes.

$n-2$ plans se couperont suivant une \emph{droite}. Ainsi une droite
sera une variété à une dimension représentée par $n$~équations
telles que
\[
\Tag{(2)}
x_{i} = a_{i} u + b_{i} v
\]
$u$~et~$v$ désignant des paramètres variables, $a_{i}, b_{i}$ des constantes
et $u$~et~$v$ ne seront pas arbitraires parce que l'on doit avoir
$\sum x^{2} = R^{2}$. Comme on peut toujours poser $u = \rho \cos \phi$,
$v = \rho \sin \phi$, on pourra toujours remplacer les équations~(2) par
\[
x_{i} = \rho (a_{i} \cos\phi + b_{i} \sin\phi)
\]
et si l'on fait $\phi = 0$, on voit que $a_{1} \rho, a_{2} \rho\Add{,} \dots$ sera un point de
la droite; donc $\sum a^{2} \rho^{2}$ doit être égal à~$R^{2}$, pour la même raison
on devra avoir $\sum b^{2} \rho^{2} = R^{2}$, alors comme $\sum x^{2}$ est aussi égal à~$R^{2}$,
on aura
\[
\sum x^{2} = R^{2}
  = \sum a^{2} \rho^{2} \cos^{2} \phi
  + \sum b^{2} \rho^{2} \sin^{2} \phi
  + 2 \sum b a \DPtypo{\phi}{\rho}^{2} \sin \phi \cos \phi
\]
ou
\[
R^{2} = R^{2} + 2 \sum a b \rho^{2} \sin \phi \cos \phi
\]
ce qui exige que $\sum a b = 0$.

%[** TN: Line break but no indent in original.]
Les équations de la droite seront de la forme
\[
x_{i} = a_{i} \cos \phi + b_{i} \sin \phi
\]
avec les conditions
\[
\sum a^{2} = R^{2},\qquad
\sum b^{2} = R^{2},\qquad
\sum a b = 0.
\]
\DPPageSep{059}{59}%

La distance de deux points $x_{1}\Add{,}\dots\Add{,} x_{n}$ et $y_{1}\Add{,}\dots\Add{,} y_{n}$ ne sera plus la
quantité $\sqrt{\sum(y - x)^{2}}$, mais l'invariant plus simple $\delta$ donné par
\[
x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + \dots + x_{n} y_{n} = R \cos \delta;
\]
la longueur~$ds$ d'un arc de courbe infiniment petit sera donné
par définition \DPtypo{pour}{par} la formule
\[
ds^{2} = dx_{1}^{2} + dx_{2}^{2} + \dots + dx_{n}^{2}.
\]


\Section[Trigonométrie sphérique]{Trigonométrie sphérique}

Reprenons les équations de la droite
\[
\Tag{(1)}
x_{i} = a_{i} \cos \phi + b_{i} \sin \phi\Add{,}\quad \dots
\]
on en tire
\[
dx_{i} = (-a_{i} \sin \phi + b_{i} \cos \phi)\, d\phi
\]
et par suite en appelant~$ds$ l'élément d'arc de droite
\[
ds^{2} = R^{2}\, d\phi^{2};
\]
(en tenant compte des relations $\sum a^{2} = \sum b^{2} = R^{2}$, $\sum a b = 0$)
alors $\phi = \dfrac{s - s^{0}}{R}$ ou simplement $\phi = \dfrac{s}{R}$, si l'on compte les arcs
à partir du point $a_{1}, \dots, a_{n}$; donc les équations~(1) s'écrivent
\[
x_{i} = a_{i} \cos \frac{s}{R} + b_{i} \sin \frac{s}{R},
\]
si l'on exprime que la droite passe par le point $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}$ on
aura
\[
c_{i} = a_{i} \cos \frac{s'}{R} + b_{i} \DPtypo{\frac{\sin s'}{R}}{\sin \frac{s'}{R}}.
\]
\DPtypo{l}{L}'élimination de~$\DPtypo{a_{i}}{b_{i}}$ donne
\[
x_{i} = \frac{a_{i} \sin \dfrac{s'-s}{R} + \DPtypo{b_{i}}{c_{i}} \sin \dfrac{s}{R}}{\sin \dfrac{s'}{R}}.
\]
\DPPageSep{060}{60}%

Considérons maintenant un triangle $ABC$, soient $x_{1}, \dots, x_{n}$ les
coordonnées du sommet~$A$; $y_{1}, \dots, y_{n}$ celles de~$B$; $z_{1}, \dots, z_{n}$ celles
de~$C$, les équations de $AB$~et~$AC$ seront:
\begin{align*}
\Tag{(2)}
X_{i} &= \frac{x_{i} \sin \dfrac{c - s}{R} + y_{i} \sin \dfrac{s}{R}}{\sin \dfrac{c}{R}}, \\
\Tag{(3)}
X_{i} &= \frac{x_{i} \sin \dfrac{b - s}{R} + z_{i} \sin \dfrac{s}{R}}{\sin \dfrac{b}{R}}.
\end{align*}
$X_{1}, \dots$ sont alors les coordonnées courantes et $a, b, c$ les longueurs
de $BC, CA, AB$. Calculons l'angle~$A$ des côtés $AB, AC$,
il est donné par la formule
\[
\Cos A = \sum \frac{\dd \DPtypo{X}{X_{i}}}{\dd s}\, \frac{\delta \DPtypo{X}{X_{i}}}{\delta s}\Add{,}
\]
$\dfrac{\dd X_{i}}{\dd s}$ désignant la dérivée de~$X_{i}$ \DPtypo{tiré}{tirée} de~(2) pour $s = 0$ et $\DPtypo{\dfrac{\dd X_{i}}{\dd s}}{\dfrac{\delta X_{i}}{\delta s}}$ la
même dérivée tirée de~(3). On aura ainsi
\[
\Cos A = \sum \frac{\left(x_{i} \cos \dfrac{c}{R} - y_{i}\right)
                    \left(x_{i} \cos \dfrac{b}{R} - z_{i}\right)}
                   {\sin \dfrac{c}{R} \sin \dfrac{b}{R}}\, \frac{1}{R^{2}},
\]
ou
\begin{multline*}
R^{2} \cos A \sin \frac{b}{R} \sin \frac{c}{R}
  = \sum x_{i}^{2} \cos \frac{c}{R} \cos \frac{b}{R} - \sum x_{i} y_{i} \cos \frac{b}{R} \\
  - \sum x_{i} z_{i} \cos \frac{c}{R} + \sum y_{i} z\DPtypo{^{i}}{_{i}}\DPtypo{.}{,}
\end{multline*}
ou
\begin{multline*}
R^{2} \cos A \sin \frac{b}{R} \sin \frac{c}{R}
  = R^{2} \cos \frac{b}{R} \cos \frac{c}{R} - R^{2} \cos \frac{c}{R} \cos \frac{b}{R} \\
  - R^{2} \cos \frac{b}{R} \cos \frac{c}{R} + R^{2} \cos \frac{a}{R}\Add{,}
\end{multline*}
\DPPageSep{061}{61}%
ou finalement
\[
\cos \frac{a}{R}
  = \cos \frac{b}{R} \cos \frac{c}{R}
  + \sin \frac{b}{R} \DPtypo{\cos}{\sin} \frac{c}{R} \cos A;
\]
c'est la formule fondamentale de la trigonométrie sphérique
d'où l'on déduit toutes les autres.


\Section[Pangéométrie hyperbolique]{Pangéométrie hyperbolique}

En pangéométrie hyperbolique, on appelle point l'ensemble
de $n$~nombres $x_{1}\Add{,}\dots\Add{,} x_{n}$ liés entre eux pour la relation
\[
\Tag{(1)}
x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \Dots + x_{n-1}^{2} - x_{n}^{2} = R^{2}
\]
qui est l'équation euclidienne d'un \emph{hyperboloïde}. Nous ferons
usage de la notation $\sum' a_{i}$ en général pour désigner une somme
de termes dont le dernier sera pris avec le signe~$-$ en sorte
que~(1) s'écrira $\sum' x_{i}^{2} = R^{2}$ ou même $\sum' \DPtypo{x}{x^{2}} = R^{2}$.

Nous dirons qu'un point subit un déplacement quand ses
coordonnées $x_{1}\Add{,}\dots\Add{,} x_{n}$ subiront une substitution linéaire de la
forme
\[
\begin{eqnar}{3}
x_{1}' &=& a_{11} x_{1} &+& \Dots &+& a_{1n} x_{n}, \\
\DotRow{7} \\
x_{n}' &=& a_{n1} x_{1} &+& \Dots &+& a_{nn} x_{n},
\end{eqnar}
\]
non plus orthogonale mais telle que
\[
{\sum_{i}}' a_{pi} a_{qi}
  = \begin{cases}
    0 & \text{ si } p \gtrless q \\
    1 & \text{ si } p = q
    \end{cases}
\]
alors on a aussi
\[
{\sum_{i}}' a_{pi} a_{iq}
  = \begin{cases}
    0 & \text{ si } p \gtrless q \\
    1 & \text{ si } p = q
    \end{cases}
\]
comme il est facile de le vérifier.

Les plans seront les surfaces représentées par des équations
homogènes du premier degré, et les droites seront des variétés
à une dimension situées sur des plans.
\DPPageSep{062}{62}%

Nous pourrons mettre les équations d'une droite sous la
forme
\[
% [** TN: \cos h, \sin h throughout in original]
x_{i} = \rho (a_{i} \cosh\phi + b_{i} \sinh\phi)\]
$\rho$ et $\phi$ désignant des paramètres variables, $a_{i}, b_{i}$ des constantes.
En faisant $\phi = 0$, on voit que le point~$\rho a_{i}$ appartient à la droite,
alors $\sum' a^{2} \rho^{2}$ doit être égal à~$R^{2}$, et comme $\sum' x^{2}$ doit être égal
à~$\DPtypo{R}{R^{2}}$ on voit que $\sum' b^{2}\rho^{2} = R^{2}$ et que $\sum' ab = 0$, en sorte que les
équations de la droite seront
\[
x_{i} = a_{i} \cosh\phi + b_{i} \sinh\phi
\]
avec les conditions
\[
{\sum}' a_{i}^{2} = R^{2},\qquad
-{\sum}' b_{i}^{2} = R^{2},\qquad
{\sum}' a_{i} b_{i} = 0.
\]

La distance~$\delta$ de deux points sera définie par la formule
\[
\cosh\delta = {\sum}' xy,
\]
$x_{1}\Add{,}\dots\Add{,} x_{n}$ et $y_{1}\Add{,}\dots\Add{,} y_{n}$ désignant les coordonnées de ces points,
enfin la longueur d'un arc~$ds$ infiniment petit sera défini par la
formule
\[
-ds^{2} = {\sum}' dx^{2};
\]
$\delta$ et $ds$ sont des invariants de la substitution que nous avons
appelée un déplacement.


\Section{Trigonométrie hyperbolique}

Reprenons les équations de la droite
\[
\Tag{(1)}
x_{i} = a_{i} \cosh\phi + b_{\DPtypo{t}{i}} \sinh\phi
\]
on en tire
\[
dx_{i} = (a_{i} \sinh\phi + b_{i} \cosh\phi)\, d\phi
\]
et par suite en appelant ds l'élément de droite
\[
ds = R\, d\phi;
\]
\DPPageSep{063}{63}%
on pourra donc prendre au lieu de~(1)
\[
x_{i} = a_{i} \cosh \frac{s}{R} + b_{i} \sinh \frac{s}{R},
\]
$s$ sera alors l'arc compté à partir du point $a_{i}\Add{,} \dots\Add{,} a_{n}$.

Si l'on assujettit la droite à passer par le point $c_{1}\Add{,} \dots\Add{,} c_{n}$, on
aura, comme il est facile de voir
\[
x_{i} = \frac{a_{i} \sinh \dfrac{s' - s}{R} + c_{i} \DPtypo{\sin}{\sinh} \dfrac{s}{R}}
             {\DPtypo{\sin}{\sinh} \dfrac{s'}{R}},
\]
$s'$~désignant la longueur de l'arc qui joint les points $a_{1} \dots$~et~$c_{1} \dots$\Add{.}

{\stretchyspace%
Considérons maintenant le triangle~$ABC$, soient $x_{1}, \dots x_{n}$;
$y_{1}\Add{,} \dots\Add{,} y_{n}$; $z_{1}\Add{,} \dots\Add{,} z_{n}$ les coordonnées de $A, B, C$. Les équations des
côtés $AB$~et~$AC$ seront en appelant $c$~et~$b$ leurs longueurs:}
\begin{align*}
X_{i} &= \frac{x_{i} \sinh \dfrac{c - s}{R} + y_{i} \sinh \dfrac{s}{R}}{\sinh \dfrac{c}{R}}, \\
X_{i} &= \frac{x_{i} \DPtypo{\sin}{\sinh} \dfrac{b - s}{R} + z_{i} \sinh \dfrac{s}{R}}{\sinh \dfrac{b}{R}}.
\end{align*}

{\stretchyspace%
Enfin si l'on appelle angle de deux éléments $dx_{1}\Add{,} \dots\Add{,} dx_{n}$ et
$dx_{1}'\Add{,} \dots\Add{,} dx_{n}'$ la quantité dont le cosinus est}
\[
{\sum}' \frac{dx}{ds}\, \frac{dx'}{ds'},
\]
l'angle~$A$ de notre triangle sera donné par la formule
\[
\Tag{(2)}
\cosh a = \cosh b \cosh c - \sinh b \sinh c \DPtypo{\Cos_{n}}{\Cosh} A
\]
que l'on déduirait de la formule relative à un triangle sphérique
en remplaçant $a, b, c$ par $a\sqrt{-1}$, $b\sqrt{-1}$, $c\sqrt{-1}$.

Je ne développe pas les calculs, identiques à ceux qui ont été
faits plus haut à propos de l'espace sphérique. Nous déduirons
\DPPageSep{064}{64}%
donc de~(2) des formules analogues à celles de la trigonométrie
sphérique en remplaçant dans celles-ci $a, b, c$ par $a \sqrt{-1}$,
$b \sqrt{-1}$, $c \sqrt{-1}$.


\Section[La géométrie euclidienne]{La géométrie euclidienne}

Tout ce que nous venons de faire jusqu'à présent est absolument
rigoureux, c'est de l'analyse pure, mais c'est une analyse
qui ressemble singulièrement à de la géométrie; il y a plus,
si nous supposons l'espace euclidien à trois dimensions, nous
avons été assez loin pour prouver qu'il n'existe pas une seule
proposition de géométrie que nous ne puissions déduire de
notre analyse, à cela près que les mots point, ligne, surface,
etc., y ont une autre signification qu'en géométrie, et à cela
près aussi que les prétendus axiomes ou postulats de la géométrie
ont été rigoureusement démontrés.

Est-il possible d'identifier la géométrie ordinaire avec les
résultats de notre analyse? \DPtypo{résoudre}{Résoudre} la question par l'affirmative,
ce serait du coup faire disparaître tous les nuages qui
planent sur les commencements de la géométrie, et ce ne serait
pas acheter trop cher une méthode à laquelle on pourrait seulement
reprocher les considérations d'un ordre trop élevé sur
lesquelles elle s'appuie.

Malheureusement, il faut y renoncer, et notre analyse va
seulement servir à nous montrer combien il y a d'erreurs dans
les meilleurs traités de géométrie.

Si nous voulons identifier la géométrie ordinaire avec la pangéométrie
euclidienne à trois dimensions, nous pourrons le faire
en admettant que tout point de l'espace réel peut être déterminé
par trois nombres ou coordonnées et qu'à trois coordonnées
correspondent un point et un seul.

Ces trois coordonnées pourront être les distances du point à
ce que l'on appelle trois plans rectangulaires.

Mais qu'est-ce que c'est au juste qu'un plan?

Les définitions que l'on en donne dépendent de la notion que
l'on se fait des figures capables de coïncider avec d'autres
quand on les déplace sans changer leur forme (sans parler
d'hypothèses que contient la définition de la droite qui sert à
définir le plan), or cette notion de la fixité de la forme est vague;
comme celle de la distance, elle dépend de nos sensations qui
\DPPageSep{065}{65}%
sont très grossières. Puisque nous ne pouvons pas dire exactement
ce que c'est qu'un plan, renonçons à faire de la géométrie
une science rationnelle et présentons les choses ainsi:

L'expérience nous apprend qu'il existe des surfaces bien
dressées que l'on peut obtenir en usant deux corps solides par
le frottement l'un contre l'autre, ces surfaces s'appliquent en
tout sens l'une sur l'autre, ce sont des plans.

Sur les plans il existe des lignes telles que le bord d'une
règle, lignes qui semblent coïncider dès qu'on leur donne deux
points communs; les plans et les droites convenablement
associés donnent lieu à des figures plus ou moins grossières
dont on constate expérimentalement certaines propriétés remarquables
et dont on peut deviner d'autres propriétés, conséquences
les unes des autres.

Cette première étude faite, étude dont il ne faut pas dissimuler
le caractère purement expérimental et approché, on
peut se demander si, à l'aide de certaines hypothèses, on ne
pourrait pas relier les faits observés les uns aux autres, et
c'est alors qu'intervient la pangéométrie pour répondre à la
question, mais en laissant planer le vague sur la nature des
choses sur lesquelles spécule la géométrie. Nous ne savons
pas, nous ne saurons jamais au juste ce qu'est un déplacement
sans changement de forme: une foule de choses différentes
répondent à l'idée que nous nous faisons du plan et de la ligne
droite, et cela est si vrai qu'en supposant que la géométrie
vulgaire soit absolument vraie, si le monde venait à changer
de forme en se transformant par rayons vecteurs réciproques,
nous ne nous en apercevrions pas, si les corps, en se déplaçant,
restaient identiques à leurs images.

Si maintenant, au lieu de considérer les déplacements comme
des substitutions orthogonales générales, nous les considérons
comme des substitutions homogènes, la géométrie à trois
dimensions devient la géométrie \emph{riemannienne}, la géométrie
plane devient identique à la géométrie des figures tracées sur
la sphère, les théorèmes de géométrie plane, qui ne dépendent
pas du postulatum d'Euclide restent vrais, mais il n'existe plus
de droites parallèles, et la somme des angles d'un triangle est
supérieure à~$\pi$.

Si l'on admet qu'un déplacement est une substitution du
genre de celles que nous avons considérés en pangéométrie
hyperbolique, les théorèmes indépendants du postulatum
\DPPageSep{066}{66}%
d'Euclide sont encore vrais, mais entre les angles $A, B, C$ et
les côtés $a, b, c$ d'un triangle, on a la relation
\[
\cos A = \cos B \cos C + \sin B \sin C \cosh \frac{a}{R}
\]
et si l'on fait $B = \dfrac{\pi}{2}$ on a
\[
\cos A = \sin C \cosh \frac{a}{R}
\]
en sorte que $A$~n'est réel que si
\[
\sin C \cosh \frac{a}{R} \leq 1, %[** TN: Rendered as \leqq in original]
\]
l'angle~$C$ doit donc être inférieur à~$\dfrac{\pi}{2}$. Il existe donc dans le
\DPtypo{le}{}% [** TN: Repeated word]
plan une infinité de droites obliques sur une autre, et qui
ne rencontrent pas une perpendiculaire donnée. Si l'on pose
\[
\sin C = \frac{1}{\cosh \dfrac{a}{R}}
\]
le plus petit angle~$2p$ donné par la formule
\[
\cos p = \frac{1}{\cosh \dfrac{a}{R}}
\]
est \emph{l'angle de parallélisme}, fonction comme l'on voit de~$R$ et de~$a$.
La pangéométrie hyperbolique à trois dimensions coïncide
alors avec la géométrie de Lobatchefsky et de Bolyai.

Le postulatum d'Euclide est-il démontrable? \DPtypo{évidemment}{Évidemment}
non, pas plus que cet autre \DPtypo{postulatam}{postulatum}: par deux points on ne
peut faire passer qu'une droite, et en effet les pangéométries
sphériques et hyperboliques sont aussi vraies l'une que l'autre,
et pourraient aussi bien l'une que l'autre rendre compte des
faits que nous observons, et si nous supposons $R$~suffisamment
grand, elles ne différeront pas beaucoup de la pangéométrie
euclidienne.
\DPPageSep{067}{67}%


\Section{Sur la réalité de l'hyperespace}

On peut concevoir des êtres intelligents réduits à de simples
surfaces, des ombres, si l'on veut, assujettis à se mouvoir sur
une surface donnée, si ces êtres ont des sens organisés de telle
sorte qu'ils ne puissent avoir conscience de ce qui existe en
dehors de la surface sur laquelle ils sont assujettis à demeurer,
ils feront de la géométrie à deux dimensions, pour eux notre
géométrie sera de la pangéométrie.

Dès lors, il se pose cette question: doit-il exister un hyperespace
à plus de trois dimensions, dont notre monde tangible
et visible ne serait qu'une variété à trois dimensions? Il est
bien difficile, dans l'état actuel de la science, d'y répondre. Si
quelques phénomènes physiques pouvaient s'expliquer avec
cette hypothèse, on pourrait peut-être placer dans l'hyperespace
les âmes et Dieu, et expliquer la mort par la séparation
de l'âme et du corps, l'âme étant censée toucher le corps dans
l'état de vie, et cessant de le toucher après la mort, et de lui
communiquer alors le mouvement.


\Section[Résumé]{Résumé}

Si l'on fait de la pangéométrie à trois dimensions, les coordonnées
$x, y, z$ d'un point sont les distances de ce point aux
trois plans de coordonnées.

Si nous appelons surfaces réelles ce qui sert de limite aux
corps naturels\DPtypo{. Nous}{, nous} pouvons alors considérer trois séries de
surfaces réelles se déplaçant dans l'espace (avec ou sans changement
de forme, ces mots n'ont d'ailleurs aucun sens), on
pourra numéroter chaque surface de chaque système de telle
sorte que ces numéros varient d'une manière continue de $-\infty$~à~$+\infty$
(et cela d'une infinité de manières), deux numéros étant
affectés à des surfaces nécessairement différentes.

Si nous admettons que par un point de l'espace passent
trois de nos surfaces réelles, nous pouvons appeler coordonnées
de ce point les numéros des surfaces qui s'y rencontrent.

Trois de ces surfaces réelles, celles qui portent les numéros
\DPPageSep{068}{68}%
zéro, seront, si l'on veut, les trois plans de coordonnées d'une
pangéométrie à trois dimensions.

\emph{Le plan est donc une surface arbitraire}, ou pour parler plus
exactement, on peut faire toute la géométrie, telle qu'elle est
enseignée\DPtypo{}{ }dans nos livres classiques, non seulement sans définir
le plan, mais en appelant plan une surface arbitraire.

\primo~Il est donc impossible de donner une définition précise du
plan.

\secundo~Il faut se résigner à faire de la géométrie une science
physique et expérimentale.

Il faut se résigner à regarder la géométrie comme un langage
propre à coordonner des faits, ou plutôt des \emph{apparences}, et à
ce point de vue elle peut à volonté être ou ne pas être euclidienne.
Si l'on a choisi pour l'enseignement la géométrie euclidienne,
c'est qu'elle a paru plus simple eu égard à la conformation
du cerveau de nos ancêtres. Il n'y aurait rien d'étonnant,
s'il existe des êtres intelligents dans la planète Mars, à ce que
leur géométrie ne fût point euclidienne, en un mot à ce qu'ils
aient une autre idée que nous du \emph{déplacement sans changement
de forme}.
\vfill
\begin{center}
\rule{4in}{0.5pt}\\
\footnotesize ÉVREUX, IMPRIMERIE  DE  CHARLES  HÉRISSEY
\end{center}
\DPPageSep{069}{69}%

\clearpage\fancyhf{}\cleardoublepage
\backmatter
\phantomsection
\pdfbookmark[-1]{Matière Subsidiaire}{Matière Subsidiaire}

\pagenumbering{arabic}
\pagestyle{fancy}
\phantomsection
\pdfbookmark[0]{Catalogue}{Catalogue}
\fancyhf{}
\SetCatalogPageNumbers

\begin{center}
\setlength{\Skip}{4pt}%
\textbf{PARIS,} \\[\Skip]
\textbf{GAUTHIER-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE} \\[\Skip]
\footnotesize DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE, \\[\Skip]
Quai des Grands-Augustins, 55. \\
\tb[0.2in] \\[\Skip]
\textbf{1904} \\[3\Skip]
\textbf{\Huge SCIENTIA} \\[\Skip]

\textbf{\small Exposé et Développement des questions scientifiques \\
à l'ordre du jour} \\
\tb[0.4in] \\[\Skip]
\scriptsize RECUEIL PUBLIÉ SOUS LA DIRECTION DE \\[\Skip]
\normalsize
MM.~\Author{Appell}, \Author{d'Arsonval}, \Author{Haller}, \Author{Lippmann}, \Author{Moissan}, \\[\Skip]
\Author{Poincaré}, \Author{Potier}, {\scriptsize Membres  de  l'Institut,} \\[\Skip]
\textsf{\itshape Pour  la  Partie   Physico-Mathématique} \\[2\Skip]
\scriptsize ET DE \\[\Skip]
\normalsize
MM.~\Author{d'Arsonval}, \Author{Fouqué}, \Author{Gaudry}, \Author{Guignard}, \Author{Marey}, \\[\Skip]
{\scriptsize Membres de l'Institut;} \Author{Henneguy}, {\scriptsize Professeur au \DPtypo{Collège}{Collége} de France,} \\[\Skip]
\textsf{\itshape Pour la Partie Biologique} \\
\tb \\[\Skip]
\textbf{\scriptsize Chaque fascicule comprend de 80 à 100 pages in-\Ord{8}{o} écu, avec cartonnage spécial.} \\[\Skip]
\textbf{\footnotesize Prix du fascicule\makebox[1.5in][c]{\dotfill} 2 francs} \\
\tb
\end{center}

A côté des revues périodiques spéciales, enregistrant
au jour le jour le progrès de la Science, il nous a semblé
qu'il y avait place pour une nouvelle forme de publication,
destinée à mettre en évidence, par un exposé philosophique
et documenté des découvertes récentes, les
idées générales directrices et les variations de l'évolution
scientifique.

A l'heure actuelle, il n'est plus possible au savant de
se spécialiser; il lui faut connaître l'extension graduellement
croissante des domaines voisins: mathématiciens
et physiciens, chimistes et biologistes ont des intérêts
de plus en plus liés.

C'est pour répondre à cette nécessité que, dans une
série de monographies, nous nous proposons de mettre
\DPPageSep{070}{70}%
au point les questions particulières, nous efforçant de
montrer le rôle actuel et futur de telle ou telle acquisition,
l'équilibre qu'elle détruit ou établit, la déviation
qu'elle imprime, les horizons qu'elle ouvre, la somme
de progrès qu'elle représente.

Mais il importe de traiter les questions, non d'une
façon dogmatique, presque toujours faussée par une
classification arbitraire, mais dans la forme vivante de
la raison qui débat pas à pas le problème, en détache les
inconnues et l'inventorie avant et après sa solution, dans
l'enchaînement de ses aspects et de ses conséquences.
Aussi, indiquant toujours les voies multiples que suggère
un fait, scrutant les possibilités logiques qui en dérivent,
nous efforcerons-nous de nous tenir dans le cadre de la
méthode expérimentale et de la méthode critique.

Nous ferons, du reste, bien saisir l'esprit et la portée
de cette nouvelle collection, en insistant sur ce point,
que la nécessité d'une publication y sera toujours
subordonnée à l'opportunité du sujet.


\begin{Serie}{Série Physico-Mathématique.}
{(Adresser les Communications à M.~Ad.\ Buhl).}

\item[1.]  \Author{Poincaré (H.).} \Title{La théorie   de   Maxwell  et   les  oscillations
hertziennes.}

\item[2.]  \Author{Maurain (Ch.).} \Title{Le magnétisme du fer.}

\item[3.]  \Author{Freundler (P.).} \Title{La stéréochimie.}

\item[4.]  \Author{Appell (P.).} \Title{Les mouvements de roulement en dynamique.}

\item[5.]  \Author{Cotton (A.).} \Title{Le phénomène de \DPtypo{Zeemann}{Zeeman}.}

\item[6.]  \Author{Wallerant (Fr.).} \Title{Groupements cristallins; propriétés et optique.}

\item[7.]  \Author{Laurent (H.).} \Title{L'élimination.}

\item[8.]  \Author{Raoult (F.-M.).} \Title{Tonométrie.}

\item[9.]  \Author{Décombe (L.).} \Title{La célérité des ébranlements de l'éther.}

\item[10.]  \Author{Villard (P.).} \Title{Les rayons cathodiques.}

\item[11.]  \Author{\DPtypo{Barbilion}{Barbillion} (L.).} \Title{Production et emploi des courants alternatifs.}

\item[12.]  \Author{Hadamard (J.).} \Title{La série de Taylor et son prolongement analytique.}

\item[13.]  \Author{Raoult (F.-M.).} \Title{Cryoscopie.}

\item[14.]  \Author{Macé de Lépinay (J.).} \Title{Franges d'interférences et leurs applications
métrologiques.}

\item[15.]  \Author{Barbarin (P.).} \Title{La géométrie non euclidienne.}
\DPPageSep{071}{71}%

\item[16.]  \Author{Néculcéa (E.).} \Title{Le phénomène de Kerr.}

\item[17.]  \Author{Andoyer (H.).} \Title{Théorie de la lune.}

\item[18.]  \Author{Lemoine (E.).} \Title{Géométrographie.}

\item[19.]  \Author{Carvalho (E.).} \Title{L'électricité déduite de l'expérience et ramenée
aux principes des travaux virtuels.}

\item[20.]  \Author{Laurent (H.).} \Title{Sur les principes fondamentaux de la Théorie
des nombres et de la géométrie.}

\item[21.]  \Author{Décombe (L.).} \Title{La Compressibilité des gaz réels.}

\item[22.]  \Author{Gibbs (J.-W.).} \Title{Diagrammes et surfaces thermodynamiques.}

\item[23.]  \Author{Poincaré (H.).} \Title{La théorie de Maxwell et les oscillations
hertziennes.   La télégraphie sans fil.}
\end{Serie}


\begin{Serie}{Série Biologique.}
{(Adresser les Communications à M.~le \Dr~Langlois)}

\item[1.] \Author{Bard (L.).} \Title{La spécificité cellulaire.}

\item[2.] \Author{Le Dantec (F.).} \Title{La Sexualité.}

\item[3.]  \Author{Frenkel (H.).} \Title{Les fonctions rénales.}

\item[4.]  \Author{Bordier (H.).} \Title{Les actions moléculaires dans l'organisme.}

\item[5.]  \Author{Arthus (M.).} \Title{La coagulation du sang.}

\item[6.]  \Author{Mazé (P.).} \Title{\DPtypo{Évolation}{Évolution} du carbone et de l'azote.}

\item[7.]  \Author{Courtade (D.).} \Title{L'irritabilité dans la série animale.}

\item[8.]  \Author{Martel (A.).} \Title{Spéléologie.}

\item[9.]  \Author{Bonnier (P.).} \Title{L'orientation.}

\item[10.]  \Author{Griffon (ED.).} \Title{L'assimilation chlorophyllienne et la structure
des plantes.}

\item[11.]  \Author{Bohn (G.).} \Title{L'évolution du pigment.}

\item[12.]  \Author{Costantin (J.).} \Title{Hérédité acquise.}

\item[13.]  \Author{Mendelssohn (M.).} \Title{Les phénomènes électriques chez les êtres
vivants.}

\item[14.]  \Author{Imbert (A.).} \Title{Mode de fonctionnement économique de l'organisme.}

\item[15--16.]  \Author{Levaditi  (C.).} \Title{Le leucocyte et ses granulations.}

\item[17.]  \Author{Anglas (J.).} \Title{Les Phénomènes des Métamorphoses internes.}

\item[18.]  \Author{Mouneyrat (\Dr~A.).} \Title{Purine et ses dérivés.}
\end{Serie}


\section*{\huge\ChapHeading\bfseries Série Physico-Mathématique.}

\begin{Book}{1.}{La Théorie de Maxwell et les oscillations
hertziennes,}{par \Author{H. Poincaré}, de l'Institut.}

%TABLE DES MATIÈRES

\Chap{Chapitre Premier.}{Généralités sur les phénomènes électriques.} --- Tentatives
d'explication mécanique. Phénomènes électrostatiques. Résistance
des conducteurs. Induction. Attractions électrodynamiques.
\DPPageSep{072}{72}%

\Chap{Chap.~II.}{La théorie de Maxwell.} --- Rapports entre la lumière et l'électricité.
Courants de déplacement. Nature de la lumière.

\Chap{Chap.~III.}{Les oscillations électriques avant Hertz.} --- Expériences de Feddersen.
Théorie de lord Kelvin. Comparaisons diverses. Amortissement.

\Chap{Chap.~IV.}{L'excitateur   de  Hertz.} --- Découverte de Hertz. Principe de
l'excitateur. Diverses formes d'excitateurs. Rôle de l'étincelle. Influence
de la lumière. Emploi de l'huile. Valeur de la longueur d'onde.

\Chap{Chap.~V.}{Moyens d'observation.} --- Principe du résonateur. Fonctionnement
du résonateur.  Divers modes d'emploi de l'étincelle. Procédés thermiques.
Procédés mécaniques. Comparaison des divers procédés.
Radioconducteurs.

\Chap{Chap.~VI.}{Propagation le long d'un fil.} --- Production des perturbations dans
un fil. Mode de propagation. Vitesse de propagation et diffusion.
Expériences de MM.~Fizeau et \DPtypo{Gonnelle}{Gounelle}. Diffusion du courant. Expériences
de M.~Blondlot.

\Chap{Chap.~VII.}{Mesure des longueurs d'onde et résonance multiple.} --- Ondes
stationnaires. Résonance multiple. Autre explication. Expériences de
Garbasso et Zehnder. Mesure de l'amortissement. Expériences de Strindberg.
Expériences de MM.~Pérot et Jones. Expériences de M.~Décombe.

\Chap{Chap.~VIII.}{Propagation dans l'air.} --- L'experimentum crucis. Expériences
de Karlsruhe. Expériences de Genève. Emploi du petit excitateur.
Nature des radiations.

\Chap{Chap.~IX.}{Propagation dans les diélectriques.} --- Relation de Maxwell.
Méthodes dynamiques. Méthodes statiques. Résultats. Corps conducteurs.
\DPtypo{Electrolytes}{Électrolytes}.

\Chap{Chap.~X.}{Production des vibrations très rapides.} --- Ondes très courtes.
Excitateur de Righi. Résonateurs. Excitateur de Bose. Récepteur de Bose.

\Chap{Chap.~XI.}{Imitation des phénomènes optiques.} --- Conditions de l'imitation.
Interférences. Lames minces. Ondes secondaires. Diffraction. Polarisation.
Polarisation par réflexion. Réfraction. Réflexion totale. Double
réfraction.

\Chap{Chap.~XII.}{Synthèse de la lumière.} --- Synthèse de la lumière. Autres
différences. Explication des ondes secondaires. Remarques diverses.
\end{Book}


\begin{Book}{2.}{Le  Magnétisme du Fer,}{par \Author{Ch. Maurain},
ancien élève de l'École normale supérieure,
agrégé des Sciences physiques, docteur ès sciences.}

%TABLE DES MATIÈRES

\Chap{Introduction. --- Définitions.}{}

\Chap{Chapitre Premier.}{Phénomènes généraux.} --- Courbes d'aimantation. Procédés
de mesure. Étude des particularités des courbes d'aimantation.
Influence de la forme. Champ démagnétisant. Aimantation permanente.

\Chap{Chap.~II.}{Étude particulière du fer, de l'acier et de la fonte.}

\Chap{Chap.~III.}{Aimantation et temps.} --- Influence des courants induits. Retard
dans l'établissement de l'aimantation elle-même. Aimantation anormale.
Aimantation par les oscillations électriques.

\Chap{Chap.~IV.}{Énergie dissipée dans l'aimantation.} --- Influence de la rapidité
de variation. Loi de Steinmetz. Variation de la dissipation d'énergie
avec la température. Hystérésis dans un champ tournant.

\Chap{Chap.~V.}{Influence de la température.}

\Chap{Chap.~VI.}{Théorie du Magnétisme.}
\end{Book}
\DPPageSep{073}{73}%

\begin{Book}{3.}{La Stéréochimie,}{par \Author{P. Freundler},
docteur ès sciences, chef de travaux pratiques à la Faculté
des sciences de Paris.}

% TABLE DES MATIÈRES

\Chap{Chapitre Premier.}{Historique.}

\Chap{Chap.~II.}{Le carbone \DPtypo{trétraédrique}{tétraédrique}.} --- Notion du carbone tétraédrique.
Principe fondamental. Chaînes ouvertes. Principe de la liaison mobile.
Position avantagée. Double liaison et triple liaison. \DPtypo{Isomérie}{Isomèrie} éthylénique.
Chaînes fermées. Théorie des tensions. Applications diverses de
la notion du carbone tétraédrique.

\Chap{Chap.~III.}{Le carbone asymétrique.} --- Notion du carbone asymétrique.
Principes fondamentaux. Chaînes renfermant plusieurs carbones asymétriques.
Racémiques et indédoublables. Chaînes fermées. Vérifications
expérimentales et applications de la notion du carbone asymétrique.
Relations entre la dissymétrie moléculaire et la grandeur du pouvoir
rotatoire. Produit d'asymétrie. Relations entre la dissymétrie moléculaire
et la dissymétrie cristalline.

\Chap{Chap.~IV.}{La stéréochimie de l'azote.} --- Représentation schématique de
l'atome d'azote. Isomères géométriques de l'azote. L'azote asymétrique.

{\centering \textsc{Stéréochimie des composés du platine et du cobalt.}\\}

\Chap{Chap.~V.}{Stéréochimie et Tautomérie.}

\Chap{}{Bibliographie.} Ouvrages classiques. Principaux mémoires.
\end{Book}


\begin{Book}{4.}{Les Mouvements de roulement
en dynamique,}{par \Author{P. Appell}, de l'Institut.}

% TABLE DES MATIÈRES

\Chap{Chapitre Premier.}{Quelques formules générales relatives au mouvement
d'un solide.} --- 1.~Quelques théorèmes de cinématique. --- 2.~Formules. ---
3.~Applications. --- 4.~Accélération du point. --- 5.~Mouvement
d'un corps solide autour d'un point fixe. --- 6.~Cas particuliers. ---
7.~Mouvement d'un corps solide libre.

\Chap{Chap.~II.}{Roulements.} --- 8.~Roulement et pivotement d'une surface mobile
sur une surface fixe. --- 9.~Conditions physiques déterminant le roulement
et le pivotement d'une surface mobile sur une surface fixe. ---
10.~Force vive d'un corps solide animé d'un mouvement de roulement
et pivotement. --- 11.~Équation du mouvement du corps.

\Chap{Chap.~III.}{Applications.} --- 12.~Applications. --- 13.~Roulement d'une sphère
sur une surface. --- 14.~Exemples. --- 15~Équations du mouvement d'un
solide pesant assujetti à rouler et pivoter sur un plan horizontal. ---
16.~Roulement et pivotement d'un corps pesant de révolution sur un
plan horizontal. --- 17.~Applications. --- 18.~Recherches de M.~Carvallo. ---
19.~Problème de la bicyclette.

\Chap{Chap.~IV.}{Mécanique analytique, équations de Lagrange.} --- 20.~Le roulement
est une liaison qui ne peut pas s'exprimer en général par des
équations en termes finis. --- 21.~Application de l'équation générale de la
dynamique. --- 22.~Emploi des équations de Lagrange. --- 23.~Impossibilité
\DPPageSep{074}{74}%
d'appliquer directement les équations de Lagrange au nombre minimum
des paramètres.

\item[I.] \textsc{Sur les mouvements de roulement.}

\item[II.] \textsc{Sur certains systèmes d'équations aux différentielles totales.}
\end{Book}


\begin{Book}{5.}{Le Phénomène de Zeeman,}{par
\Author{A. Cotton}, maître de conférences de physique à l'Université
de Toulouse.}

%TABLE DES MATIÈRES

\Chap{Chapitre Premier.}{Étude des raies spectrales.} --- 1.~Unités. --- 2.~Réseaux.
--- 3.~Pouvoir séparateur. --- 4.~Spectroscope à échelons. --- 5.~Interféromètre.
--- 6.~Appareil de MM.~Pérot et Fabry. --- 7.~Conclusion. Remarque pratique.

\Chap{Chap.~II.}{Changements que peuvent subir les raies.} --- 1.~Changements dans
l'aspect des raies. --- 2.~Constitution des raies. --- 3.~Changements de
longueur d'onde. Effet Döppler\DPnote{[** TN: [sic], not Doppler]}-Fizeau. --- 4.~Déplacements produits
par des changements de pression.

\Chap{Chap.~III.}{Découverte du changement magnétique des raies.} --- 1.~Expériences
de M.~Chautard. --- 2.~Expériences de Faraday. --- 3.~Expériences
de M.~Tait. --- 4.~Expériences de Fiévez. --- 5.~Expériences de
Zeeman. Intervention de la théorie de Lorentz.

\Chap{Chap.~IV.}{Changement des raies d'émission parallèlement aux lignes
de force.} --- 1.~Doublet magnétique. --- 2.~Polarisation circulaire des
raies du doublet. --- 3.~Règle de MM.~Cornu et K{\oe}nig\DPnote{[** TN: [sic], not König]}. --- 4.~Constitution
des deux raies du doublet.

\Chap{Chap.~V.}{Changements observés perpendiculairement aux lignes de
force.} --- 1.~Polarisation rectiligne des raies modifiées. --- 2.~Vibrations
perpendiculaires aux lignes de force. --- 3.~Vibrations parallèles aux
lignes de force. Premier cas: triplet normal. --- 4.~Deuxième cas:
quadruplet. --- 5.~Troisième cas: la raie centrale est un triplet. ---
6.~Conclusion. Note sur un point de théorie.

\Chap{Chap.~VI.}{Comparaison des diverses raies.} --- 1.~Étude qualitative. --- 2.~Comparaison
quantitative. --- 3.~Règle de M.~Preston. --- 4.~Mesures absolues.

\Chap{Chap.~VII.}{Le phénomène de Zeeman et l'absorption.} --- 1.~Règle de Kirchhoff. ---
2.~Expériences sur le phénomène de Zeeman, sans spectroscope. ---
3.~Étude du changement magnétique des raies renversées. --- 4.~Expériences
d'Egowff et Georgiewsky. --- 5.~Travail de Lorentz.

\Chap{Chap.~VIII.}{Propagation de la lumière dans un champ magnétique.} ---
1.~Le faisceau émergeant à la même longueur d'onde. --- 2.~Polarisation
rotatoire magnétique. --- 3.~Propagation des vibrations circulaires. ---
4.~Dispersion rotatoire. --- 5.~Faisceau incliné sur les lignes
de force. --- 6.~Réflexion sur les miroirs aimantés.

\Chap{Chap.~IX.}{Nouvelles expériences se rattachant au phénomène de Zeeman.} ---
1.~Expérience de M.~Righi. --- 2.~Expériences de MM.~Macaluso et
Corbino. --- 3.~Dispersion anormale des vapeurs de sodium (H.~Becquerel). ---
4.~Explication de l'expérience de MM.~Macaluso et Corbino.

\Chap{Chap.~X.}{Autres expériences.} --- 1.~Expérience avec le sodium, perpendiculairement
au champ. --- 2.~Expérience de M.~Voigt. --- 3.~Explication
de la biréfringence magnétique. --- \DPtypo{}{4.~}Propriétés de l'hypoazotide,
des vapeurs d'iode et de brome.
\end{Book}
\DPPageSep{075}{75}%


\begin{Book}{6.}{Groupements cristallins,}{par
\Author{Fréd. Wallerant}.}

%TABLE DES MATIÈRES

\Chap{Chapitre Premier.}{Généralités sur la structure des corps cristallisés.} ---
1.~Problème à résoudre. --- 2.~Différences entre les corps cristallisés
et les corps amorphes. --- 3.~Symétrie dans les cristaux. --- 4.~Particule
complexe et particule fondamentale. --- 5.~Réseau. --- 6.~Structure d'un
corps cristallisé. --- 7.~De la symétrie dans les corps cristallisés. ---
8.~Relations entre la symétrie de la particule complexe et celle du
réseau. Éléments de symétrie limites. --- 9.~Structures holoédriques et
structures mériédriques. Domaine fondamental et domaine complexe.

\Chap{Chap.~II.}{Historique.}

\Chap{Chap.~III.}{Du rôle des éléments de symétrie de la particule dans la formation
des groupements.} --- 1.~Groupement autour d'un axe de la particule
déficient au réseau. --- 2.~Groupement au tour d'un axe d'une particule
fondamentale. --- 3.~Groupement autour d'un axe limite de la particule
complexe. --- 4.~Groupement autour des axes ternaires. --- 5.~Groupement
symétrique par rapport à un plan de symétrie d'une particule fondamentale. ---
6.~Groupement par rapport à un plan de symétrie limite de la
particule complexe. --- 7.~Groupement par rapport à un centre limite.

\Chap{Chap.~IV.}{Classification des groupements.}

\Chap{Chap.~V.}{Groupements binaires autour d'un axe ternaire.}

\Chap{Chap.~VI.}{Groupements parfaits.} --- 1.~Groupements terquaternaires. ---
2.~Groupements sénaires. --- 3.~Groupements ternaires. --- 4.~Groupements
quaternaires.

\Chap{Chap.~VII.}{Groupements imparfaits.} --- Cristaux ternaires. Staurotides.
Feldspaths.

\Chap{Chap.~VIII.}{Groupements obtenus par actions mécaniques.} --- Déformation
des réseaux. Déformation de la particule complexe.
\end{Book}


\begin{Book}{7.}{L'Élimination,}{par \Author{H. Laurent}, examinateur
à l'École polytechnique.}

%TABLE DES MATIÈRES

\Chap{Chapitre Premier.}{Élimination entre deux équations.} --- Notions préliminaires.
Développement d'une fonction rationnelle. Formules de
Newton. Définition du résultant. Seconde méthode. Troisième méthode.
Quatrième méthode. Cinquième méthode. Sixième méthode. Indications
d'autres méthodes. Résolution d'un système à deux inconnues.
Solutions multiples. Solutions singulières. Condition pour que trois
équations aient une solution commune.

\Chap{Chap.~II.}{Élimination dans le cas général.} --- Équivalences. Résolution de
3 équations. Théorème de Bezout. Méthode de Bezout. Théorème de
Jacobi. Les fonctions symétriques. Nouvelle méthode. Les fonctions
interpolaires. Résultante. --- Son expression explicite. Étude des
propriétés de la résultante. Méthode d'élimination de Labatie et
analogues. Équations homogènes. Solutions doubles. Autre exemple de
simplifications. Autre exemple. Étude d'une équation remarquable.
Discriminants. Propriétés des solutions communes. Reconnaître si un
polynôme est réductible. Développement en série. Extension partielle
aux équations transcendantes. Appendice.
\end{Book}
\DPPageSep{076}{76}%


\begin{Book}{8.}{Tonométrie,}{par \Author{F.-M. Raoult}, membre
correspondant de l'Institut. Doyen de la Faculté des sciences
de Grenoble.}

%TABLE DES MATIÈRES

\Chap{Introduction:}{Symboles et définitions.}

\Chap{Chapitre Premier.}{Méthodes d'observation.} --- Description spéciale de la
\emph{méthode dynamique ou d'ébullition}. --- Causes d'erreur, moyen de les
éviter. --- Ébullioscope de Raoult. --- Description de la \emph{méthode statique}. --- Tonomètres
différentiels de Bremer, de Dieterici. --- Méthodes
hygrométrique, volumétrique, gravimétrique. --- Degré d'approximation.

\Chap{Chap.~II.}{Étude des non-électrolytes.} --- La diminution de tension de
vapeur dans ses rapports avec la température. --- La diminution de tension
de vapeur dans ses rapports avec l'abaissement du point de congélation. --- La
diminution de tension de vapeur dans ses rapports avec
l'élévation du point d'ébullition. --- La diminution de tension de vapeur
dans ses rapports avec la concentration. --- La diminution de tension de
vapeur dans ses rapports avec la nature des corps dissous et des dissolvants. --- La
diminution de tension de vapeur dans ses rapports
avec la densité de vapeur. --- Détermination tonométrique des densités
de vapeurs saturées.

\Chap{Chap.~III.}{Suite des non-électrolytes.} --- La loi de Raoult dans ses rapports
avec l'élévation du point d'ébullition. --- Détermination tonométrique
des chaleurs latentes de vaporisation. --- Détermination tonométrique
des poids moléculaires des non-électrolytes.\DPnote{[** TN: missing --- ?]} Emploi de la méthode
statique. --- Emploi de la méthode dynamique. --- Corrections. --- Emploi
du mercure comme dissolvant (Ramsay).

\Chap{Chap.~IV.}{Étude des électrolytes.} --- Étude des dissolutions des sels dans
l'eau. --- Influence de la concentration, --- de l'ionisation, --- de l'hydratation, --- de
la température.

\Chap{Chap.~V.}{Suite des électrolytes.} --- Dissolutions des sels dans l'alcool. --- Dissolutions
des sels dans l'éther, l'acétone, etc. --- État des sels dans
leurs dissolutions étendues, dans leurs dissolutions concentrées. --- Résultats
fournis par la tonométrie pour les poids moléculaires des
sels.

\Chap{Bibliographie.}{}
\end{Book}


\begin{Book}{9.}{La Célérité des ébranlements de
l'éther,}{par \Author{L. Décombe}, docteur ès sciences.}

%TABLE DES MATIÈRES

\Chap{Introduction.}{}

\Chap{Chapitre Premier.}{Considérations générales sur l'éther.} --- Classification
des phénomènes physiques. --- Anciens fluides. --- Origine commune. --- Synthèse
des forces physiques. --- Conservation de l'énergie. --- Nature
des forces physiques. --- Propagation dans le vide. --- Propagation par
transparence. --- Hypothèse de l'éther.
\DPPageSep{077}{77}%

\Chap{Chap.~II.}{Histoire de l'éther.} --- Lumière: Théorie de l'émission. --- Théorie des
ondulations. --- Principe d'Huygens. --- Principe de Young. --- Travaux
de Fresnel. --- Expérience de Foucault. --- Périodes de vibrations.
\emph{Chaleur}: Théorie de l'émission. Calorique.\DPnote{[** TN: [sic], could be Théorie de l'émission calorique.]} --- Rayons de différentes
espèces. --- Spectre calorique. --- Unité du spectre. --- Radiations chimiques. --- Analogies
optiques. --- Nature de la chaleur. --- Limites
extrêmes du spectre. \emph{Électricité}: Polarisation rotatoire magnétique.
Nombre~$v$\DPnote{[** TN: Could be \nu]} de Maxwell. --- Théorie électromagnétique de la lumière.

\Chap{Chap.~III.}{Les oscillations hertziennes.} --- Formule de Thomson. --- Champs
oscillants. --- Expériences de Feddersen. --- Excitateur. --- Excitateur
de Hertz. --- Excitateur de Lodge. --- Excitateur de Blondlot. --- Résonateur. --- Propagation
le long d'un fil. --- Transparence électromagnétique. --- Réflexion
métallique. --- Réfraction. --- Interférences électromagnétiques. --- Interférences
dans l'espace. --- Interférences le long
des fils. --- Expériences de Righi. --- Polarisation. --- Double réfraction. --- Télégraphie
sans fils. --- Radioconducteur de Branly. --- Conclusions.

\Chap{Chap.~IV.}{La formule de Newton.} --- Hypothèses. --- Centre de vibration. --- Ondes
sphériques. --- Transversalité des vibrations. --- Ondes planes. --- Formule
de Newton. --- Influence du milieu. --- Théorie de Fresnel. --- Théorie
de Neumann et de Mac-Cullagh. --- Réfraction. --- Dispersion. --- Cas
des phénomènes électriques. --- Pouvoir inducteur spécifique. --- Perméabilité
magnétique.

\Chap{Chap.~V.}{La vitesse de la lumière.} --- Essais de Galilée. --- Les Académiciens
de Florence. --- Observations de R{\oe}mer. --- Calculs de Delambre. --- Aberration. --- Méthodes
physiques. --- Méthodes de la roue Dentée. --- Expériences
de Fizeau. --- Expériences de M.~Cornu. --- Expériences de
Young et Forbes. --- Méthode du miroir tournant. --- Expériences de
Foucault. --- Expériences de Fizeau et Breguet. --- Expériences de Foucault. --- Expériences
de Micheson. --- Expériences de Newcomb.

\Chap{Chap.~VI.}{La vitesse de l'électricité.} --- Premiers essais. --- Principe du
miroir tournant. --- Expérience de \DPtypo{Wheastone}{Wheatstone}. --- Méthode des longitudes. --- Expériences
de Fizeau et Gounelle. --- Expériences de Guillemin
et Burnouf. --- Expériences de Siemens. --- Examen critique des
méthodes précédentes.

\Chap{Chap.~VII.}{La vitesse de propagation de l'onde électromagnétique.} --- Expériences
de Blondlot 1893. --- Expériences de Blondlot 1891. --- Mesures
directes. --- Difficultés. --- Expériences de Duane et de
Trowbrige. --- Expériences de Saunders. --- Conclusion.

\Chap{Chap.~VIII.}{La dispersion dans le vide.} --- Considérations générales. --- Observation
des satellites de Jupiter. --- Observation des étoiles variables. --- Observation
de MM.~Young et Forbes. --- Observation des
étoiles orbitales. --- Principe de Döppler\DPnote{[** TN: [sic], not Doppler]}-Fizeau. --- Analyse spectrale. --- Remarque
de M.~Tikhoff. --- Conclusion.

\Chap{Chap.~IX.}{L'éther de Maxwell.} --- Constitution de l'éther. --- Théorie de
Maxwell. --- Tourbillons moléculaires. --- Déplacement électrique. --- Courant
électrique. --- Courants d'induction. --- Vitesse de propagation. --- Nombre
$v$\DPnote{[** TN: Could be \nu]} de Maxwell. --- Théorie électromagnétique de la lumière. --- Dispersion
dans le vide. --- Interférences.
\end{Book}
\DPPageSep{078}{78}%


\begin{Book}{10.}{Les Rayons cathodiques,}{par
\Author{P. VILLARD}, docteur ès sciences.}

%TABLE DES MATIÈRES

\Chap{Chapitre Premier.}{Appareils.} --- Appareils à raréfier les gaz. --- Préparation
de l'oxygène pur. --- Préparation de l'hydrogène pur et sec. --- Sources
d'électricité.

\Chap{Chap.~II.}{Phénomènes électriques dans les gaz raréfiés.} --- Lumière positive. --- Gaine
négative. --- Espace obscur de Hittorf. --- Résistance
électrique des tubes à décharges. --- Discontinuité de la décharge.

\Chap{Chap.~III.}{L'émission cathodique.} --- Découverte des rayons cathodiques. --- Le
faisceau cathodique.

\Chap{Chap.~IV.}{Propriétés des rayons cathodiques.} --- Phénomène de phosphorescence. --- Effets
mécaniques. --- Effets caloriques. --- Émission des
rayons R{\oe}ntgen\DPnote{[** TN: [sic], not Röntgen]}. --- Propagation rectiligne des rayons cathodiques. --- Expérience
de la croix.

\Chap{Chap.~V.}{Électrisation des rayons cathodiques.} --- Expériences diverses. --- Expériences
de M.~J.~Perrin.

\Chap{Chap.~VI.}{Électrisation des tubes à décharges.} --- Chute de potentiel à la
cathode. --- Capacité des tubes à décharges.

\Chap{Chap.~VII.}{Actions électrostatiques.} --- Action d'un champ électrique sur les
rayons cathodiques. --- Calcul de la déviation. --- Mesure de la chute de
potentiel à la cathode. --- Absence d'action \DPtypo{réciproque}{réciproqué} entre deux rayons
cathodiques.

\Chap{Chap.~VIII.}{Action d'un champ magnétique sur les rayons cathodiques.} --- Déviation
magnétique. --- Calcul de la déviation. --- Relation entre la
déviation et le potentiel de décharge. --- Constance du rapport $\dfrac{e}{m}$. --- Conséquence
des lois de l'action magnétique. --- Concentration des rayons
cathodiques dans un champ magnétique. --- Rayons parallèles au champ.

\Chap{Chap.~IX.}{Vitesse des rayons cathodiques.} --- Méthodes indirectes de
J.-J. Thomson. --- Valeur de $\dfrac{e}{m}$ et de~$V$. --- Expériences de M.~E.~Wiechert.

\Chap{Chap.~X.}{Hétérogénéité des rayons cathodiques.} --- Expérience de M.~Birkeland. --- Dispersion
électrostatique. --- Expérience de M.~Deslandres. --- Cause
de la dispersion magnétique ou électrique.

\Chap{Chap.~XI.}{Actions chimiques des rayons cathodiques.} --- Colorations produites
par les rayons. --- Photo-activité des sels colorés par les rayons. --- Phénomènes
de réduction. --- Production d'ozone.

\Chap{Chap.~XII.}{Phénomènes divers.} --- Cas particulier d'émission cathodique. --- Passage
des rayons au travers des lames minces. --- Diffusion des rayons
cathodiques. --- Réflexion et réfraction apparentes. --- Évaporation
électrique. --- Phénomènes d'oscillation dans le tube à décharge. --- Kanalstrahlen
ou rayons de Goldstein. --- Surfaces interférentielles de
Jaumann. --- Rayons cathodiques non déviables.

\Chap{Chap.~XIII.}{Expérience de M.~Lénard.} --- Rayons cathodiques dans l'air à
la pression ordinaire. --- Rayons cathodiques dans les gaz à diverses
pressions.
\DPPageSep{079}{79}%

\Chap{Chap.~XIV.}{La formation des rayons cathodiques.} --- Rôle de l'électrisation
des parois. --- Afflux cathodique. --- Émission. --- Propagation.

\Chap{Chap.~XV.}{Nature de la matière radiante.} --- Union de la matière radiante. --- Rayons
cathodiques. --- Rayons cathodiques diffusés. --- Afflux
cathodique. --- Rayons de Goldstein. --- Hydrogène cathodique.

\Chap{Chap.~XVI.}{Les corps radio-actifs et les rayons cathodiques naturels.} --- Rayons
uraniques. --- Radio-activité induite. --- Rayons déviables du
radium. --- Électrisation des rayons du radium.
\end{Book}


\begin{Book}{11.}{Production et Emploi des courants
alternatifs,}{par \Author{L. Barbillion}, docteur ès sciences.}

% TABLE DES MATIÈRES

\Chap{Introduction.}{}

\Chap{Chapitre Premier.}{Rappel des quelques notions théoriques relatives à
l'induction électromagnétique et aux machines à courant continu.}
A.~Phénomènes d'induction. --- B.~Machines dynamo-électriques à courant
continu.

\Chap{Chap.~II.}{Étude d'un courant alternatif.} --- A.~Caractéristique d'un courant
alternatif. --- B.~Étude d'un circuit parcouru par un courant alternatif
simple sinusoïdal. --- C.~Courant polyphasé et champs tournant.

\Chap{Chap.~III.}{Classification des machines d'induction. --- Expression du travail
électromagnétique développé dans une machine d'induction.}

\Chap{Chap.~IV.}{Machines génératrices à courants alternatifs.}

\Chap{Chap.~V.}{Moteurs à courants alternatifs.} --- Moteurs asynchrones. --- Moteurs
asynchrones polyphasés. --- Moteurs asynchrones monophasés. --- Comparaison
des moteurs synchrones et asynchrones. --- Moteurs
monophasés. --- Moteurs polyphasés.

\Chap{Chap.~VI.}{Transformation du courant.} --- A.~Transformateurs statiques. ---
B.~Convertisseurs rotatifs. --- C.~Commutatrices.
\end{Book}


\begin{Book}{12.}{La Série de Taylor et son prolongement
analytique,}{par \Author{Jacques Hadamard}.}

% TABLE DES MATIÈRES

\Chap{Chapitre Premier.}{Propriétés fondamentales des fonctions analytiques.}

\Chap{Chap.~II.}{Nature et difficulté du problème.}

\Chap{Chap.~III.}{Méthodes directes.}

\Chap{Chap.~IV.}{Les séries qui admettent le cercle de convergence comme ligne
singulière.}

\Chap{Chap.~V.}{Recherches des singularités de nature déterminée.}

\Chap{Chap.~VI.}{Méthodes d'extension. --- Les séries de polynômes et le théorème
de M.~Mittag-Leffler.}

\Chap{Chap.~VII.}{Méthodes de transformation.}

\Chap{Chap.~VIII.}{Application des principes généraux du calcul fonctionnel.}

\Chap{Chap.~IX.}{Généralisations diverses.}

\Chap{Chap.~X.}{Applications.}

\Chap{Conclusions.}{ --- Bibliographie.}
\end{Book}
\DPPageSep{080}{80}%


\begin{Book}{13.}{Cryoscopie,}{par \Author{F.-M. Raoult}, membre
correspondant de l'Institut, doyen de la Faculté des sciences
de Grenoble.}

% TABLE DES MATIÈRES

\Chap{}{PREMIÈRE PARTIE. --- Principes généraux.} --- Symboles et définitions. --- Historique. --- Phénomènes
qui accompagnent la congélation. --- Surfusion. --- Généralités
sur la température de congélation des mélanges
liquides. --- Nature de la glace formée dans les dissolutions. --- Solutions
solides. --- Température de congélation des dissolutions. --- Causes
d'erreur. --- Corrections. --- Influence de la température de l'enceinte. --- Influence
de l'étui de glace, de l'agitation, de l'air dissous.

\Chap{}{DEUXIÈME PARTIE. --- Méthode d'observation.} --- Cryoscopes usuels de
Raoult, \DPtypo{Pateruo}{Paterno}\DPnote{[** TN: [sic], not Paternò]} et Nasini, Amvers, Beckmann, Eykmann. --- Cryoscopes
de précision de Roloff, Jones, Wildermann, Obegg, Laomis. --- Cryoscope
de précision de Raoult. --- Dispositif pour les températures
élevées.

\Chap{}{TROISIÈME PARTIE. --- Cryoscopie des non-électrolytes} (Substances
organiques). --- Influence de la concentration. --- Influence de la nature
des corps dissous. --- Loi de Raoult. Sa généralité. Anomalies. --- Influence
de la nature des dissolvants; loi de Raoult-\DPtypo{Van't-Hoff}{Van~'t~Hoff}. --- Détermination
des poids moléculaires. --- Cryoscopie des composés minéraux
non-électrolytes. --- Constitution des corps moléculaires dissous
(métaux, métalloïdes, composés organiques).

\Chap{}{QUATRIÈME PARTIE. --- Cryoscopie des électrolytes} (Composés salins). --- Influence
de la concentration. --- Poids moléculaire des sels dans
d'autres dissolvants que l'eau.
\end{Book}


\begin{Book}{14.}{Franges d'interférence et leurs
applications métrologiques,}{par \Author{J\Add{.} Macé de Lépinay},
professeur à la Faculté des sciences de Marseille.}

% TABLE DES MATIÈRES

\Chap{}{PREMIÈRE PARTIE. --- \textsc{Chapitre Premier.} Production des franges d'interférence.}

\Chap{Chap.~II.}{Appareils interférentiels.}

\Chap{Chap.~III\Add{.}}{Sur l'emploi des sources lumineuses étendues.}

\Chap{Chap.~IV.}{Apparitions et disparitions périodiques des franges d'interférence.}

\Chap{Chap.~V.}{Sources.}

\Chap{}{DEUXIÈME PARTIE. --- \textsc{Chapitre Premier.} Généralités.}

\Chap{Chap.~II.}{Détermination d'un ordre d'interférence (Partie fractionnaire).}

\Chap{Chap.~III.}{Détermination d'un ordre d'interférence (Partie entière).}

\Chap{Chap.~IV.}{Comparaison de longueurs.}

\Chap{Chap.~V.}{Correction progressive des données primitives. Applications.}
\DPPageSep{081}{81}%

\Chap{}{TROISIÈME PARTIE. --- \textsc{Chapitre Premier.} Préliminaires.}

\Chap{Chap.~II.}{Comparaison de longueurs d'onde à l'étalon prototype du mètre.}

\Chap{Chap.~III.}{Mesures optiques de longueurs.}

\Chap{Chap.~IV.}{Application à la détermination de la masse du décimètre cube
d'eau distillée, privée d'air à~\quarto.}
\end{Book}


\begin{Book}{15.}{La Géométrie non euclidienne,}
{par \Author{P. \DPtypo{Barrarin}{Barbarin}}.}

% TABLE DES MATIÈRES

\Chap{Chapitre Premier.}{Considérations générales et historiques.} --- 1.~Euclide. ---
2.~Premières idées touchant la géométrie non \DPtypo{eucludienne}{euclidienne}. --- 3.~Les
fondateurs de la géométrie non euclidienne. Lobatschewsky, Bolyai,
\DPtypo{Rieman}{Riemann}. Leurs continuateurs.

\Chap{Chap.~II.}{Les définitions et postulats d'après Euclide. Les trois géométries.}
4.~Les définitions. --- 5.~Les postulats. --- 6.~Les définitions de la droite
et du plan. --- 7.~Programme des principales propositions élémentaires
de la géométrie générale. --- 8.~Les hypothèses de Saccheri. --- 9.~Région
normale. --- 10.~Extension de la région normale. --- 11.~Hypothèse de
l'angle droit, géométrie euclidienne. --- 12.~Hypothèse de l'angle aigu,
géométrie lobatschewskienne. --- 13.~Hypothèse de l'angle obtus, géométrie
riemannienne. --- 14.~Étude inverse.

\Chap{Chap.~III.}{La distance comme notion fondamentale.} --- 15.~Les travaux de
M.~de~Tilly. --- 16.~La droite et le plan d'après Cauchy.

\Chap{Chap.~IV.}{La géométrie générale dans le plan et dans l'espace.} --- 17.~La
géométrie générale dans le plan. --- 18.~La géométrie générale dans
l'espace. --- 19.~Théorie des droites et plans qui ont une normale commune. ---
20.~Théorie des droites et plans parallèles.

\Chap{Chap.~V.}{La trigonométrie.} --- 21.~Formules des triangles. --- 22.~Formules
des quadrilatères, constructions fondamentales.

\Chap{Chap.~VI.}{Mesures des aires et volumes.} --- 23.~Aires planes, triangle et
polygone. --- 24.~Aires des surfaces courbes. --- 25.~Volumes.

\Chap{Chap.~VII.}{Les contradicteurs de la géométrie non euclidienne.} --- 26.~Objections
principales. --- 27.~Objection des sphères et pseudo-sphères. ---
28.~Objection du triangle équilatéral. --- 29.~Autres objections.

\Chap{Chap.~VIII.}{La géométrie physique.} --- 30.~La forme géométrique de notre
univers. --- 31.~Mesures relatives au paramètre. --- Note~I\@. --- Sur le
théorème de M.~Cl.~Vidal. --- Note~II\@. --- Sur deux quadrilatères birectangles
et isocèles de la région normale.
\end{Book}


\begin{Book}{16.}{Le Phénomène de Kerr,}{par
\Author{E. Néculcéa}.}

% TABLE DES MATIÈRES

\Chap{Bibliographie. --- Préface. --- Introduction.}{}

\Chap{}{PREMIÈRE PARTIE.} --- \emph{Expériences.} --- \textsc{CHAPITRE PREMIER.} --- \textbf{Diélectriques
solides.} --- Premières expériences de J.~Kerr. --- Expériences de H.~Brongersma.
--- Conclusion.

\Chap{Chap.~II.}{Diélectriques liquides.} --- Expériences de J.~Kerr. --- Corps électro-optiquement
positifs. --- Corps électro-optiquement négatifs. --- Résultats
\DPPageSep{082}{82}%
qualitatifs. --- Expériences de R{\oe}ntgen\DPnote{[** TN: [sic], not Röntgen]}. --- Expériences de Brongersma. --- Résultats
quantitatifs. --- Phénomène de Kerr dans un champ électrique
uniforme. --- Projection du phénomène. --- Mesures absolues de la
constance de Kerr.

\Chap{Chap.~III.}{Disparition instantanée du phénomène de Kerr.} --- Méthode de
M.~R. Blondlot. --- Expériences de MM.~Abraham et J.~Lemoine.

\Chap{}{DEUXIÈME PARTIE.} --- \emph{Théorie.} --- \textsc{CHAPITRE PREMIER.} --- \textbf{Essais théoriques
de M.~F. Pockels.}

\Chap{Chap.~II.}{Théorie de M.~W. Voigt.} --- Généralités. --- Introduction du champ
électrique extérieur. --- Corps transparents. --- Cas d'une bande
d'absorption. --- Conclusions. --- Corps actifs. --- Analogue du phénomène
de Zeeman. --- Corps isotropes; phénomènes de Kerr. --- Généralisation
de théorie. --- Conclusion.

\Chap{}{TROISIÈME PARTIE.} --- \emph{Phénomène électro-optique analogue au phénomène
de Zeeman.}
\end{Book}


\begin{Book}{17.}{Théorie de la lune,}{par \Author{H. Andoyer},
professeur adjoint à la Faculté des sciences de l'Université
de Paris.}

% TABLE DES MATIÈRES

\Chap{Chapitre Premier.}{Mise en équations et réduction du problème.}

\Chap{Chap.~II.}{Étude des équations de la théorie solaire du mouvement de la
lune. --- Forme de la solution.}

\Chap{Chap.~III.}{Calcul effectif des principales inégalités solaires du mouvement
de la lune.}

\Chap{Chap.~IV.}{Formation des équations qui déterminent les inégalités secondaires
du mouvement de la lune.}

\Chap{Chap.~V.}{Détermination de quelques inégalités secondaires périodiques
du mouvement de la lune.}

\Chap{Chap.~VI.}{Influence des inégalités séculaires du soleil sur le mouvement
de la lune.}
\end{Book}


\begin{Book}{18.}{Géométrographie}{ou art des constructions
géométriques, par \Author{E. Lemoine}.}

% TABLE DES MATIÈRES

\Chap{Avant-propos.}{}

\Chap{}{PREMIÈRE PARTIE. --- But de la géométrographie. --- Construction des
problèmes classiques.}

\Chap{}{DEUXIÈME PARTIE. --- Problèmes relatifs aux pôles et polaires, aux axes
et aux centres radicaux, à la moyenne géométrique entre deux
droites. --- Le rapport anharmonique; l'involution. --- Symboles du
«Streckenübertrager» de M.~Hilbert.}

\Chap{Appendice.}{}
\end{Book}
\DPPageSep{083}{83}%


\begin{Book}{19.}{L'Électricité déduite de l'expérience
et ramenée aux principes des travaux
virtuels,}{par \Author{M.-E. Carvallo}, docteur ès sciences, agrégé
de l'Université, examinateur de mécanique à l'École polytechnique.}

% TABLE DES MATIÈRES

\Chap{Préface.}{}

\Chap{PREMIÈRE PARTIE.}{ --- Les courants d'induction d'après Helmholz\DPnote{[** TN: [sic], not Helmholtz]} et
Maxwell.} --- 1.~\textsc{INTRODUCTION.}

\Chap{Chapitre Premier.}{Théorie de Helmholz\DPnote{[** TN: [sic], not Helmholtz]}}. --- §~\Ord{1}{er}. \emph{Fonction des forces
électromagnétiques. Induction magnétique.} --- 2.~Introduction. --- 3.~Loi
du flux de la force magnétique. --- 4.~Fonction des forces électromagnétiques. ---
5.~Induction magnétique. --- 6.~Conclusions. --- §~2.~\emph{\DPtypo{Equation}{Équation}
de l'énergie. Force électromotrice induite. Selfinduction.} --- 7.~Introduction. ---
8.~\DPtypo{Equation}{Équation} de l'énergie d'après Helmholz\DPnote{[** TN: [sic], not Helmholtz]}. --- 9.~Inertie propre
d'un courant. Selfinduction. --- 10.~Force électromotrice induite. ---
11.~Force électromotrice de selfinduction. --- 12.~Conclusions. --- §~3.~\emph{Courants
en régime variable. Interprétations mécaniques.} --- 13.~Introduction. ---
14.~\DPtypo{Equation}{Équation} du courant induit dans un circuit sans pile. ---
15.~Courants des piles en régime variable. --- 16.~Interprétations mécaniques.
Principes de l'énergie et des travaux virtuels. --- 17.~Conclusions.

\Chap{Chap.~II.}{\DPtypo{Equation}{Équation} générale de la dynamique.} --- §~\Ord{1}{er}.~\emph{Théorème des travaux
virtuels.} --- 18.~Introduction. --- 19.~Théorème des travaux virtuels.
\DPtypo{Equation}{Équation} générale de la dynamique. --- 20.~Extension de l'idée de force,
déduite de la notion d'énergie. Force électromotrice. --- 21.~Conclusions. ---
§~2.~\emph{Travail des forces d'inertie. \DPtypo{Equations}{Équations} de Lagrange\Add{.}} --- 22.~Introduction. ---
23.~Expression de Lagrange pour le travail des forces
d'inertie. --- 24.~Théorème des forces vives. --- 25.~Modification des formules
de Lagrange quand les paramètres de mobilité ne sont pas des
coordonnées proprement dites. --- 26.~Conclusions.

\Chap{Chap.~III.}{Théorie de Maxwell.} --- §~\Ord{1}{er}.~\emph{Les courants induits d'après Maxwell.}\DPtypo{}{ ---}
27.~Introduction. --- 28.~Théorie de Maxwell. --- 29.~\DPtypo{Equations}{Équations} de Lagrange
pour les circuits filiformes, mobiles et de forme invariable. ---
30.~Comparaison des équations de Lagrange avec l'expérience. ---
31.~\DPtypo{Equations}{Équations} de Lagrange pour les circuits filiformes et déformables. ---
32.~Conclusions. --- §~2.~\emph{Recherches de Maxwell sur l'énergie cinétique
des courants mobiles.} --- 33.~Introduction. --- 34.~Forces d'inertie
calculées par les équations de Lagrange. --- 35.~Force électromotrice.\DPtypo{}{ ---}
36.~Force pondéromotrice. --- 37.~Conclusion. --- §~3.~\emph{Du rôle des aimants
dans la théorie de Maxwell, d'après M.~Sarrau.} --- 38.~Introduction. ---
39.~Hypothèse d'Ampère. --- 40.~Approche d'un circuit vers un aimant
permanent. --- 41.~Paradoxe relatif à l'énergie. --- 42.~Force coercitive
de l'aimant. --- 43.~Conclusions.

\Chap{Conclusions de la première partie.}{}\DPnote{[** TN: Lines joined]} --- 44.~Les forces électromagnétiques et magnétiques sont des forces
d'inertie comme les forces électromotrices d'induction.
\DPPageSep{084}{84}%

\Chap{}{DEUXIÈME PARTIE. L'électricité ramenée au principe des travaux virtuels.} ---
45.~\textsc{Introduction.}

\Chap{Chapitre Premier.}{Théorie de l'électricité dans les corps en repos.} --- §~\Ord{1}{er}.~\emph{Extension
des lois de Kirchhoff aux conducteurs à trois dimensions.} ---
46.~Introduction. --- 47.~Notions relatives aux courants. Intensité,
flux, vitesse du courant. --- 48.~Extension de la première loi de
Kirchhoff. --- 49.~Forces électromotrices dans les conducteurs à trois
dimensions. --- 50.~Force électromotrice due à l'effet Joule. --- 51.~Force
électromotrice due à l'effet Peltier. --- 52.~Extension de la deuxième loi
de Kirchhoff. --- 53.~Conclusions. --- §~2.~\emph{Extension des lois de Kirchhoff
au régime variable et aux diélectriques.} --- 54.~Introduction. --- 55.~Charge
d'un condensateur par le courant d'une pile. --- 56.~Extension de la première
loi de Kirchhoff. --- 57.~Extension de la deuxième loi de Kirchhoff. ---
58.~Vérifications expérimentales. --- 59.~Champ électrostatique créé
par les courants. --- 60.~Conclusions. --- §~3.~\emph{\DPtypo{Equations}{Équations} générales de
l'électrodynamique dans les corps en repos.} --- 61.~Introduction. ---
62.~Interprétation dynamique des deux lois fondamentales. --- 63.~\DPtypo{Equations}{Équations}
indéfinies dans un milieu continu (I~et~II). --- 64.~\DPtypo{Equations}{Équations} à la
surface de séparation de deux milieux~(III). --- 65.~\DPtypo{Equivalence}{Équivalence} des
deux lois fondamentales avec le système des équations I,~II et~III\@. ---
66.~Comparaison de notre théorie avec celle de Maxwell. --- 67.~Conclusions. ---
§~4.~\emph{Le problème de l'électrodynamique et l'électro-optique.} ---
68.~Introduction. --- 69.~Loi de Biot et Savart. --- 70.~\DPtypo{Equations}{Équations} du
courant de conduction et de la force électrique. --- 71.~Détermination
du problème de l'électrodynamique. --- 72.~Rapprochement avec la
lumière. Constitution des diélectriques. --- 73.~Conclusions. ---
§~5.~\emph{\DPtypo{Energie}{Énergie} électrique.} --- 74.~Introduction. --- 75.~\DPtypo{Equation}{Équation} de l'énergie. ---
76.~Diverses espèces d'énergie électrique. --- 77.~Travail des forces
appliquées. Puissance des générateurs; énergie potentielle des diélectriques. ---
78.~Travail des forces d'inertie. \DPtypo{Energie}{Énergie} électrocinétique. ---
79.~Conclusions.

\Chap{Chap.~II.}{Théorie de l'électricité dans les corps en mouvement.} --- §~\Ord{1}{er}.~\emph{La
théorie de Maxwell et la roue de Barlow.} --- 80.~Introduction. ---
81.~Les équations de Lagrange mises en défaut par la roue de Barlow. ---
82.~Véritables équations de la roue de Barlow. --- 83.~Adaptation de
la théorie de Maxwell à la roue de Barlow. --- 84.~Conclusions. ---
§~2.~\emph{Lois de l'inertie électrique.} --- 85.~Introduction. --- 86.~Examen critique
des énoncés de Maxwell. Deux forces électromotrices d'induction. ---
87.~Trois lois de l'inertie électrique. --- 88.~Vérifications expérimentales. ---
89.~Conclusions. --- §~3.~emph{lectrodynamique des corps en
mouvement.} --- 90.~Introduction. --- 91.~Les deux lois fondamentales
étendues aux corps en mouvement. --- \DPtypo{93}{92}.~\DPtypo{Equations}{Équations} de l'électrodynamique
pour les corps en mouvement. --- 93.~\DPtypo{Equation}{Équation} de l'énergie. ---
94.~Conclusions.

\Chap{Conclusion Générale.}{} --- 95.~Ma conclusion est l'idée même de ce livre.
\end{Book}
\DPPageSep{085}{85}%


\begin{Book}{20.}{Sur les principes fondamentaux
de la théorie des nombres et de la géométrie,}
{par \Author{H. Laurent}, examinateur à l'École polytechnique.}

%TABLE DES MATIÈRES

\Chap{Introduction.}{}

\Chap{}{Égalité et addition. --- Quantités. --- Propriétés des quantités. --- Les nombres. ---
Multiplication et division. --- Les incommensurables. ---
Logarithmes. --- \textsc{Conclusion.} --- La pangéométrie. --- Les espaces
et leurs dimensions. --- Déplacements euclidiens. --- Distances. --- Figures
égales. --- Ligne droite. --- Angles. --- Trigonométrie. --- Perpendiculaire
commune à plusieurs droites. --- Contacts. --- Longueurs. --- Pangéométrie
sphérique. --- Trigonométrie sphérique. --- Pangéométrie
hyperbolique. --- La géométrie euclidienne. --- \textsc{Résumé.}}
\end{Book}


\begin{Book}{21.}{La Compressibilité des gaz réels,}
{par \Author{L. Décombe}, docteur ès sciences.}

%TABLE DES MATIÈRES

\Chap{}{La loi de Mariotte. --- Compressibilité des gaz aux pressions élevées. --- Compressibilité
des gaz aux faibles pressions. --- Influence de la
température sur la compressibilité des gaz. --- Le point critique. --- Fonction
caractéristique. --- Les états correspondants. --- Compressibilité
des mélanges gazeux.}
\end{Book}


\begin{Book}{22.}{Diagrammes et Surfaces thermodynamiques,}
{par \Author{J.-W. Gibbs}. Traduction de \Author{M.~G. Roy},
chef des travaux de physique à l'Université de Dijon, avec
une introduction de \Author{M.~B. Brunhes}, professeur à l'Université
de Clermont.}

% TABLE DES MATIÈRES

\Chap{}{I\@. Méthodes graphiques dans le thermodynamique des fluides. ---
II\@.~Méthode de représentation géométrique des propriétés thermodynamiques
des corps par des surfaces.}
\end{Book}


%[** TN: Manually-set entry]
\null\hfill\underline{\large\bfseries\itshape Sous presse:}\hspace*{4em}\\[6pt]
{\Large\No 23. --- \textbf{La Théorie de Maxwell et les
oscillations hertziennes. La Télégraphie sans
fil,} \normalsize par \Author{H. Poincaré}.\large\par}%
\DPPageSep{086}{86}%
%[Blank Page]
\DPPageSep{087}{87}%
\cleardoublepage

\section*{\huge\ChapHeading\bfseries Série Biologique.}

\begin{Book}{1.}{La Spécificité Cellulaire,}{ses conséquences
en biologie générale, par \Author{L. Bard}, professeur à la
Faculté de médecine de Lyon.}

% TABLE DES MATIÈRES

\Chap{Introduction.}{}

\Chap{Chapitre Premier.}{L'indifférence et la spécificité cellulaire.} --- Indifférence,
spécificité, éclectisme. --- Spécificité absolue. --- Blastèmes. --- Tissu
germinatif commun. --- Dualité des épithéliums et des substances
conjonctives. --- Retour à l'état embryonnaire. --- Métaplasies. --- Restrictions
progressives de l'indifférence. --- Théories idioblastiques;
activité ou quantité inégales des idioblastes. --- Prosoplastie et
anaplastie. \DPtypo{Eclectisme}{Éclectisme} actuel.

\Chap{Chap.~II.}{La fixité héréditaire des types cellulaires dans les organismes
adultes.} --- Similitudes des cellules naissantes. --- Fixité absolue des
types cellulaires dans les tumeurs. --- Multiplicité indéfinie des espèces. --- Rénovations
physiologiques. --- Substitutions d'espèces. --- Transformations
physiologiques évolutives. --- Placentas extra-utérins. --- Modifications
morphologiques pathologiques. --- Régénérations de tissus,
d'organes. --- Pseudarthroses. --- Régénérations chez les animaux
inférieurs. --- Hétéromorphose. --- Spécificité des cellules dans le règne
végétal.

\Chap{Chap.~III.}{La constitution des espèces cellulaires au cours du développement.} --- Adaptation
progressive aux conditions extérieures. --- Détermination
héréditaire. --- Tumeurs à tissus multiples. --- Dissociations
graduelles des espèces. --- Multiplications et dédoublements. --- Cellules
complexes et cellules simples. --- Cellules totales initiales; cellules composites,
intermédiaires et transitoires; cellules terminales. --- Théorie
de l'arbre histogénique, cellules nodales. --- Cellules génératrices et
cellules somatiques. --- Théorie de de Vries, de Hausemann, de Nussbaum,
de Weissmann. --- Problème de l'isotropie de l'{\oe}uf; postgénération. --- Théorie
des trois feuillets de Remack, leur spécificité, leur
généricité, leur détermination. --- Nature somatique des cellules génératrices. --- Constitution
des espèces cellulaires chez les végétaux.

\Chap{Chap.~IV.}{La spécificité cellulaire et les grands problèmes de la biologie
générale.} --- Théorie physique de la vie, force spéciale. --- Équivalence
chimique des cellules naissantes. --- Rôle des substances dérivées, extra
et intra-cellulaires, dans la vie collective des métazoaires. --- Modalités
multiples de la vie cellulaire, complémentaires, créées par des décompositions
de forces. --- Vie blanche et vies colorées. --- Polarisation
symétrique des cellules sexuelles. --- Polyzoïsme. --- Induction vitale. --- Régulation
des proliférations. --- Pathogénie des tumeurs. --- Influence
réciproque à distance des cellules somatiques et des cellules génératrices. --- Hérédité
des propriétés acquises. --- Mécanisme d'action des
milieux sur l'hérédité. --- Influence du f{\oe}tus sur sa mère. --- Imprégnation,
télégonie. --- Constitution des espèces vivantes par dissociation. --- Harmonie
de l'ensemble des êtres vivants.

\item[Index bibliographique] des publications de l'auteur ayant trait à la spécificité
cellulaire.
\end{Book}
\DPPageSep{088}{88}%


\begin{Book}{2.}{La Sexualité,}{par \Author{Félix le Dantec},
docteur ès sciences.}

% TABLE DES MATIÈRES

\Chap{Introduction.}{}

\Chap{Chapitre Premier.}{Phénomènes essentiels de la reproduction.} --- Assimilation. --- Génération
agame. --- Hérédité.

\Chap{Chap.~II.}{Notion de la sexualité.} --- Plastides incomplets par mérotomie ou
division hétérogène. --- Plastides incapables par sénescence. --- Deux
manières d'envisager la sexualité. --- Apparition du dimorphisme dans
les éléments reproducteurs. --- Plastides équilibrés et déséquilibrés.

\Chap{Chap.~III.}{Formation des produits sexuels chez les animaux supérieurs.}

\Chap{Chap.~IV.}{Les caractères sexuels secondaires. --- Sexe somatique. --- Sélection
sexuelle. --- Sélection sexuelle.} --- Aspect général du dimorphisme
sexuel. --- Résultats de la castration. --- Hermaphrodites.

\Chap{Chap.~V.}{La Fécondation.} --- Hybrides.

\Chap{Chap.~VI.}{La parthénogenèse.} --- Parthénogenèse artificielle, occasionnelle,
partielle, saisonnière, juvénile, totale.

\Chap{Chap.~VII.}{Le sexe du produit dans la reproduction sexuelle et la parthénogenèse.}

\Chap{Chap.~VIII.}{Époque de la détermination du sexe.} --- Expériences sur les
têtards. --- Expériences sur les papillons. --- Expériences sur les plantes. --- Observations
sur les mammifères et l'homme. --- Détermination du
sexe dans l'{\oe}uf fécondé. --- Détermination du sexe par les conditions du
développement embryonnaire.

\Chap{Chap.~IX.}{Récapitulation.}

\Chap{Chap.~X.}{Théorie du sexe.} --- Attraction des éléments sexuels. --- Fécondation. --- Loi
du plus petit coefficient. --- Phénomènes consécutifs à la fécondation. --- Hérédité
à la première génération. --- Métis. --- Hybrides. ---  Formation
des produits sexuels. --- \DPtypo{Senescences}{Sénescences} des Infusoires. --- Produits
de la 2\ieme~génération. --- Métis. --- Hybrides.

\Chap{}{Conclusion.}
\end{Book}


\begin{Book}{3.}{Les Fonctions rénales,}{par \Author{H. Frenkel},
professeur agrégé à la Faculté de médecine de Toulouse.}

% TABLE DES MATIÈRES

\Chap{Chapitre Premier.}{ --- Structure du rein.} --- Tubes ou canalicules urinifères.
Vaisseaux. Tissu conjectif. Nerfs. Histoire du développement.

\Chap{Chap.~II.}{L'urine.} --- Caractères physiques de l'urine. Concentration moléculaire
des urines. Caractères chimiques de l'urine. Origine des éléments
de l'urine. Variations de la composition de l'urine. Propriétés biologiques.
Toxicité urinaire. Technique de la recherche de la toxicité
urinaire. Importance de \DPtypo{}{l'}examen biologique des urines.
\DPPageSep{089}{89}%

\Chap{Chap.~III.}{Physiologie de la sécrétion rénale.} --- Le rein considéré comme
filtre. Théorie de Ludwig. Le rein considéré comme glande. Théorie de
Bowmann-Heidenhain. Action des substances diurétiques sur la sécrétion
rénale. Innervation rénale. Résorption intrarénale.

\Chap{Chap.~IV.}{La sécrétion rénale interne.}

\Chap{Chap.~V.}{Physiologie pathologique de la sécrétion rénale.} --- Les oliguries
et les anuries. Les polyuries. Les albuminuries. Rôle du rein dans la
production de la glycosurie.

\Chap{Chap.~VI.}{De la perméabilité et de l'insuffisance rénales.} --- Perméabilité
rénale. Méthodes d'examen de la perméabilité rénale. Perméabilité rénale
au point de vue qualitatif. Insuffisance rénale. Causes de l'insuffisance
rénale. Diagnostic de l'insuffisance rénale. Signes de l'insuffisance rénale.

\Chap{}{Conclusions.}
\end{Book}


\begin{Book}{4.}{Les Actions moléculaires dans
l'organisme,}{par \Author{H. Bordier}, professeur agrégé à la
Faculté de médecine de Lyon.}

% TABLE DES MATIÈRES

\Chap{Introduction.}{}

\Chap{Chapitre Premier.}{Actions moléculaires dans les solides.} --- Élasticité.
Élasticité des corps inorganiques. Élasticité des corps organiques.
\DPtypo{Elasticité}{Élasticité} des muscles courbes. Élasticité des membranes. Phénomènes
d'adhésion. Adhérence des surfaces articulaires.

\Chap{Chap.~II.}{Actions moléculaires dans les liquides.} --- Tension superficielle.
Théorie du professeur Imbert relative à la contraction musculaire.
Muscles lisses. Muscles striés. Phénomènes électriques résultant d'une
variation de la tension superficielle.

\Chap{Chap.~III.}{Actions moléculaires entre liquides différents.} --- Osmose.
Phénomènes électriques liés aux actions moléculaires de l'osmose.

\Chap{Chap.~IV.}{Actions moléculaires entre solides et liquides.} --- Phénomènes
capillaires. Chapelets capillaires. Phénomènes d'imbibition. Filtration.
Phénomènes de dissolution. Pression osmotique. Isotonie. Méthode de
H.~de~Vries. Méthode de Hamburger. Méthode cryoscopique. Liquides
de l'organisme. Sécrétion de l'urine. Pression osmotique des liquides
de l'estomac. Rôle de la pression osmotique dans la résorption.

\Chap{Chap.~V.}{Actions moléculaires entre solides et gaz.} --- Phénomènes
d'adhésion gazeuse. Atmosphères adhérentes dans l'organisme.

\Chap{Chap.~VI.}{Actions moléculaires entre liquides et gaz.} --- Dissolution des gaz.

\Chap{Chap.~VII.}{Actions moléculaires dans les gaz.} --- Diffusion des gaz. Osmose
des gaz.
\end{Book}
\DPPageSep{090}{90}%


\begin{Book}{5.}{La Coagulation du sang,}{par
\Author{Maurice Arthus}, professeur de physiologie et de chimie
physiologique à l'Université de Fribourg (Suisse).}

% TABLE DES MATIÈRES

\Chap{Chapitre Premier.}{Nos connaissances sur la coagulation du sang vers 1890.}

\Chap{Chap.~II.}{La présence de sels de chaux dissous dans le plasma est une
condition nécessaire de la coagulation du sang.}

\Chap{Chap.~III.}{Du rôle des sels solubles de chaux dans le phénomène de
coagulation du sang.} --- Travaux d'Arthus et Pagès, de Pekelharing,
de Lilienfeld, d'Alex, Schmidt, d'Hammarsten.

\Chap{Chap.~IV.}{Du fibrinferment, de sa nature, des conditions de sa production},
d'après Pekelharing.

\Chap{Chap.~V.}{Des propriétés du sang non spontanément coagulable, obtenu
par injection intravasculaire de protéoses, et de la cause de son
incoagulabilité.}

\Chap{Chap.~VI.}{Du mode et du lieu de formation, de la nature et des propriétés
de la substance anticoagulante engendrée par l'organisme
du chien sous l'influence des injections intraveineuses de protéoses.}

\Chap{Chap.~VII.}{De l'immunité naturelle ou acquise contre les injections
intraveineuses de protéoses.}

\Chap{Chap.~VIII.}{Du pouvoir anticoagulant du sérum de sang d'anguilles, de
certains extraits de tissus, de l'extrait de sangsues.}

\Chap{Chap.~IX.}{Des substances qui peuvent provoquer des coagulations
intravasculaires: nucléoalbumines, venin de serpent, colloïdes
de synthèse.}

\Chap{Bibliographie.}{}
\end{Book}


\begin{Book}{6.}{Évolution du Carbone et de l'Azote
dans le monde vivant,}{par \Author{P. Mazé}, ingénieur-agronome,
docteur ès sciences, préparateur à l'Institut Pasteur.}

% TABLE DES MATIÈRES

\Chap{Introduction.}{}

\Chap{Chapitre Premier.}{Origines du carbone organique.} --- L'acide carbonique
de l'air source du carbone des plantes. Élaboration des hydrates de
carbone dans les feuilles. Les diastases des feuilles. Mécanisme de
la formation des hydrates de carbone dans les feuilles. Assimilation
du carbone organique du sol. Formation des matières grasses.
\DPPageSep{091}{91}%

\Chap{Chap.~II.}{Origines de l'azote organique.} --- Nutrition azotée des plantes.
Intervention de l'azote libre. Formation des composés quaternaires
dans les végétaux supérieurs.

\Chap{Chap.~III.}{Dégradation de la matière organique.} --- Rôle des animaux. Rôle
des infiniment petits.
\end{Book}


\begin{Book}{7.}{L'Irritabilité dans la série animale,}
{par le \Dr~\Author{Denis Courtade}, ancien interne des hôpitaux, ancien
chef de laboratoire à la Faculté de médecine, lauréat de
l'Institut.}

% TABLE DES MATIÈRES

\Chap{Chapitre Premier.}{Historique.}

\Chap{Chap.~II.}{Morphologie, structure, histologie et composition chimique de
la matière vivante.}

\Chap{Chap.~III.}{Conditions de l'irritabilité.} --- I.~Milieu chimique nécessaire au
fonctionnement du protoplasma; \textit{A.}~Rôle de l'eau; \textit{B.}~Rôle de l'oxygène;
\textit{C.}~Rôle des aliments. --- II.~Rôle de l'énergie; \textit{A.}~Influence de la chaleur;
\textit{B.}~Influence des autres transformations de l'énergie.

\Chap{Chap.~IV.}{L'irritabilité et ses manifestations.} --- \textit{A.}~Irritabilité nutritive.

\Chap{Chap.~V.}{L'irritabilité et ses manifestations} (\emph{suite}). --- \textit{B.}~Irritabilité fonctionnelle.
1.~Phénomènes caloriques. 2.~Phénomènes de mouvement.
3.~Phénomènes électriques. 4.~Phénomènes lumineux.

\Chap{Chap.~VI.}{L'irritabilité et ses manifestations} (\emph{suite}). --- Phénomènes nerveux.
I.~Rôle du noyau dans la cellule. --- II.~Action du système nerveux
dans l'organisme. \textit{A.}~A quelle période de l'évolution animale apparaît le
système nerveux? \textit{B.}~Comment le système nerveux agit-il sur l'irritabilité?
1.~Y~a-t-il continuité du système nerveux avec l'organe ou simple
contiguïté? 2.~Quel est le lien qui relie l'influx nerveux à la vie cellulaire?
3.~De quelle manière le système nerveux agit-il sur la fonction
et quelles sont les lois qui règlent les manifestations des diverses irritabilités
qui lui sont soumises? 4.~Quel est le rôle du système nerveux?

\Chap{Chap.~VII.}{Nature de l'irritabilité.}
\end{Book}


\begin{Book}{8.}{La Spéléologie}{ou science des cavernes,
par \Author{E.-A. Martel}.}

% TABLE DES MATIÈRES

\Chap{Chapitre Premier.}{Définition. Historique. Bibliographie. Programme.}

\Chap{Chap.~II.}{Origine des cavernes.} --- Influence prépondérante des fissures
préexistantes du sol. Joints et diaclases. Leur utilisation par l'eau.
\DPPageSep{092}{92}%

\Chap{Chap.~III.}{Mode d'action des eaux souterraines.} --- Érosion. Corrosion.
Pression hydrostatique.

\Chap{Chap.~IV.}{Circulation des eaux dans l'intérieur des terrains fissurés.} --- Absorption
par les crevasses, pertes et abîmes. Confusion de la
nomenclature. Emmagasinement dans les réservoirs des cavernes et les
rivières souterraines. Leur extension en hauteur et longueur. Absence
des nappes d'eau. Issue des eaux par les sources.

\Chap{Chap.~V.}{Les abîmes. Leur origine.} --- Puits d'érosion. Orgues géologiques.
Théorie geysérienne. Effondrements. Jalonnement. Dolines.
Vallées inachevées. Désobstruction des fonds d'abîmes.

\Chap{Chap.~VI.}{Les rivières souterraines. Leur pénétration.} --- Aspects divers
selon les fissures. Appauvrissement des eaux actuelles. Desséchement de
l'écorce terrestre. Obstacles des rivières souterraines. Siphons. Pression
hydrostatique. Tunnels naturels.

\Chap{Chap.~VII.}{L'issue des rivières souterraines. Les sources. Les résurgences.} --- Les
sources siphonantes. Sources pérennes, intermittentes,
temporaires. Les trop-pleins. Variations et crues des rivières souterraines.
L'évaporation souterraine. Explosions de sources. Age du
creusement des cavernes. Sable croulant. Éruptions de tourbières.

\Chap{Chap.~VIII.}{Contamination des rivières souterraines.} --- L'empoisonnement
des résurgences par les abîmes. La source? de Sauve. Expériences à
la fluorescéine.

\Chap{Chap.~IX.}{La spéléologie glaciaire.} --- Écoulements de l'eau sous les glaciers.
Poches et débâcles intra-glaciaires. Exploration des moulins et
crevasses. Grottes naturelles sous la glace.

\Chap{Chap.~X.}{Météorologie souterraine.} --- Pression atmosphérique. Irrégularité
des températures des cavernes et des résurgences. Application à l'hygiène
publique. Acide carbonique des cavernes. Gaz de décomposition organique.

\Chap{Chap.~XI.}{Glacières naturelles.} --- Influence prépondérante du froid de l'hiver
sur leur formation. Trous à vent. Puits à neige.

\Chap{Chap.~XII.}{Relations des cavités naturelles avec les filons métallifères.} --- Substances
minérales rencontrées dans les cavernes. Blue-John-Mine.
Pseudomorphoses. Les phosphates.

\Chap{Chap.~XIII.}{Les concrétions. Stalactites et stalagmites.} --- Calcite, aragonite,
ktypéite\DPnote{[** TN: Apparently a form of calcium carbonate!]}. Mondmche\DPnote{[** TN: [sic]]}. Perles des cavernes. Stalagmites d'argile.
Eaux perçantes. Influence des eaux courantes, temporaires, stagnantes.
Les gours. Les tufs: leur formation et leurs dangers. Le remplissage
des cavernes.

\Chap{Chap.~XIV.}{Travaux pratiques.} --- Désobstruction de pertes. Desséchement
de marais. Recherches de réservoirs naturels. Désobstruction d'abîmes.
Reboisement. Indications pour les travaux publics. Expériences scientifiques
diverses. Recherches paléontologiques.

\Chap{Chap.~XV.}{Préhistoire. Archéologie. Ethnographie.}

\Chap{Chap.~XVI.}{Faune et Flore souterraines.} --- Les animaux aveugles. Leur
origine. Leur existence. Modification de leurs organes. Les chauves-souris.
La flore des abîmes. Conclusions\Add{.}
\end{Book}
\DPPageSep{093}{93}%


\begin{Book}{9.}{L'Orientation,}{par le \Dr~\Author{Pierre Bonnier}.}

% TABLE DES MATIÈRES

\Chap{Chapitre Premier.}{Définition.}

\Chap{Chap.~II.}{La notion d'espace.}

\Chap{Chap.~III.}{Orientation subjective.} --- Sens des attitudes segmentaires.

\Chap{Chap.~IV.}{Orientation subjective.} --- Sens de l'attitude totale.

\Chap{Chap.~V.}{Rapports de l'orientation subjective avec la motricité.}

\Chap{Chap.~VI.}{Rapports de l'orientation subjective avec la sensibilité.} --- \emph{Orientation
objective.} Orientation tactile. Orientation visuelle. Orientation
auditive. Orientation olfactive. Notions stéréognostiques.

\Chap{Chap.~VII.}{Orientation lointaine.}

\Chap{Chap.~VIII.}{Domaine psychique de l'orientation.}
\end{Book}


\begin{Book}{10.}{L'Assimilation chlorophyllienne
et la structure des plantes,}{par \Author{Ed. Griffon},
ingénieur-agronome, docteur ès sciences.}

% TABLE DES MATIÈRES

\Chap{Introduction.}{}

\Chap{Chapitre Premier.}{L'énergie assimilatrice et sa nature.} --- Nature de l'assimilation
chlorophyllienne. --- Définition de l'énergie assimilatrice. --- Séparation
de l'assimilation et de la respiration. --- Comparaison entre
les deux phénomènes. --- Résultante: influence des conditions de milieu
sur elle. --- Cas où la respiration l'emporte. --- Mesure de la résistante:
méthode de la formation de l'amidon; méthode des échanges gazeux
et procédés expérimentaux.

\Chap{Chap.~II.}{Plantes représentant leur structure normale.} --- I.~\emph{Plantes ni
parasites ni saprophytes.} --- 1.~Plantes appartenant à des variétés ou
à des espèces voisines, mais dont les feuilles sont inégalement vertes.
2.~Ombellifères. --- 3.~Plantes grasses. --- 4.~Plantes rouges. --- 5.~Plantes
panachées. --- 6.~Plantes d'âges différents. --- 7.~Organes différents. ---
II.~\emph{Plantes parasites et saprophytes.} --- Rhinanthacées et Loranthacées.
Orchidées. Appendice sur l'assimilation chez les Algues: Algues
brunes, rouges et bleues; Bactéries pourprées; Bactéries de la
nitrification.
\DPPageSep{094}{94}%

\Chap{Chap.~III.}{Plantes dont la structure a été modifiée par le milieu.} ---
I.~\emph{Action de la lumière.} --- 1.~Plantes ayant verdi à l'obscurité. ---
2.~Plantes développées à l'ombre et au soleil. --- 3.~Plantes développées
à la lumière continue et à la lumière discontinue; plantes \DPtypo{artiques}{arctiques}. --- Plantes
ayant crû dans des lumières inégalement réfrangibles. ---
II.~\emph{Action de la chaleur.} --- 1.~Plantes de plaine et de montagne. ---
2.~Plantes développées à des températures différentes. --- 3.~Plantes
rendues artificiellement alpines par alternance des températures
extrêmes. --- III.~\emph{Action de l'état hygrométrique.} --- 1.~Plantes développées
dans un milieu sec et dans un milieu humide; plantes arctiques
et plantes alpines. --- IV.~\emph{Action des sels minéraux.} --- 1.~Nitrates. ---
2.~Sels de fer. --- 3.~Sels de cuivre. --- 4.~Sel marin; plantes du littoral. ---
5.~Calcaire; plantes chlorotiques.

\Chap{Chap.~IV.}{Structure et assimilation.} --- Observations générales sur les expériences
précédentes. --- Hypothèses diverses sur la signification des
tissus palissadiques. --- Développement des feuilles dans une atmosphère
riche en acide carbonique. --- L'assimilation sur les deux faces
d'une feuille; interprétation des résultats. --- L'assimilation dans la
lumière solaire qui a traversé des tissus de végétaux. --- Influence de
la structure de l'épiderme; épaisseur de la cuticule; nombre des
stomates; poils. --- Quantité de chlorophylle. --- Pluralité des chlorophylles.\DPnote{[** TN: missing --- ?]}
Spécificité du substratum vivant des chloroleucites. --- Anatomie
physiologique et physiologie expérimentale.

\Chap{Conclusions.}{}
\end{Book}


\begin{Book}{11.}{L'Évolution du Pigment,}{par le
\Dr~\Author{G. Bohn}, agrégé des Sciences naturelles, préparateur
à la Sorbonne.}

% TABLE DES MATIÈRES

\Chap{Introduction.}{} --- I.~La vie des ancêtres de la cellule. --- II.~La vie des bactéries,
des chloroleucites et des granules pigmentaires. --- III.~La vie des cellules
ou plastides. --- IV.~Évolution de la vie plastidulaire à la vie
plastidaire. --- V.~La vie des êtres plastidaires. --- Métamorphoses et
production du pigment.

\Chap{Chapitre Premier.}{ --- De la constitution des pigments en tant que substances
chimiques produites par les granules pigmentaires.} ---
I.~Pigments hydrocarbonés (lipochromes) et leurs dérivés. --- II.~Pigments
azotés dérivés de la chromatine. --- Pigments uriques des
lépidoptères et des poissons.\DPnote{[** TN: missing --- ?]} Hémoglobine et ses dérivés.\DPnote{[** TN: missing --- ?]} Chlorophylle
et ses dérivés.\DPnote{[** TN: missing --- ?]} Mélanines. --- III.~Pigments azotés de la série
aromatique.

\Chap{Chap.~II.}{ --- Des granules pigmentaires en tant que producteurs des
pigments.} --- I.~Formes des granules pigmentaires. --- II.~Dimensions. ---
III.~Teinte. --- IV.~Nature des granules et leur composition chimique
d'après Carnot. --- V.~Mouvements des granules pigmentaires. ---
VI.~Réactions dues à des agents chimiques. --- VII.~Réactions dues à des
agents physiques.
\DPPageSep{095}{95}%

\Chap{Chap.~III.}{ --- Étude biologique des bactéries chromogènes.} --- Intérêt de
l'étude des bactéries pour celle des granules pigmentaires. ---  Aperçu
sur les bactéries chromogènes. --- Influence de la chaleur sur les bactéries
chromogènes. --- Influence de la lumière. --- Expériences sur les
Beggiatoa et les bactéries pourprées. --- Expériences sur le bacille de
Kiel. --- Expériences sur le bacille du pus bleu. --- Influence des substances
chimiques sur les bactéries chromogènes. --- Action de l'oxygène.
Action des alcalis. Action des acides. Action des sels. Action de l'alcool,
de la glycérine, des sucres. --- Conclusions.

\Chap{Chap.~IV.}{Étude biologique des chloroleucites.}

\Chap{Chap.~V.}{Étude biologique des granules pigmentaires des animaux.} --- Haut
intérêt de cette étude et manière de la comprendre.

\Chap{Chap.~VI.}{Apparition des granules pigmentaires dans les organismes
animaux.} --- I.~Apparition du pigment dans les cellules reproductrices.
II.~Apparition du pigment dans les tissus d'un animal en voie de
métamorphose. --- III.~Apparition du pigment dans les cellules nerveuses
sénescentes. --- Conséquences. --- Résumé.

\Chap{Chap.~VII.}{Migrations, infections et contagions pigmentaires.} --- I.~Extension
progressive du pigment. --- II.~Transport du pigment dans les
organismes. --- III.~Facteurs qui influent sur les migrations pigmentaires. ---
IV.~Infections et contagions pigmentaires.

\Chap{Chap.~VIII.}{Modifications du pigment dans les organismes\DPtypo{,}{.} Virages,
atténuations et exaltations pigmentaires.} --- Influence des agents
chimiques. --- Influence de l'oxygène et des réducteurs. Influence des
acides. Influence des bases organiques. --- Influence des agents
physiques.

\Chap{Chap.~IX.}{Évolution du pigment dans les divers groupes du règne animal.} ---
I.~\DPtypo{Etres}{Êtres} monoplastidaires et gastréades. --- Protozoaires. Spongiaires.
C{\oe}lentérés.  --- II.~Néphridiés. --- Vers.\ Vertébrés. Tuniciers. --- III.~Arthropodes. ---
Crustacés. Insectes. --- Conclusions.

\Chap{Chap.~X.}{Harmonies pigmentaires.} --- Animaux des grandes profondeurs et
animaux de la haute mer. --- Animaux marins fouisseurs et animaux
terrestres cavernicoles. --- Animaux des îles et animaux des déserts. --- Faune
et flore des zones de la mer. --- Mimétisme et sélection naturelle. --- Défense
des organismes par la production du pigment. --- Défense
de l'acide carbonique. Défense contre les poisons. Défense contre
l'oxygène. Défense contre la lumière. --- Théorie nouvelle de l'adaptation
chromatique. Lutte vitale entre les granules pigmentaires.

\Chap{Conclusions.}{}
\end{Book}


\begin{Book}{12.}{L'Hérédité acquise,}{ses conséquences
horticoles, agricoles et médicales, par \Author{M.-J. Costantin}.}

% TABLE DES MATIÈRES

\Chap{Préface.}{}

\Chap{Chapitre Premier.}{État actuel de la question.}

\Chap{Chap.~II.}{Théorie du plasma germinatif.}

\Chap{Chap.~III.}{Hérédité dans la reproduction asexuée} (Variétés horticoles et
agricoles. Hybrides de greffe).
\DPPageSep{096}{96}%

\Chap{Chap.~IV.}{Transformisme expérimental et agronomie.}

\Chap{Chap.~V.}{Origine et progrès de la sélection artificielle} (l'art de l'élevage).

\Chap{Chap.~VI.}{Quelques objections à l'action du milieu.} --- I.~Les espèces jordaniennes
habitent les mêmes lieux. --- II.~Les variations ne se produisent
pas à la première génération. --- III.~Les effets attribués aux agents
extérieurs sont le résultat d'une lente sélection. --- IV.~Induction physiologique. ---
V.~Conclusions.

\Chap{Chap.~VII.}{ --- Maladies.} --- I.~Hérédité morbide. --- II.~Hérédité vaccinale.

\Chap{Chap.~VIII.}{ --- Sélection germicale.}
\end{Book}


\begin{Book}{13.}{Les Phénomènes électriques chez
les êtres vivants,}{par \Author{Maurice Mendelssohn}.}

% TABLE DES MATIÈRES

\Chap{Introduction.}{}

\Chap{Chap.~I.}{Historique.} --- Expériences de Galvani. Critique de Volta. Recherches
de Matteucci et de du Bois-Reymond.

\Chap{Chap.~II.}{Phénomènes électriques des muscles et des nerfs.} --- Courant
des muscles et des nerfs au repos. Loi du courant musculaire et nerveux.
Courants des muscles et des nerfs en action. Variation négative
du courant de repos. Courants d'action. Courants électrotoniques et
secondaires des muscles et des nerfs.

\Chap{Chap.~III.}{Phénomènes électriques chez l'homme.} --- Variation négative
qui accompagne la contraction volontaire d'un muscle intact. Courants
d'action diphasiques. Courants du muscle cardiaque recueillis à travers
la peau. Tension électrique de la surface du corps humain.

\Chap{Chap.~IV.}{Phénomènes électriques de la peau et des glandes.} --- Courants
cutanés et glandulaires.

\Chap{Chap.~V.}{Phénomènes électriques des centres nerveux et des organes
des sens.} --- Courants cérébro-spinaux. Courants rétiniens.

\Chap{Chap.~VI.}{Poissons électriques.} --- Structure de l'organe électrique. Nature
et caractères de la décharge électrique des poissons. Immunité du
poisson électrique vis-à-vis de sa propre décharge. La décharge envisagée
comme un tétanos électrique. Courant de repos dit courant de
l'organe.

\Chap{Chap.~VII.}{Phénomènes électriques chez les végétaux.} --- Courant normal
de la feuille et courants d'action de la Dionea\DPnote{[** TN: [sic], not Dionaea; presume legitimate variant]} muscipula. Courants
trophiques, traumatiques et courants d'excitation des plantes.

\Chap{Chap.~VIII.}{Théorie d'électrogenèse chez les êtres vivants.} --- Théorie
moléculaire de du Bois-Reymond. Théorie d'altération d'Hermann.
Théorie électro-capillaire de d'Arsonval. Théorie électrolytique.

\Chap{Chap.~IX.}{Considérations générales. Rôle des phénomènes électriques
dans les manifestations de la vie.} --- \DPtypo{Electricité}{Électricité} organique et la propagation
de l'excitation le long de la fibre nerveuse. Transmission de
l'excitation du nerf au muscle. Hypothèse de la décharge.
\end{Book}
\DPPageSep{097}{97}%


\begin{Book}{14.}{Mode de fonctionnement économique
de l'organisme,}{par le docteur \Author{A. Imbert},
professeur à la Faculté de médecine de l'Université de
Montpellier, membre correspondant de l'Académie de
médecine.}

% TABLE DES MATIÈRES

\Chap{}{Considérations générales.} --- Causes diverses qui influent sur la dépense
d'énergie du moteur animé et qui dépendent de la volonté. Raccourcissement
musculaire. Antagonisme des muscles. Positions relatives
des leviers osseux. Forme des muscles et mode d'excitation.

\Chap{}{Actes mécaniques généraux.} --- Procédé d'appréciation propre à l'organisme.
Conditions d'observation. L'adulte et l'enfant; le sujet en état de santé
et le malade. Les pêcheuses d'Haughton. Les travaux de Marey sur la
locomotion. L'apprentissage des sports.

\Chap{}{Les muscles antagonistes.} --- Opinions de Winslow, de Duchenne (de Boulogne),
de Pettigrew. Travaux de Beaunis, de Demeny, de P.~Richer.
Indications fournies par la considération des muscles droits internes et
externes du globe oculaire. Recherches de Sherrington et de Topolanski.
Faits cliniques correspondants. Loi générale du fonctionnement
des muscles antagonistes.

\Chap{}{Adaptation des muscles à un fonctionnement économique.} --- Travaux de
Haughton. Insuffisance des considérations tirées de la mécanique des
corps inertes. Recherches de J.~Guérin, de W.~Roux, de Marey sur
l'adaptation fonctionnelle des muscles. Travaux de Weiss. Caractères
physiologiques de la question. Topographie de l'innervation musculaire;
inégalité de l'excitation des diverses fibres d'un même muscle.

\Chap{}{L'énergétique animale d'après l'{\oe}uvre de Chauveau.} --- L'énergie physiologique
et ses variations avec le raccourcissement et avec la charge.
Les travaux connexes. Le travail d'excitation neuromusculaire. La
multiplicité des causes de dépense d'énergie par le moteur animé.
Étude de quelques actes mécaniques en tenant compte de ces diverses
dépenses. La contraction balistique de P.~Richer; les mouvements
du globe oculaire. Soutien d'un poids suspendu à la main et soutien
du poids du corps à la barre du trapèze.

\Chap{Conclusions.}{}
\end{Book}


\begin{Book}[\Nos]{15--16.}{Le Leucocyte et ses granulations,}
{par le \Dr~\Author{C. Levaditi}, chef du Laboratoire de
bactériologie et d'anatomie pathologique de l'hôpital Brancovano
(Bucharest), lauréat de l'Institut (Académie des
\DPPageSep{098}{98}%
Sciences). Avec une préface par le professeur \Author{Paul Ehrlich},
directeur de l'Institut de thérapeutique expérimentale de
Francfort-sur-le-Mein\DPnote{[** TN: [sic], could be Francfort-sur-le-Main]}.}

% TABLE DES MATIÈRES

\Chap{Préface.}{}

\Chap{Chapitre Premier.}{Généralités.}

\Chap{Chap.~II.}{Méthode analytique.} --- \textit{a})~Valeur de la méthode analytique. ---
\textit{b})~Oxyphilie, basophilie, neutrophilie.

\Chap{Chap.~III.}{La morphologie et les réactions colorantes des granulations
leucocytaires.} --- I.~Granulations éosinophiles~($\alpha$). --- II.~Granulations
neutrophiles~($\varepsilon$). --- III.~Granulations basophiles métachromatiques~($\gamma$).

\Chap{Chap.~IV.}{Les espèces leucocytaires du sang et des organes hématopoïétiques.
Globules blancs jeunes (myélocytes) et adultes. Relations
entre les diverses catégories de leucocytes.} --- I.~Les diverses espèces
de globules blancs. --- II.~Leucocyte granulé jeune (myélocyte); leucocyte
granulé adulte (à noyau polymorphe). --- III.~Relations entre les
diverses catégories de leucocytes.

\Chap{Chap.~V.}{Cytogenèse des globules blancs granulés.} --- I.~\emph{La moelle osseuse.} ---
\textit{a})~Considérations d'ordre histologique. --- \textit{b})~Considérations d'ordre
physiologique. --- \textit{c})~Considérations d'ordre anatomo-clinique. --- II.~\emph{La
rate comme générateur de globules blancs granulés.} --- \textit{a})~Considérations
d'ordre histologique. --- \textit{b})~Considérations d'ordre physiologique.

\Chap{Chap.~VI.}{Variations numériques des leucocytes granulés du sang.
Leucocytose.} --- I.~La leucocytose\DPtypo{,}{.} --- 1.~La théorie de Virchow. ---
2.~La théorie de Schur et Lowy. --- 3.~La théorie \DPtypo{d}{de} Schultz. --- 4.~La
théorie de Buchner et Roemer. --- 5.~La théorie chimiotaxique. ---
II.~Taux leucocytaire du sang normal.

\Chap{Chap.~VII.}{Éosinophilie hématique.} --- 1.~Éosinophilie taxique. --- 2.~Éosinophilie
réactionnelle. --- 3.~Éosinophilie dans l'asthme. --- 4.~Éosinophilie
dans les maladies cutanées. --- 5.~Éosinophilie dans les affections
parasitaires.

\Chap{Chap.~VIII.}{Éosinophilie locale.} --- 1.~Éosinophiles dans les crachats. ---
2.~Éosinophiles dans les affections cutanées. --- Théorie de la formation
locale des cellules éosinophiles.

\Chap{Chap.~IX.}{Considérations générales sur les autres cellules granulées
(neutrophiles, Mastzellen). La Mastzellen-leucocytose.} --- La Mastzellen-leucocytose.\DPnote{[** TN: [sic] répétition]}

\Chap{Chap.~X.}{Importance des granulations leucocytaires. Leur caractère
spécifique.}
\end{Book}
\DPPageSep{099}{99}%


\begin{Book}{17.}{Les Phénomènes des Métamorphoses
internes,}{par \Author{J. Anglas}, docteur ès sciences.}

% TABLE DES MATIÈRES

\Chap{Introduction.}{}

\Chap{}{I.~Transformation et métamorphose. --- II.~L'histolyse et l'histogenèse. ---
III.~État actuel de la question. --- IV.~Mécanisme et déterminisme
de la métamorphose.}

\Chap{Chapitre Premier.}{Histogenèse précédée d'une histolyse peu considérable.} ---
I.~\emph{Téguments.} Histoblastes, replis et disques imaginaux.
Histogenèse des appendices et de l'hypoderme. Modification de l'hypoderme
larvaire. Éléments dérivés de l'hypoderme. Rôle des leucocytes. ---
II.~\emph{Système trachéen.} Cas ne comportant pas d'histolyse. ---
III.~\emph{{\OE}sophage et intestin postérieur.} --- IV.~\emph{Tube excréteur ou de
Malpighi.} --- V.~\emph{Système nerveux.} --- VI.~\emph{Organes génitaux.} La conservation
de l'individu et celle de l'espèce. Modification de l'ovaire de
\textit{Culex pipiens}. Histolyse des cellules nourricières. Rôle des leucocytes.
La métamorphose et l'évolution génitale.

\Chap{Chap.~II.}{Les processus de l'histolyse.} --- I.~\emph{Généralités sur les tissus
conjonctifs.} Conjonctif de la larve. Conjonctif de la nymphe. Sarcocytes;
Körnchenkugel. Conjonctif de l'adulte. --- II.~\emph{Évolution de la
cellule adipeuse d'un Diptère.} Larve jeune; réserves adipeuses. Larve
mûre; granules albuminoïdes. Nymphe. Origine des réserves albuminoïdes.
Adulte. --- III.~\emph{Évolution du tissu adipeux chez les Insectes en
général.} --- IV.~\emph{Quelques théories de l'histolyse du corps adipeux.} ---
V.~\emph{Cellules excrétrices et {\oe}nocytes.} --- VI.~\emph{Leucocytes.} --- VII.~\emph{Le tissu
musculaire en général.} Muscles larvaires. Marche de l'histolyse dans
les muscles. --- VIII.~\emph{Histolyse totale de muscles.} Dégénérescence du
noyau. Sarcocytes. Caryolytes. Sarcolytes. Histolyse des fibres. Rôle
des leucocytes. --- IX.~\emph{Histolyse partielle de muscles.} Destruction de
fibres. Transformation de fibres larvaires. --- X.~\emph{Histolyse des muscles
avec remaniement considérable.} --- XI.~\emph{Histolyse musculaire chez les
Diptères.} --- XII.~\emph{Historique critique du problème de la myolyse.}
Théories absolues: A)~\emph{Théorie phagocytaire.} Théories absolues: B)~\emph{Régression
chimique.} --- Théories mixtes: A)~\emph{Autophagocytose.} Théories
mixtes: B)~\emph{Lyocytose.} --- XIII.~\emph{Histolyse des tubes de Malpighi et des
glandes séricigènes.} Rôle des leucocytes. --- XIV.~\emph{Histolyse de l'intestin
moyen.} Épithélium larvaire. Cellules de remplacement; îlots de remplacement.
Leur origine. Histolyse de l'épithélium larvaire.

\Chap{Chap.~III.}{Les caractères de l'histolyse.} --- I.~La dégénérescence initiale. ---
II.~Y~a-t-il autophagocytose? --- III.~Éliminations nucléaires et protoplasmiques. ---
IV.~Agglomérations leucocytaires. --- V.~Englobement
et transport de débris tissulaires par les leucocytes. --- VI.~La phagocytose.

\Chap{Chap.~IV.}{Les processus de l'histogenèse.} --- I.~\emph{Tissu adipeux imaginal.}
Évolution des noyaux musculaires larvaires. --- II.~\emph{Tissu musculaire
imaginal.} Origine des noyaux imaginaux. Muscles longitudinaux de
\DPPageSep{100}{100}%
l'abdomen. Muscles du thorax. Muscles péri-intestinaux. --- III.~\emph{Histogenèse
de l'intestin moyen.} --- IV.~\emph{Origine des éléments imaginaux en
général.} Muscles. Conjonctif. Intestin.

\Chap{Chap.~V.}{Le déterminisme de la métamorphose.} --- I.~\emph{La théorie phagocytaire.}
Les métamorphoses et les processus inflammatoires. ---
II.~\emph{Théorie de la crise génitale.} Objections. --- III.~\emph{Théorie asphyxique.}
Accumulation de~$\DPtypo{CO^{2}}{CO_{2}}$ dans le milieu intérieur. Aucuns troubles de la
nutrition (transpiration, glycogénie, troubles circulatoires). Relation
entre l'asphyxie et la métamorphose. Phénomènes de pigmentation. ---
IV.~\emph{Théorie de l'arrêt physiologique.} Nécrobiose phylogénique et nécrobiose
pathologique. Application à la loi de Geoffroy Saint-Hilaire. ---
V.~\emph{Éthologie des métamorphoses.} Passage de la vie pélagique libre à
la vie sédentaire. Passage de la vie libre à la vie parasite. Passage
de la vie aquatique à la vie aérienne. Changement de régime alimentaire;
cas des Insectes. Hypermétamorphoses. --- VI.~\emph{Les métamorphoses
et la loi de Fr.~Müller.} --- VII.~\emph{Préformation et épigenèse.} ---
VIII.~\emph{Y~a-t-il substitution d'organismes?} --- IX.~\emph{Générations alternantes
et métamorphoses.} Étendue et limites du terme métamorphose.

\Chap{Conclusions.}{}
\end{Book}


\begin{Book}{18.}{Purine et ses dérivés,}{par le
\Dr~\Author{A. Mouneyrat}, docteur ès sciences, ancien préparateur en
chef au laboratoire de chimie biologique de la Faculté de
médecine de Paris.}

% TABLE DES MATIÈRES

\Chap{Introduction.}{}

\Chap{}{Historique des bases xanthiques. --- Méthodes de synthèse de l'acide
urique. --- Constitution et nomenclature de la purine et de ses
dérivés. --- Méthodes de synthèse dans la série purique. --- Acide
urique et ses dérivés monométhylés. --- Acides diméthyluriques. --- Acides
triméthyluriques. --- $2$-$6$-dioxypurine. --- Xanthine et ses
dérivés méthylés. --- Théobromine. --- Théophylline. --- Caféine. --- $6$-$8$-dioxypurine
et ses dérivés méthylés. --- Monoxypurine-Hypoxanthine
et ses dérivés méthylés. --- Monoaminopurine-Adénine. --- Autres
dérivés méthylés. --- Aminooxypurines-Guanidine
et dérivés méthylés. --- Aminodioxypurine et ses dérivés méthylés. --- Thiopurine
et ses dérivés. --- Oxychloropurines. --- Purine. --- Influence
de la structure des dérivés puriques sur leurs propriétés
physiques et chimiques. --- Origine et lieu de formation des bases
puriques dans l'organisme animal. --- Variations physiologiques
et pathologiques des bases puriques. --- Dosage des bases puriques. --- Conclusions
et mécanisme de formation des bases puriques
dans l'organisme animal.}
\end{Book}

\vfill
\begin{center}
\rule{2in}{0.5pt}\\
\scriptsize Paris. --- Imp. \bsc{E. Capiomont} et C\textsuperscript{ie}, rue de Seine, 57.
\end{center}

\cleardoublepage

%%%% LICENCE %%%%
\pagenumbering{Alph}
\phantomsection
\pdfbookmark[0]{Licence}{Licence}
\fancyhf{}
\SetRunningHeads{Project Gutenberg Licence}
\SetPageNumbers

\begin{PGtext}
End of the Project Gutenberg EBook of Sur les Principes Fondamentaux de la
Théorie des Nombres et de la Géométrie, by Hermann Laurent

*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK LA THÉORIE DES NOMBRES ***

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     License.  You must require such a user to return or
     destroy all copies of the works possessed in a physical medium
     and discontinue all use of and all access to other copies of
     Project Gutenberg-tm works.

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     money paid for a work or a replacement copy, if a defect in the
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     of receipt of the work.

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1.E.9.  If you wish to charge a fee or distribute a Project Gutenberg-tm
electronic work or group of works on different terms than are set
forth in this agreement, you must obtain permission in writing from
both the Project Gutenberg Literary Archive Foundation and Michael
Hart, the owner of the Project Gutenberg-tm trademark.  Contact the
Foundation as set forth in Section 3 below.

1.F.

1.F.1.  Project Gutenberg volunteers and employees expend considerable
effort to identify, do copyright research on, transcribe and proofread
public domain works in creating the Project Gutenberg-tm
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of Replacement or Refund" described in paragraph 1.F.3, the Project
Gutenberg Literary Archive Foundation, the owner of the Project
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receive the work electronically in lieu of a refund.  If the second copy
is also defective, you may demand a refund in writing without further
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in paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS' WITH NO OTHER
WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO
WARRANTIES OF MERCHANTIBILITY OR FITNESS FOR ANY PURPOSE.

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interpreted to make the maximum disclaimer or limitation permitted by
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provision of this agreement shall not void the remaining provisions.

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trademark owner, any agent or employee of the Foundation, anyone
providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works in accordance
with this agreement, and any volunteers associated with the production,
promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electronic works,
harmless from all liability, costs and expenses, including legal fees,
that arise directly or indirectly from any of the following which you do
or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm
work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any
Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause.


Section  2.  Information about the Mission of Project Gutenberg-tm

Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of
electronic works in formats readable by the widest variety of computers
including obsolete, old, middle-aged and new computers.  It exists
because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from
people in all walks of life.

Volunteers and financial support to provide volunteers with the
assistance they need, are critical to reaching Project Gutenberg-tm's
goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will
remain freely available for generations to come.  In 2001, the Project
Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure
and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations.
To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation
and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4
and the Foundation web page at http://www.pglaf.org.


Section 3.  Information about the Project Gutenberg Literary Archive
Foundation

The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit
501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the
state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal
Revenue Service.  The Foundation's EIN or federal tax identification
number is 64-6221541.  Its 501(c)(3) letter is posted at
http://pglaf.org/fundraising.  Contributions to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent
permitted by U.S. federal laws and your state's laws.

The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S.
Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered
throughout numerous locations.  Its business office is located at
809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email
business@pglaf.org.  Email contact links and up to date contact
information can be found at the Foundation's web site and official
page at http://pglaf.org

For additional contact information:
     Dr. Gregory B. Newby
     Chief Executive and Director
     gbnewby@pglaf.org


Section 4.  Information about Donations to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation

Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide
spread public support and donations to carry out its mission of
increasing the number of public domain and licensed works that can be
freely distributed in machine readable form accessible by the widest
array of equipment including outdated equipment.  Many small donations
($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt
status with the IRS.

The Foundation is committed to complying with the laws regulating
charities and charitable donations in all 50 states of the United
States.  Compliance requirements are not uniform and it takes a
considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up
with these requirements.  We do not solicit donations in locations
where we have not received written confirmation of compliance.  To
SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any
particular state visit http://pglaf.org

While we cannot and do not solicit contributions from states where we
have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition
against accepting unsolicited donations from donors in such states who
approach us with offers to donate.

International donations are gratefully accepted, but we cannot make
any statements concerning tax treatment of donations received from
outside the United States.  U.S. laws alone swamp our small staff.

Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation
methods and addresses.  Donations are accepted in a number of other
ways including checks, online payments and credit card donations.
To donate, please visit: http://pglaf.org/donate


Section 5.  General Information About Project Gutenberg-tm electronic
works.

Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm
concept of a library of electronic works that could be freely shared
with anyone.  For thirty years, he produced and distributed Project
Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support.


Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed
editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S.
unless a copyright notice is included.  Thus, we do not necessarily
keep eBooks in compliance with any particular paper edition.


Most people start at our Web site which has the main PG search facility:

     http://www.gutenberg.org

This Web site includes information about Project Gutenberg-tm,
including how to make donations to the Project Gutenberg Literary
Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to
subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks.
\end{PGtext}

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
%                                                                         %
% End of the Project Gutenberg EBook of Sur les Principes Fondamentaux de la
% Théorie des Nombres et de la Géométrie, by Hermann Laurent              %
%                                                                         %
% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK LA THÉORIE DES NOMBRES ***      %
%                                                                         %
% ***** This file should be named 33132-t.tex or 33132-t.zip *****        %
% This and all associated files of various formats will be found in:      %
%         http://www.gutenberg.org/3/3/1/3/33132/                         %
%                                                                         %
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %

\end{document}

###
@ControlwordReplace = (
  ['\\oe', 'oe'],
  ['\\OE', 'Oe'],
  ['\\primo', '1^o'],
  ['\\secundo', '2^o'],
  ['\\tertio', '3^o'],
  ['\\quarto', '4^o'],
  ['---', '-- ']
  );

@ControlwordArguments = (
  ['\\DPPageSep', 1, 0, '', '', 1, 0, '', ''],
  ['\\Chapter', 1, 0, '', '', 1, 0, '', '', 1, 1, '', ''],
  ['\\Section', 0, 0, '', '', 1, 1, '', ''],
  ['\\begin{Book}', 0, 0, 'N^o', ' ', 1, 1, '', ' ', 1, 1, '', ' ', 1, 1, '', ' '],
  ['\\Chap', 1, 1, '', ' ', 1, 1, '', ''],
  ['\\item', 0, 1, '', ''],
  ['\\Author', 1, 1, '', ''],
  ['\\Title', 1, 1, '', ''],
  ['\\Ord', 1, 1, '', '', 1, 1, '^{', '}'],
  ['\\DPtypo', 1, 0, '', '', 1, 1, '', ''],
  ['\\DPnote', 1, 0, '', ''],
  ['\\pdfbookmark', 0, 0, '', '', 1, 0, '', '', 1, 0, '', ''],
  ['\\Add', 1, 1, '', ''],
  ['\\tb', 0, 0, '', '']
  );
###
This is pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6) (format=pdflatex 2010.5.6)  10 JUL 2010 14:23
entering extended mode
 %&-line parsing enabled.
**33132-t.tex
(./33132-t.tex
LaTeX2e <2005/12/01>
Babel <v3.8h> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh
yphenation, arabic, farsi, croatian, ukrainian, russian, bulgarian, czech, slov
ak, danish, dutch, finnish, basque, french, german, ngerman, ibycus, greek, mon
ogreek, ancientgreek, hungarian, italian, latin, mongolian, norsk, icelandic, i
nterlingua, turkish, coptic, romanian, welsh, serbian, slovenian, estonian, esp
eranto, uppersorbian, indonesian, polish, portuguese, spanish, catalan, galicia
n, swedish, ukenglish, pinyin, loaded.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/book.cls
Document Class: book 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/bk12.clo
File: bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
)
\c@part=\count79
\c@chapter=\count80
\c@section=\count81
\c@subsection=\count82
\c@subsubsection=\count83
\c@paragraph=\count84
\c@subparagraph=\count85
\c@figure=\count86
\c@table=\count87
\abovecaptionskip=\skip41
\belowcaptionskip=\skip42
\bibindent=\dimen102
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty
Package: inputenc 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
\inpenc@prehook=\toks14
\inpenc@posthook=\toks15
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/latin1.def
File: latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/fontenc.sty
Package: fontenc 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1enc.def
File: t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding T1 on input line 43.
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.sty
Package: babel 2005/11/23 v3.8h The Babel package
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.ldf
Language: french 2005/02/06 v1.6g French support from the babel system
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.def
File: babel.def 2005/11/23 v3.8h Babel common definitions
\babel@savecnt=\count88
\U@D=\dimen103
)
Package babel Info: Making : an active character on input line 219.
Package babel Info: Making ; an active character on input line 220.
Package babel Info: Making ! an active character on input line 221.
Package babel Info: Making ? an active character on input line 222.
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding T1 on input line 299.
\parindentFFN=\dimen104
\std@mcc=\count89
\dec@mcc=\count90
*************************************
* Local config file frenchb.cfg used
*
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.cfg))) (/usr/share/texmf-te
xlive/tex/latex/tools/calc.sty
Package: calc 2005/08/06 v4.2 Infix arithmetic (KKT,FJ)
\calc@Acount=\count91
\calc@Bcount=\count92
\calc@Adimen=\dimen105
\calc@Bdimen=\dimen106
\calc@Askip=\skip43
\calc@Bskip=\skip44
LaTeX Info: Redefining \setlength on input line 75.
LaTeX Info: Redefining \addtolength on input line 76.
\calc@Ccount=\count93
\calc@Cskip=\skip45
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ifthen.sty
Package: ifthen 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/array.sty
Package: array 2005/08/23 v2.4b Tabular extension package (FMi)
\col@sep=\dimen107
\extrarowheight=\dimen108
\NC@list=\toks16
\extratabsurround=\skip46
\backup@length=\skip47
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features
\@mathmargin=\skip48
For additional information on amsmath, use the `?' option.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty
Package: amstext 2000/06/29 v2.01
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0
\@emptytoks=\toks17
\ex@=\dimen109
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d
\pmbraise@=\dimen110
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names
)
\inf@bad=\count94
LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211.
\uproot@=\count95
\leftroot@=\count96
LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307.
\classnum@=\count97
\DOTSCASE@=\count98
LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379.
LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382.
LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467.
\Mathstrutbox@=\box26
\strutbox@=\box27
\big@size=\dimen111
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OML on input line 567.
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OMS on input line 568.
\macc@depth=\count99
\c@MaxMatrixCols=\count100
\dotsspace@=\muskip10
\c@parentequation=\count101
\dspbrk@lvl=\count102
\tag@help=\toks18
\row@=\count103
\column@=\count104
\maxfields@=\count105
\andhelp@=\toks19
\eqnshift@=\dimen112
\alignsep@=\dimen113
\tagshift@=\dimen114
\tagwidth@=\dimen115
\totwidth@=\dimen116
\lineht@=\dimen117
\@envbody=\toks20
\multlinegap=\skip49
\multlinetaggap=\skip50
\mathdisplay@stack=\toks21
LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666.
LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
Package: amsfonts 2001/10/25 v2.2f
\symAMSa=\mathgroup4
\symAMSb=\mathgroup5
LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
(Font)                  U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132.
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/alltt.sty
Package: alltt 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/textcase/textcase.sty
Package: textcase 2004/10/07 v0.07 Text only upper/lower case changing (DPC)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/fancyhdr/fancyhdr.sty
\fancy@headwidth=\skip51
\f@ncyO@elh=\skip52
\f@ncyO@erh=\skip53
\f@ncyO@olh=\skip54
\f@ncyO@orh=\skip55
\f@ncyO@elf=\skip56
\f@ncyO@erf=\skip57
\f@ncyO@olf=\skip58
\f@ncyO@orf=\skip59
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/geometry/geometry.sty
Package: geometry 2002/07/08 v3.2 Page Geometry
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty
Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
\KV@toks@=\toks22
)
\Gm@cnth=\count106
\Gm@cntv=\count107
\c@Gm@tempcnt=\count108
\Gm@bindingoffset=\dimen118
\Gm@wd@mp=\dimen119
\Gm@odd@mp=\dimen120
\Gm@even@mp=\dimen121
\Gm@dimlist=\toks23
(/usr/share/texmf-texlive/tex/xelatex/xetexconfig/geometry.cfg)) (/usr/share/te
xmf-texlive/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
Package: hyperref 2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX
\@linkdim=\dimen122
\Hy@linkcounter=\count109
\Hy@pagecounter=\count110
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/pd1enc.def
File: pd1enc.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
) (/etc/texmf/tex/latex/config/hyperref.cfg
File: hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty
Package: kvoptions 2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (
HO)
)
Package hyperref Info: Option `hyperfootnotes' set `false' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `bookmarks' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `linktocpage' set `false' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `pdfdisplaydoctitle' set `true' on input line 223
8.
Package hyperref Info: Option `pdfpagelabels' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `bookmarksopen' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `colorlinks' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 2288.
Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 2293.
Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 2296.
Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 2303.
Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 2308.
Implicit mode ON; LaTeX internals redefined
Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 2444.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/url.sty
\Urlmuskip=\muskip11
Package: url 2005/06/27  ver 3.2  Verb mode for urls, etc.
)
LaTeX Info: Redefining \url on input line 2599.
\Fld@menulength=\count111
\Field@Width=\dimen123
\Fld@charsize=\dimen124
\Choice@toks=\toks24
\Field@toks=\toks25
Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 3102.
Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 3107.
Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 3110.
Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 3117.
Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 3120.
\Hy@abspage=\count112
\c@Item=\count113
)
*hyperref using driver hpdftex*
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hpdftex.def
File: hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX
\Fld@listcount=\count114
)
\c@ChapNo=\count115
\Skip=\skip60
(./33132-t.aux)
\openout1 = `33132-t.aux'.

LaTeX Font Info:    Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 470.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 470.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for T1/lmr/m/n on input line 470.
LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+lmr on input line 470.
(/usr/share/texmf/tex/latex/lm/t1lmr.fd
File: t1lmr.fd 2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern
)
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 470.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 470.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 470.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 470.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 470.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 470.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 470.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 470.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 470.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 470.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 470.
LaTeX Info: Redefining \dots on input line 470.
-------------------- Geometry parameters
paper: class default
landscape: --
twocolumn: --
twoside: true
asymmetric: --
h-parts: 36.135pt, 361.34999pt, 36.13501pt
v-parts: 13.98709pt, 543.19225pt, 20.98065pt
hmarginratio: 1:1
vmarginratio: 2:3
lines: --
heightrounded: --
bindingoffset: 0.0pt
truedimen: --
includehead: true
includefoot: true
includemp: --
driver: pdftex
-------------------- Page layout dimensions and switches
\paperwidth  433.62pt
\paperheight 578.15999pt
\textwidth  361.34999pt
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\headsep    19.8738pt
\footskip   30.0pt
\marginparwidth 98.0pt
\marginparsep   7.0pt
\columnsep  10.0pt
\skip\footins  10.8pt plus 4.0pt minus 2.0pt
\hoffset 0.0pt
\voffset 0.0pt
\mag 1000
\@twosidetrue \@mparswitchtrue 
(1in=72.27pt, 1cm=28.45pt)
-----------------------
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/color.sty
Package: color 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
(/etc/texmf/tex/latex/config/color.cfg
File: color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
)
Package color Info: Driver file: pdftex.def on input line 130.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def
File: pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
\Gread@gobject=\count116
(/usr/share/texmf/tex/context/base/supp-pdf.tex
[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).]
\scratchcounter=\count117
\scratchdimen=\dimen125
\scratchbox=\box28
\nofMPsegments=\count118
\nofMParguments=\count119
\everyMPshowfont=\toks26
\MPscratchCnt=\count120
\MPscratchDim=\dimen126
\MPnumerator=\count121
\everyMPtoPDFconversion=\toks27
)))
Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 470.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/nameref.sty
Package: nameref 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/refcount.sty
Package: refcount 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO)
)
\c@section@level=\count122
)
LaTeX Info: Redefining \ref on input line 470.
LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 470.
(./33132-t.out) (./33132-t.out)
\@outlinefile=\write3
\openout3 = `33132-t.out'.

LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+cmtt on input line 485.

(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1cmtt.fd
File: t1cmtt.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
)
Overfull \hbox (26.00542pt too wide) in paragraph at lines 495--495
[]\T1/cmtt/m/n/9 Title: Sur les Principes Fondamentaux de la Théorie des Nombre
s et de la Géométrie[] 
 []

LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msa on input line 507.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msb on input line 507.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
) [1


{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2

]
LaTeX Font Info:    Try loading font information for OML+cmr on input line 546.

(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/omlcmr.fd
File: omlcmr.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
)
LaTeX Font Info:    Font shape `OML/cmr/m/it' in size <12> not available
(Font)              Font shape `OML/cmm/m/it' tried instead on input line 546.
LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+cmss on input line 561.

(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1cmss.fd
File: t1cmss.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
) [1

] (./33132-t.toc)
\tf@toc=\write4
\openout4 = `33132-t.toc'.

[2


] [1




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0] [41] [1

] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]pdfTeX warning (ext4): destination with the same i
dentifier (name{page.I}) has been already used, duplicate ignored
<to be read again> 
                   \relax 
l.6004 \end{document}
                      [9] (./33132-t.aux)

 *File List*
    book.cls    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
    bk12.clo    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
inputenc.sty    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
  latin1.def    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
 fontenc.sty
   t1enc.def    2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
   babel.sty    2005/11/23 v3.8h The Babel package
 frenchb.ldf
 frenchb.cfg
    calc.sty    2005/08/06 v4.2 Infix arithmetic (KKT,FJ)
  ifthen.sty    2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
   array.sty    2005/08/23 v2.4b Tabular extension package (FMi)
 amsmath.sty    2000/07/18 v2.13 AMS math features
 amstext.sty    2000/06/29 v2.01
  amsgen.sty    1999/11/30 v2.0
  amsbsy.sty    1999/11/29 v1.2d
  amsopn.sty    1999/12/14 v2.01 operator names
 amssymb.sty    2002/01/22 v2.2d
amsfonts.sty    2001/10/25 v2.2f
   alltt.sty    1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
textcase.sty    2004/10/07 v0.07 Text only upper/lower case changing (DPC)
fancyhdr.sty    
geometry.sty    2002/07/08 v3.2 Page Geometry
  keyval.sty    1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
geometry.cfg
hyperref.sty    2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX
  pd1enc.def    2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
hyperref.cfg    2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
kvoptions.sty    2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (HO
)
     url.sty    2005/06/27  ver 3.2  Verb mode for urls, etc.
 hpdftex.def    2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX
   t1lmr.fd    2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern
   color.sty    2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
   color.cfg    2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
  pdftex.def    2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
supp-pdf.tex
 nameref.sty    2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section
refcount.sty    2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO)
 33132-t.out
 33132-t.out
  t1cmtt.fd    1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
    umsa.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
    umsb.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
  omlcmr.fd    1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
  t1cmss.fd    1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
 ***********

 ) 
Here is how much of TeX's memory you used:
 5456 strings out of 94074
 71005 string characters out of 1165154
 132153 words of memory out of 1500000
 8369 multiletter control sequences out of 10000+50000
 42180 words of font info for 97 fonts, out of 1200000 for 2000
 645 hyphenation exceptions out of 8191
 26i,17n,45p,258b,493s stack positions out of 5000i,500n,6000p,200000b,5000s
{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc}</usr/share/texmf-
texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmex10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1
/bluesky/cm/cmmi10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi12.
pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi5.pfb></usr/share/texm
f-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi6.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type
1/bluesky/cm/cmmi8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr10.p
fb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr6.pfb></usr/share/texmf-
texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/b
luesky/cm/cmr8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy10.pfb>
</usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy6.pfb></usr/share/texmf-te
xlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bl
uesky/ams/msam10.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbi1440.pfb
></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx0600.pfb></usr/share/texmf/f
onts/type1/public/cm-super/sfbx0700.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm
-super/sfbx0800.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1000.pfb>
</usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1095.pfb></usr/share/texmf/fo
nts/type1/public/cm-super/sfbx1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-
super/sfbx1728.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx2074.pfb><
/usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx2488.pfb></usr/share/texmf/fon
ts/type1/public/cm-super/sfcc0700.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-s
uper/sfcc0800.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfcc1000.pfb></
usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfcc1200.pfb></usr/share/texmf/font
s/type1/public/cm-super/sfrm0600.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-su
per/sfrm0700.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm0800.pfb></u
sr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1000.pfb></usr/share/texmf/fonts
/type1/public/cm-super/sfrm1095.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-sup
er/sfrm1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1440.pfb></us
r/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1728.pfb></usr/share/texmf/fonts/
type1/public/cm-super/sfsi1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-supe
r/sfsl1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfsx1440.pfb></usr
/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfti1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/t
ype1/public/cm-super/sfti1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super
/sftt0900.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfxc1000.pfb>
Output written on 33132-t.pdf (121 pages, 951321 bytes).
PDF statistics:
 1001 PDF objects out of 1200 (max. 8388607)
 255 named destinations out of 1000 (max. 131072)
 273 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)

