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% The Project Gutenberg EBook of Die Potentialfunction und das Potential, by 
% Rudolf Clausius                                                         %
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% This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with        %
% almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or    %
% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included     %
% with this eBook or online at www.gutenberg.org                          %
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% Title: Die Potentialfunction und das Potential                          %
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% Author: Rudolf Clausius                                                 %
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% Release Date: June 1, 2010 [EBook #32634]                               %
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% Language: German                                                        %
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% Character set encoding: ISO-8859-1                                      %
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% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK DIE POTENTIALFUNCTION ***     %
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\def\ebook{32634}
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%% Packages and substitutions:                                      %%
%%                                                                  %%
%% book:     Required.                                              %%
%% inputenc: Standard DP encoding. Required.                        %%
%%                                                                  %%
%% ifthen:   Logical conditionals. Required.                        %%
%%                                                                  %%
%% babel:    German spacing and hyphenation paterns. Required.      %%
%%                                                                  %%
%% amsmath:  AMS mathematics enhancements. Required.                %%
%% amssymb:  Additional mathematical symbols. Required.             %%
%%                                                                  %%
%% alltt:    Fixed-width font environment. Required.                %%
%%                                                                  %%
%% calc:     Infix arithmetic. Required.                            %%
%%                                                                  %%
%% indentfirst: Indent first word of each sectional unit. Required. %%
%%                                                                  %%
%% footmisc: Extended footnote capabilities. Required.              %%
%%                                                                  %%
%% graphicx: Standard interface for graphics inclusion. Required.   %%
%% fancyhdr: Enhanced running headers and footers. Required.        %%
%%                                                                  %%
%% geometry: Enhanced page layout package. Required.                %%
%% hyperref: Hypertext embellishments for pdf output. Required.     %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Producer's Comments:                                             %%
%%                                                                  %%
%%   Changes are noted in this file in three ways.                  %%
%%   1. \DPnote{} for in-line `placeholder' notes.                  %%
%%   2. \DPtypo{}{} for typographical corrections, showing original %%
%%      and replacement text side-by-side.                          %%
%%   3. [** TN: Note]s for lengthier or stylistic comments.         %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Compilation Flag:                                                %%
%%                                                                  %%
%%   The following behavior may be controlled by boolean flags.     %%
%%                                                                  %%
%%   ForPrinting (false by default):                                %%
%%   Compile a screen-optimized PDF file. Set to false for print-   %%
%%   optimized file (pages cropped, one-sided, blue hyperlinks).    %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Things to Check:                                                 %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Spellcheck: .................................. OK                %%
%% Smoothreading pool: ......................... yes                %%
%%                                                                  %%
%% lacheck: ..................................... OK                %%
%%   About 24 false positives                                       %%
%%                                                                  %%
%% PDF pages: 219 (if ForPrinting set to false)                     %%
%% PDF page size: 6 x 8" (non-standard)                             %%
%% PDF bookmarks: created                                           %%
%% PDF document info: filled in                                     %%
%% Images: 1 pdf diagram (publisher's device)                       %%
%%                                                                  %%
%% Summary of log file:                                             %%
%% * One overfull hbox (~2.5pt) if ForPrinting set to false.        %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Compile History:                                                 %%
%%                                                                  %%
%% May, 2010: adhere (Andrew D. Hwang)                              %%
%%            texlive2007, GNU/Linux                                %%
%%                                                                  %%
%% Command block:                                                   %%
%%                                                                  %%
%%     pdflatex x4                                                  %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% June 2010: pglatex.                                              %%
%%   Compile this project with:                                     %%
%%   pdflatex 32634-t.tex ..... FOUR times                          %%
%%                                                                  %%
%%   pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6)                 %%
%%                                                                  %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\listfiles
\documentclass[12pt,leqno]{book}[2005/09/16]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% PACKAGES %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[latin1]{inputenc}[2006/05/05]
\usepackage[T1]{fontenc}[2005/09/27]

\usepackage{ifthen}[2001/05/26]  %% Logical conditionals

\usepackage[greek,germanb]{babel}[2005/11/23]

\usepackage{amsmath}[2000/07/18] %% Displayed equations
\usepackage{amssymb}[2002/01/22] %% and additional symbols

\usepackage{alltt}[1997/06/16]   %% boilerplate, credits, license

\usepackage{calc}[2005/08/06]
\usepackage{indentfirst}[1995/11/23]

                                 %% extended footnote capabilities
\usepackage[perpage]{footmisc}[2005/03/17]

\usepackage{graphicx}[1999/02/16]
\usepackage{fancyhdr}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%% Interlude:  Set up PRINTING (default) or SCREEN VIEWING %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% ForPrinting=true (default)           false
% Asymmetric margins                   Symmetric margins
% Black hyperlinks                     Blue hyperlinks
% Start Preface, ToC, etc. recto       No blank verso pages
%
% Chapter-like ``Sections'' start both recto and verso in the scanned
% book. This behavior has been retained.
\newboolean{ForPrinting}

%% UNCOMMENT the line below for a PRINT-OPTIMIZED VERSION of the text.
%% Um eine für den Druck optimierte Version zu erhalten, entfernen Sie
%% das %-Zeichen vor der nächsten Zeile.
%\setboolean{ForPrinting}{true}

%% Initialize values to ForPrinting=false
\newcommand{\Margins}{hmarginratio=1:1}     % Symmetric margins
\newcommand{\HLinkColor}{blue}              % Hyperlink color
\newcommand{\PDFPageLayout}{SinglePage}
\newcommand{\TransNote}{Anmerkungen zur Transkription}
\newcommand{\TransNoteCommon}{%
  Ein Exemplar des Originals wurde dankenswerterweise von der Cornell
  University Library: Historical Mathematics Monographs Collection
  zur Verfügung gestellt.
  \bigskip

  Kleinere typographische Korrekturen und Änderungen der Formatierung
  wurden stillschweigend vorgenommen.
  \bigskip
}

\newcommand{\TransNoteText}{%
  \TransNoteCommon

  Diese PDF-Datei wurde für die Anzeige auf einem Bildschirm
  optimiert, kann bei Bedarf aber leicht für den Druck angepasst
  werden. Anweisungen dazu finden Sie am Anfang des
  LaTeX-Quelltextes.
}
%% Re-set if ForPrinting=true
\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{%
  \renewcommand{\Margins}{hmarginratio=2:3} % Asymmetric margins
  \renewcommand{\HLinkColor}{black}         % Hyperlink color
  \renewcommand{\PDFPageLayout}{TwoPageRight}
  \renewcommand{\TransNote}{Transcriber's Note}
  \renewcommand{\TransNoteText}{%
    \TransNoteCommon

    Diese PDF-Datei wurde für den Druck optimiert, kann bei Bedarf
    aber leicht für den Bildschirm angepasst werden. Anweisungen dazu
    finden Sie am Anfang des LaTeX-Quelltextes.
  }
}{% If ForPrinting=false, don't skip to recto
  \renewcommand{\cleardoublepage}{\clearpage}
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%  End of PRINTING/SCREEN VIEWING code; back to packages  %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{%
  \setlength{\paperwidth}{8.5in}%
  \setlength{\paperheight}{11in}%
  \usepackage[body={5in,6.66in},\Margins]{geometry}[2002/07/08]
}{%
  \setlength{\paperwidth}{6in}%
  \setlength{\paperheight}{8in}%
  \raggedbottom
  \usepackage[body={5in,6.66in},\Margins,includeheadfoot]{geometry}[2002/07/08]
}

\providecommand{\ebook}{00000}    % Overridden during white-washing
\usepackage[pdftex,
  hyperfootnotes=false,
  pdfauthor={Rudolf Clausius},
  pdftitle={Die Potentialfunction und das Potential},
  pdfkeywords={Andrew D. Hwang, R. Stephan, Joshua Hutchinson,
               Project Gutenberg Online Distributed Proofreading Team,
               Cornell University Library: Historical Mathematics
               Monographs collection},
  pdfstartview=Fit,    % default value
  pdfstartpage=1,      % default value
  pdfpagemode=UseNone, % default value
  bookmarks=true,      % default value
  linktocpage=false,   % default value
  pdfpagelayout=\PDFPageLayout,
  pdfdisplaydoctitle,
  pdfpagelabels=true,
  bookmarksopen=true,
  bookmarksopenlevel=1,
  colorlinks=true,
  linkcolor=\HLinkColor]{hyperref}[2007/02/07]

% Re-crop screen-formatted version, accommodating wide displays
\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}
  {}
  {\hypersetup{pdfpagescrop= 30 30 400 675}}

%%%% Global space/size parameters %%%%
\emergencystretch 1.5em
\hyphenation{nicht-umkehrbare Ver-theilung Wer-the}% These are getting badly hyphenated

%%%% Fixed-width environment to format PG boilerplate %%%%
% 9.2pt leaves no overfull hbox at 80 char line width
\newenvironment{PGtext}{%
\begin{alltt}
\fontsize{9.2}{10.5}\ttfamily\selectfont}%
{\end{alltt}}


%%%% Table of contents %%%%
\AtBeginDocument{%
  \renewcommand{\contentsname}{%
    \protect\centering\protect\LARGE%
    Inhalt.\protect\\\protect\tb[0.375in]\protect\\[-24pt]
  }
}

\newcommand{\TableofContents}{%
  \cleardoublepage
  \phantomsection\pdfbookmark[0]{Inhaltsverzeischnis}{Inhalt}
  \thispagestyle{empty}
  \fancyhead[C]{Inhalt.}
  \footnotesize
  \tableofcontents
  \ctb
  \normalsize
}

\newcommand{\ToCBox}[1]{%
  \ifthenelse{\equal{#1}{Zusatz I.}\or\equal{#1}{Zusatz II.}}{%
    \settowidth{\TmpLen}{§9999}%
    \addtolength{\TmpLen}{8pt}%
    \hspace*{\TmpLen}% Leave empty space
  }{%
    \settowidth{\TmpLen}{9999}%
    §\makebox[\TmpLen][r]{#1}\hspace*{8pt}%
  }%
}
\newcommand{\ToCAnchor}{}% Used for internal bookkeeping

\newcommand{\ToCChap}[1]{\subsection*{\centering\normalsize\textbf{#1}}}

\newcommand{\ToCSect}[2]{%
% If we're on a new page, print "Seite" heading
  \label{toc:#1}%
  \ifthenelse{\not\equal{\pageref{toc:#1}}{\ToCAnchor}}{%
    \renewcommand{\ToCAnchor}{\pageref{toc:#1}}%
    \noindent\makebox[\linewidth][c]{\footnotesize\null\hfill Seite}\\[6pt]%
  }{}%
% Set the ToC entry
  \settowidth{\TmpLen}{\,999}%
  \noindent\parbox[b]{\linewidth - \TmpLen}{%
    \hangindent4.5em\ToCBox{#1}#2\dotfill}\hfill\pageref{sect:#1}%
  \vspace{6pt plus 2pt minus 4pt}%
}

%% Running heads
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\newcommand{\SetPageNumbers}{%
  \ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{%
    \fancyhead[RO,LE]{\thepage}% End of ForPrinting
  }{%
    \fancyhead[R]{\thepage}%
  }%
}

\newcounter{Chapter}
\setcounter{Chapter}{0}

% \Chapter[ToC entry]{Title} -- for numbered chapters
\newcommand{\Chapter}[1]{%
  \clearpage\pagestyle{fancy}\fancyhf{}%
  \setlength{\headheight}{14.5pt}%
  \cleardoublepage
  \phantomsection
  \refstepcounter{Chapter}%
  \label{chap:\theChapter}%
  \pdfbookmark[0]{#1}{\theChapter}%
  \ifthenelse{\not\equal{#1}{Vorwort.}}{%
    \addtocontents{toc}{\protect\ToCChap{#1}}%
  }{}%
  \section*{\centering\large #1}
  \thispagestyle{empty}
  \fancyhead[C]{#1}% [** TN: Discarding section-title running heads]
  \SetPageNumbers%
}

\newcommand{\Section}[2]{%
  \subsection*{\normalfont\normalsize\centering§ #1\break\Emphasis{#2}}
  \label{sect:#1}%
  \addtocontents{toc}{\protect\ToCSect{#1}{#2}}%
  \ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{%
    \fancyhead[RE,LO]{§ #1}% End of ForPrinting
  }{%
    \fancyhead[L]{§ #1}%
  }%
}

\newcommand{\Subsection}[2]{%
  \pagebreak[3]\par%
  #1)\ \Emphasis{#2}%
  \pagebreak[0]\par
}

\newcommand{\Appendix}[2]{%
  \ifthenelse{\equal{#1}{Zusatz I.}}{%
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\begin{minipage}{\textwidth}
\small
\begin{PGtext}
The Project Gutenberg EBook of Die Potentialfunction und das Potential, by 
Rudolf Clausius

This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or
re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included
with this eBook or online at www.gutenberg.org


Title: Die Potentialfunction und das Potential

Author: Rudolf Clausius

Release Date: June 1, 2010 [EBook #32634]

Language: German

Character set encoding: ISO-8859-1

*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK DIE POTENTIALFUNCTION ***
\end{PGtext}
\end{minipage}
\end{center}

\clearpage


%%%% Credits and transcriber's note %%%%
\begin{center}
\begin{minipage}{\textwidth}
\begin{PGtext}
Produced by Andrew D. Hwang, R. Stephan, Joshua Hutchinson
and the Online Distributed Proofreading Team at
http://www.pgdp.net (This file was produced from images
from the Cornell University Library: Historical Mathematics
Monographs collection.)
\end{PGtext}
\end{minipage}
\end{center}
\vfill

\begin{minipage}{0.85\textwidth}
\small
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\pdfbookmark[0]{Anmerkungen zur Transkription}{Anmerkungen zur Transkription}
\subsection*{\centering\normalfont\scshape%
\normalsize\MakeLowercase{\TransNote}}%

\raggedright
\TransNoteText
\end{minipage}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FRONT MATTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frontmatter
\pagenumbering{Roman}

%% -----File: 001.png---Folio xx-------
%[Blank page]
%% -----File: 002.png---Folio xx-------
%[Blank Page]
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% [Library stamp]
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%% -----File: 005.png---Folio xx-------
\cleardoublepage
\null\vfill
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\begin{center}
\footnotesize DIE \\[\TmpLen]
\LARGE \textbf{POTENTIALFUNCTION} \\[\TmpLen]
\footnotesize UND DAS \\[\TmpLen]
\Large \textbf{POTENTIAL.}
\end{center}
\vfill
%% -----File: 006.png---Folio xx-------
%[Blank Page]
%% -----File: 007.png---Folio xx-------
% Title page
\cleardoublepage
\begin{center}
DIE \\[\TmpLen]
\huge \textbf{POTENTIALFUNCTION} \\[\TmpLen]
\footnotesize UND DAS \\[\TmpLen]
\LARGE \textbf{POTENTIAL.} \\
\tb \\[0.5\TmpLen]
\footnotesize EIN \\[\TmpLen]
\normalsize BEITRAG ZUR MATHEMATISCHEN PHYSIK \\[\TmpLen]
\footnotesize VON \\[\TmpLen]
\large \textbf{R.~CLAUSIUS.} \\
\tb \\[0.5\TmpLen]
%[** TN: Poor man's gesperrt]
\footnotesize V\,I\,E\,R\,T\,E\quad A\,U\,F\,L\,A\,G\,E.
\vfill
%[** Illustration: Publisher's device]
\includegraphics[width=1.5in]{./images/pubmark.pdf}
\vfill
\normalsize LEIPZIG \\[\TmpLen]
\footnotesize JOHANN AMBROSIUS BARTH. \\[\TmpLen]
1885.
\end{center}
%% -----File: 008.png---Folio xx-------
% Verso
\newpage\null\vfill
\begin{center}
\scriptsize Leipzig. Druck von Grimme \& Trömel.
\end{center}
\newpage
%% -----File: 009.png---Folio V-------


\Chapter{Vorwort.}

Die vorliegende Schrift beschäftigt sich mit der schon von
\Person{Laplace} und \Person{Poisson} angewandten und später von \Person{Green}\footnote
  {\Title{An Essay on the Application of mathematical Analysis to the theories
  of Electricity and Magnetism}; by \Person{George Green}. Nottingham 1828. --- Wieder
  abgedruckt in \Person{Crelle}'s Journ.\ Bd.~44 u.~47.} und
\Person{Gauss}\footnote
  {\Title{Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnisse
  des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstossungskräfte.
  Resultate aus den Beobachtungen des magnetischen Vereins im Jahre~1839.}}
speciell behandelten Function, welcher \Person{Green} den Namen
\Emphasis{Potentialfunction} gegeben hat, und sie hat den Zweck, den
Leser auf möglichst einfache Art mit dieser Function vertraut zu
machen.

Sie giebt daher eine von den Grundgleichungen der Mechanik
ausgehende, zusammenhängende Auseinandersetzung von der Bedeutung
dieser Function, von den Bedingungen, unter denen sie
anwendbar ist, und von den wichtigsten über ihr Verhalten geltenden
Sätzen. Daran schliesst sich zugleich die Behandlung einer
anderen Grösse an, welche von \Person{Green} gar nicht und von \Person{Gauss}
nur gelegentlich und unvollständig besprochen ist, nämlich des aus
der Potentialfunction durch Integration hervorgehenden \Emphasis{Potentials},
welches als Ausdruck der von Naturkräften gethanen mechanischen
Arbeit in der mathematischen Physik eine grosse Rolle spielt.
%% -----File: 010.png---Folio VI-------

Die gegenwärtige vierte Auflage entspricht der dritten und
unterscheidet sich von den beiden ersten vorzugsweise durch eine
beträchtliche Vermehrung des Inhaltes. In dem ursprünglichen
und bei den ersten Auflagen eingehaltenen Plane des Buches lag
es nur, diejenigen Gleichungen und Sätze, welche für das eigentliche
Wesen der Potentialfunction und des Potentials characteristisch
sind, zu entwickeln und unter Berücksichtigung aller in Betracht
kommenden Fälle zu beweisen, und demgemäss wurde von der Aufnahme
weiterer, die Potentialfunction betreffender Gleichungen und
Sätze, wie sie in den Schriften von \Person{Green}, \Person{Gauss} und \Person{Dirichlet}
vorkommen, abgesehen. Bei der Bearbeitung der neuen Auflagen
hat es mir aber doch zweckmässig geschienen, auch von diesen
Gleichungen und Sätzen die wichtigsten, welche nicht blos Anwendungen
auf specielle Körperclassen enthalten, sondern von allgemeiner
Bedeutung für die Potentialtheorie sind, mit aufzunehmen
und dadurch der Auseinandersetzung eine grössere Vollständigkeit
zu geben, und ich zweifele nicht daran, dass dieses von den Lesern
als eine Verbesserung anerkannt werden wird.
\bigskip

\Place{Bonn}, März 1885.
\begin{flushright}
\textbf{R.~Clausius.}\qquad\break
\end{flushright}
%% -----File: 011.png---Folio VII-------
\TableofContents
%
\iffalse %[**start TOC]
\chapter*{Inhalt.}

I. Die Potentialfunction.

Seite

§ 1. Ausgangspunkt der Betrachtungen              1

§ 2. Bedingungen, welche als erfüllt vorauszusetzen sind      1

§ 3. Einfache Bestimmung der auf die Kraft bezüglichen Grössen durch
die Function U                    2

§ 4. Geometrische Darstellung mit Hülfe der Niveauflächen. Benennung
der Function U                    4

§ 5. Hauptfall, in welchem eine Kraftfunction existirt        6

§ 6. Beschränkung auf solche Kräfte, welche dem Quadrate der Entfernung
umgekehrt proportional sind, und Beziehung der Kräfte
auf Agentien                    9

§ 7. Annahmen, unter denen die Kraftfunction zur Potentialfunction
wird                        12

§ 8. Messung der Agentien und Festsetzung des Coefficienten \epsilon    13

§ 9. Ueber den Namen Potentialfunction und das bei der Bestimmung
dieser Function angewandte Vorzeichen        15

§ 10. Das Potentialniveau                  17

§ 11. Bestimmung der Potentialfunction für den Fall, wo der Punct p
sich innerhalb des von dem wirksamen Agens stetig erfüllten
Raumes befindet                    18

§ 12. Bestimmung der Potentialfunction einer Kugelschicht, in welcher
die Dichtigkeit eine Function des Radius ist        21

§ 13. Bestimmung der Kraftcomponenten für einen im Innern des wirksamen
Körpers liegenden Punct              26

§ 14. Bestimmung der Differentialcoefficienten der Potentialfunction für
einen im Innern des wirksamen Körpers liegenden Punct    27
%% -----File: 012.png---Folio VIII-------

Seite

§ 15. Satz in Bezug auf die zweiten Differentialcoefficienten der Potentialfunction      30

§ 16. Gestaltung des vorigen Satzes für den Fall, wo der betrachtete
Punct sich innerhalb des wirksamen Körpers befindet      32

§ 17. Beweis des Satzes für den Fall eines homogenen Körpers     35

§ 18. Veränderte Form der Gleichung (II.) und vorläufige Beschränkung  37

§ 19. Umgestaltung der Ausdrücke der Kraftcomponenten      38

§ 20. Beweis der Gleichung (IIa.) für homogene Körper      41

§ 21. Beweis der Gleichung (IIa.) für nicht homogene Körper      44

§ 22. Erweiterte Anwendbarkeit der auf homogene Körper bezüglichen
Formeln                      48

§ 23. Erweiterte Anwendbarkeit der auf nicht homogene Körper bezüglichen
Formeln                    53

§ 24. Specielle Betrachtung des Falles, wo der Punct p sich in unmittelbarer
Nähe der Oberfläche befindet            57

§ 25. Einfluss des Umstandes, wenn die Krümmung der Oberfläche an der
betreffenden Stelle unendlich gross ist            63

§ 26. Zurückführung des Falles, wo in der Nähe von p eine sprungweise
Aenderung der Dichtigkeit stattfindet, auf den vorigen    65

§ 27. Anhäufung eines Agens auf einer Fläche          67

§ 28. Bestimmung der Potentialfunction für eine gleichförmig mit dem
Agens bedeckte ebene Figur              68

§ 29. Verhalten der Differentialcoefficienten erster Ordnung der Potentialfunction  72

§ 30. Formeln, zu welchen man gelangt, wenn man den in Gleichung (95)
gegebenen Ausdruck der Potentialfunction differentiirt      76

§ 31. Verhalten der Differentialcoefficienten zweiter Ordnung der Potentialfunction  79

§ 32. Betrachtung einer gleichförmig mit Agens bedeckten Kugelfläche  81

§ 33. Betrachtung einer beliebig gekrümmten Fläche, in welcher die
Dichtigkeit des Agens nicht constant zu sein braucht      83

§ 34. Verhalten der Grösse E                86

§ 35. Verhalten der Grössen F und G              87

§ 36. Specieller Fall, wo an der betreffenden Stelle die Krümmung der
Fläche unendlich gross ist, oder die Dichtichkeit[**Dichtigkeit, s. §33] sich unendlich
schnell ändert                    94

§ 37. Potentialfunction einer gleichförmig mit Agens bedeckten geraden
Linie                        96

§ 38. Beweis der characteristischen Gleichungen für eine gekrümmte und
ungleichförmig mit Agens bedeckte Linie          98

§ 39. Characteristische Gleichungen für eine in einem Puncte concentrirt
gedachte Menge des Agens                102
%% -----File: 013.png---Folio IX-------

Seite

§ 40. Satz von \Person{Green}     103

§ 41. Erweiterung der vorstehenden Gleichungen     107

§ 42. Satz über den nach der Normale einer geschlossenen Fläche genommenen
Differentialcoefficienten der Potentialfunction     113

§ 43. Bestimmung der Potentialfunction eines durch eine Fläche von dem
betreffenden Raume getrennten Agens     114

§ 44. Betrachtung des Falles, wo nur die Potentialfunction selbst in der
Fläche gegeben ist     117

§ 45. \Person{Green's} Nachweis von der Existenz der Function $u$     119

§ 46. Beweis einer Verallgemeinerung des vorstehenden Satzes von
\Person{Dirichlet}     121

§ 47. Flächenbelegung, deren Potentialfunction in der Fläche selbst vorgeschriebene
Werthe hat     125

§ 48. Ersetzung des durch einen Raum verbreiteten Agens durch Agens,
welches sich nur auf der Grenzfläche des Raumes befindet     126

§ 49. Bestimmung einer Function V, welche die Gleichung $\Delta V = -4\pi\epsilon k$
erfüllt     127

§ 50. Ausnahmestellen und deren Absonderung     129

§ 51. Bestimmung der Function $V$ unter Berücksichtigung der Absonderungsflächen  131


II. Das Potential.

§ 52. Ausgangspuncte für die Auseinandersetzung     137

§ 53. Begriff der virtuellen Bewegungen und Unterscheidung zweier
Fälle     137

§ 55[**54]. Begriff der virtuellen Momente und Ausdruck des betreffenden
Satzes     139

§ 55. Ausdruck desselben Satzes unter Anwendung des Begriffes der
Arbeit     141

§ 56. Das \Person{D'Alembert}'sche Princip     142

§ 57. Satz von der Aequivalenz von lebendiger Kraft und Arbeit, und
Bedingung, welche für seine Gültigkeit erfüllt sein muss     145

§ 58. Unterschied in Bezug auf die Ausführbarkeit des die Arbeit darstellenden
Integrals und Einführung des Ergals     149

§ 59. Veränderter Ausdruck der Gleichgewichtsbedingung     151

§ 60. Die Energie     152

§ 61. Ein Fall, in welchem die Kräfte ein Ergal haben     153

§ 62. Ein anderer Fall, in welchem die Kräfte ein Ergal haben     155

§ 63. Potential eines entweder in einzelnen Puncten concentrirten oder
durch einen Raum stetig verbreiteten Agens auf ein anderes     158
%% -----File: 014.png---Folio X-------

Seite

§ 64. Potential eines Systemes von Puncten, welche mit Agens versehen
sind, oder eines durch einen Raum stetig verbreiteten Agens auf
sich selbst     160

§ 65. Anwendung der Potentiale zur Bestimmung der Arbeit     164


Zusatz I.

Ableitung der in § 17 erwähnten Form der Potentialfunction eines
homogenen Körpers     166


Zusatz II.

Beweis des in § 29 angeführten Satzes     175

\fi %% End of commented material %%
%% -----File: 015.png---Folio 1-------
\mainmatter
\pagestyle{fancy}


\Chapter{I. Die Potentialfunction.}

\Section{1.}{Ausgangspunct der Betrachtungen.}

Um die Bedeutung der Potentialfunction und den Grund ihrer
Einführung in die Mechanik und mathematische Physik klar zu
erkennen, wird es zweckmässig sein, ein Wenig zurückzugreifen
und zuerst eine allgemeinere Grösse zu betrachten. Bei der Behandlung
der Kräfte, welche ein beweglicher Punct erleiden kann,
und der von ihnen ausgeübten Wirkungen stellt es sich nämlich
heraus, dass bei einer grossen und wichtigen Classe von Kräften
die sämmtlichen zu ihrer Bestimmung nothwendigen Grössen sich
in einfacher Weise aus einer und derselben Function ableiten lassen.
Wenn wir diese Function zunächst in möglichster Allgemeinheit
betrachten und sie dann durch besondere Annahmen über die Kräfte
specialisiren, so werden wir auf naturgemässem Wege von selbst zu
dem Begriffe der Potentialfunction gelangen.


\Section{2.}{Bedingungen, welche als erfüllt vorauszusetzen sind.}

Es sei ein beweglicher Punct~$p$ im Raume mit den Coordinaten
$x$,~$y$ und~$z$ gegeben, auf welchen beliebige Kräfte wirken,
die wir uns in eine Gesammtkraft~$P$ zusammengesetzt denken wollen.
Diese Kraft wird, abgesehen davon, dass sie an einer bestimmten
Stelle des Raumes mit der Zeit veränderlich sein kann, auch für
eine bestimmte Zeit im Allgemeinen an verschiedenen Stellen des
Raumes verschieden sein. Um sie zu einer bestimmten Zeit für
alle Stellen des Raumes vollständig zu bestimmen, müssen drei
Functionen der Raumcoordinaten gegeben sein, eine für die Grösse
der Kraft und zwei für ihre Richtung. Denken wir uns die Gesammtkraft~$P$
%% -----File: 016.png---Folio 2-------
in drei nach den Coordinatenrichtungen wirkende
Componenten $X$,~$Y$ und~$Z$ zerlegt, so können wir auch sagen: zur
vollständigen Bestimmung der Kraft müssen die drei Componenten
als Functionen der Raumcoordinaten bekannt sein.

Diese drei Functionen können, wenn man nur von Kräften im
Allgemeinen spricht, als ganz von einander unabhängig angesehen
werden, indem sich aus jeden drei Componenten eine Kraft zusammensetzen
lässt. Betrachtet man aber die in der Wirklichkeit
vorkommenden Kräfte, so findet man, dass deren Componenten sehr
häufig in einer eigenthümlichen Beziehung zu einander stehen, indem
sie nämlich durch die drei partiellen Differentialcoefficienten
einer und derselben Function der drei Raumcoordinaten dargestellt
werden. Für die Bezeichnung stellt es sich in solchen Fällen, wie
weiter unten ersichtlich werden wird, als zweckmässig heraus, nicht
die Function selbst, sondern ihren negativen Werth durch einen
Buchstaben darzustellen, als welchen wir $U$ wählen wollen. Dann
ist zu setzen:
\[
\tag{1}
X = -\frac{\partial U}{\partial x};\quad
Y = -\frac{\partial U}{\partial y};\quad
Z = -\frac{\partial U}{\partial z}.
\]

Damit dieses möglich sei, müssen bekanntlich die Functionen
$X$,~$Y$ und~$Z$ folgende Bedingungsgleichungen erfüllen:
\[
\tag{2}
\frac{\partial X}{\partial y} = \frac{\partial Y}{\partial x};\quad
\frac{\partial Y}{\partial z} = \frac{\partial Z}{\partial y};\quad
\frac{\partial Z}{\partial x} = \frac{\partial X}{\partial z}.
\]
Demnach bilden die Functionen dieser Art unter allen mathematisch
möglichen Functionen nur einen sehr speciellen Fall. Dessenungeachtet
ist dieser Fall bei der Betrachtung der Naturerscheinungen
von der grössten Wichtigkeit, weil er, wie wir weiter unten
sehen werden, eine Art von Kräften umfasst, welche schon bisher
eine sehr bedeutende Rolle in der Physik spielten, und wahrscheinlich
noch eine viel allgemeinere Bedeutung haben, als früher angenommen
wurde.


\Section{3.}{Einfache Bestimmung der auf die Kraft bezüglichen
Grössen durch die Function~$U$.}

Wenn diese Beziehung zwischen den Componenten der Kraft
stattfindet, so wird dadurch die Betrachtung der Kraft und ihrer
%% -----File: 017.png---Folio 3-------
Wirkungen ausserordentlich erleichtert. Während man sonst drei
einzeln gegebene Functionen in Rechnung zu bringen hat, hat man
es jetzt nur mit \Emphasis{einer} Function zu thun, aus welcher alle auf die
Kraft bezüglichen Grössen auf einfache Weise abgeleitet werden
können.

Wie man leicht sieht, wird unter Voraussetzung der Gleichungen~(1)
die ganze auf den Punct~$p$ wirkende Kraft~$P$ dargestellt
durch:
\[
\tag{3}
P = \sqrt{\Big(\frac{\partial U}{\partial x}\Big)^2
        + \Big(\frac{\partial U}{\partial y}\Big)^2
        + \Big(\frac{\partial U}{\partial z}\Big)^2},
\]
und die Winkel, welche diese Kraft mit den Coordinatenrichtungen
bildet, und deren Cosinus $a$,~$b$ und~$c$ heissen mögen, werden bestimmt
durch die Gleichungen:
\[
\tag{4}
a = -\frac{\;\dfrac{\partial U}{\partial x}\;}{P};\quad
b = -\frac{\;\dfrac{\partial U}{\partial y}\;}{P};\quad
c = -\frac{\;\dfrac{\partial U}{\partial z}\;}{P}.
\]

Will man ferner von der Kraft~$P$ die in irgend eine vorgeschriebene
Richtung~$s$ fallende Componente~$S$ haben, so lässt sich
diese ebenfalls sehr einfach ausdrücken. Sei nämlich $\phi$ der Winkel,
welchen die Richtung~$s$ mit der Richtung der Kraft bildet,
so ist:
\[
S = P \cos \phi,
\]
wofür man, wenn $\alpha$,~$\beta$ und~$\gamma$ die Cosinus der Winkel sind, welche
die Richtung~$s$ mit den Coordinatenrichtungen bildet, schreiben
kann:
\[
S = P (a\alpha + b\beta + c\gamma).
\]
Die drei Cosinus $a$,~$b$ und~$c$ sind schon durch die Gleichungen~(4)
bestimmt, und die drei anderen Cosinus lassen sich ebenfalls leicht
ausdrücken. Bilden wir nämlich für den in der Richtung~$s$ beweglich
gedachten Punct~$p$ die Differentialcoefficienten $\dfrac{\partial x}{\partial s}$, $\dfrac{\partial y}{\partial s}$, $\dfrac{\partial z}{\partial s}$,
in denen die Zähler die Veränderungen bezeichnen, welche die Coordinaten
des Punctes erleiden, wenn er in der Richtung~$s$ um ein
Wegelement verschoben wird, so können wir setzen:
\[
\tag{5}
\alpha = \frac{\partial x}{\partial s};\quad
\beta  = \frac{\partial y}{\partial s};\quad
\gamma = \frac{\partial z}{\partial s}.
\]
%% -----File: 018.png---Folio 4-------
Durch Einsetzung der in (4)~und~(5) gegebenen Werthe der sechs
Cosinus geht die Gleichung für~$S$ über in:
\[
S = - \left( \frac{\partial U}{\partial x}·\frac{\partial x}{\partial s}
           + \frac{\partial U}{\partial y}·\frac{\partial y}{\partial s}
           + \frac{\partial U}{\partial z}·\frac{\partial z}{\partial s} \right),
\]
und in dieser Gleichung lässt sich die ganze rechte Seite durch
den einfachen Differentialcoefficienten~$\dfrac{\partial U}{\partial s}$ ersetzen. Man erhält
also:
\[
\tag{6}
S = - \frac{\partial U}{\partial s}
\]
\dh\ es gilt für die beliebige Richtung~$s$ eine ebensolche Gleichung,
wie diejenigen, welche unter~(1) für die drei Coordinatenrichtungen
angenommen wurden.


\Section{4.}{Geometrische Darstellung mit Hülfe der Niveauflächen.
Benennung der Function~$U$.}

Die Function~$U$ kann ferner dazu dienen, die Richtung und
Grösse der Kraft an verschiedenen Stellen des Raumes geometrisch
anschaulich darzustellen.

Schreiben wir:
\[
\tag{7}
U = A,
\]
worin $A$ irgend eine Constante bedeutet, so ist dieses die Gleichung
einer Fläche. Durch Differentiation dieser Gleichung kommt:
\[
\frac{\partial U}{\partial x}\, dx +
\frac{\partial U}{\partial y}\, dy +
\frac{\partial U}{\partial z}\, dz = 0.
\]
Hierin sind $dx$,~$dy$ und~$dz$ die Componenten einer kleinen Verschiebung~$ds$,
welche der Punct~$p$, wenn er gezwungen ist, in jener
Fläche zu bleiben, in derselben erleiden kann. Denken wir uns
$dx$,~$dy$,~$dz$ ersetzt durch $\dfrac{\partial x}{\partial s}\, ds$, $\dfrac{\partial y}{\partial s}\, ds$, $\dfrac{\partial \DPtypo{x}{z}}{\partial s}\, ds$, und dividiren
dann die Gleichung durch $P$~und~$ds$, so kommt:
\[
\tag{8}
\frac{\;\dfrac{\partial U}{\partial x}\;}{P} · \frac{\partial x}{\partial s} +
\frac{\;\dfrac{\partial U}{\partial y}\;}{P} · \frac{\partial y}{\partial s} +
\frac{\;\dfrac{\partial U}{\partial z}\;}{P} · \frac{\partial z}{\partial s} = 0.
\]
Wenn man die Vorzeichen dieser Gleichung umkehrt, so stellen
die beiden Factoren jedes der drei Glieder, aus welchen hier die
%% -----File: 019.png---Folio 5-------
linke Seite besteht, nach den Gleichungen (4)~und~(5) die Cosinus
der Winkel dar, welche die Kraft~$P$ und die Verschiebung~$ds$ mit
einer der Coordinatenrichtungen bilden. Demnach bedeutet dann
die ganze linke Seite den Cosinus des Winkels zwischen der Kraft
und der Verschiebung, und da dieser Cosinus der Gleichung zufolge
Null ist, so ist der Winkel ein rechter.

Dasselbe gilt für jede Verschiebung, welche der Punct~$p$ von
seiner Anfangslage aus innerhalb der Fläche erleiden kann, und
es folgt daraus, dass die an dieser Stelle wirkende Kraft auf der
Fläche senkrecht ist; und ebenso verhält es sich natürlich auch an
allen anderen Stellen der Fläche. Demnach hat die durch Gleichung~(7)
dargestellte Fläche die Eigenschaft, dass sie für alle in
ihr gelegenen Punkte durch ihre Normalen die Richtungen der
Kraft anzeigt. Sie spielt also in Bezug auf die betrachtete Kraft
dieselbe Rolle, wie die Oberfläche einer ruhenden Flüssigkeit in
Bezug auf die Schwerkraft, und man nennt sie daher eine \Emphasis{Niveaufläche}.

Fügt man zu der Constanten~$A$ noch eine unendlich kleine
constante Grösse~$\alpha$ hinzu, so stellt die dadurch entstehende neue
Gleichung
\[
U = A + \alpha
\]
eine zweite Fläche dar, welche der ersten im Allgemeinen unendlich
nahe liegt, und dieselben Eigenschaften hat, wie jene. Bezeichnen
wir den senkrechten Abstand dieser beiden Flächen von einander
an irgend einer Stelle mit~$\epsilon$, so ist der Bruch~$\dfrac{\alpha}{\epsilon}$ offenbar nichts
anderes als der Differentialcoefficient~$\dfrac{\partial U}{\partial n}$, wenn $n$~die an der betrachteten
Stelle auf der ersten Fläche nach der zweiten hin errichtete
Normale bedeutet. Der negative Werth dieses Differentialcoefficienten
stellt die in die Richtung der Normale fallende Componente
der Kraft dar, und da dem Vorigen nach die \Emphasis{ganze} Kraft
auf der Fläche senkrecht ist, so stellt der Bruch~$\dfrac{\alpha}{\epsilon}$, abgesehen vom
Vorzeichen, die an dieser Stelle wirkende ganze Kraft dar, und wir
können daher, wenn wir den absoluten Werth einer Formel durch
Vorsetzung von v.~n.\ (valor numericus) andeuten, setzen:
\[
\tag{9}
P = \text{v.~n.}~\frac{\alpha}{\epsilon}.
\]
%% -----File: 020.png---Folio 6-------
Ob die Kraft nach der Seite der positiven oder negativen Normale
geht, hängt davon ab, ob die Grösse $\alpha$ negativ oder positiv ist,
indem die Regel gilt, \Emphasis{dass die Kraft nach der Seite geht,
nach welcher $U$ abnimmt}. Was die Grösse der Kraft anbetrifft,
so ist zu bemerken, dass in dem Bruche~$\dfrac{\alpha}{\epsilon}$ nur $\epsilon$ von der Lage
des betrachteten Punctes in der Fläche abhängt, während $\alpha$ constant
ist, und es folgt daher, \Emphasis{dass die Kraft an den verschiedenen Stellen der ersten Fläche dem Abstande der zweiten
Fläche umgekehrt proportional ist}.

Zugleich sieht man, dass, wenn die Kraft in der Fläche überall
endlich ist, die beiden Flächen sich nicht schneiden können, weil
für die Durchschnittslinie $\epsilon = 0$ und somit $P$ unendlich werden
müsste.

Denkt man sich nun ein ganzes System solcher Flächen construirt,
von denen jede sich von der vorhergehenden nur dadurch
unterscheidet, dass die Constante um einen, in allen Fällen gleichen,
unendlich kleinen Werth vergrössert ist, so lassen diese Flächen an
jeder Stelle des Raumes durch ihre Richtung und ihren gegenseitigen
Abstand die Richtung und Grösse der Kraft erkennen.

Für die Function~$U$, welche dem Vorigen nach alle Elemente
zur Bestimmung der Kraft auf eine so einfache Weise liefert, hat
Hamilton den Namen »force function« eingeführt, welcher im Deutschen
als \Emphasis{Kraftfunction} oder \Emphasis{Kräftefunction} gebräuchlich geworden
ist.

\Section{5.}{Hauptfall, in welchem eine Kraftfunction existirt.}

Unter den Fällen, in welchen eine Kraftfunction existirt, ist
der wichtigste der, wo die Kraft, welche auf den gegebenen Punct
wirkt, sich zerlegen lässt in \Emphasis{Centralkräfte, \dh\ in anziehende
oder abstossende Kräfte, welche von bestimmten Puncten
des Raumes ausgehen, und um diese herum nach allen
Seiten gleich stark wirken, so dass ihre Stärke nur von
der Entfernung abhängt}.

Sei $p'$ mit den Coordinaten $x'$,~$y'$ und~$z'$ ein solcher Punct,
und bezeichnen wir den Abstand zwischen $p$~und~$p'$ mit~$r$, indem
wir setzen:
\[
\tag{10}
r = \sqrt{(x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2},
\]
%% -----File: 021.png---Folio 7-------
so muss die Stärke der Kraft sich durch eine Function von~$r$ darstellen
lassen, und sie sei mit $f(r)$ bezeichnet, wobei vorausgesetzt
sein soll, dass ein \Emphasis{positiver} Werth dieser Function eine auf Vergrösserung
von~$r$ hinwirkende, also \Emphasis{abstossende} und ein \Emphasis{negativer}
Werth eine \Emphasis{anziehende} Kraft bedeute. Die Richtung der
Kraft ist bestimmt durch die Lage der beiden Puncte zu einander,
und zwar haben die Cosinus der Winkel, welche die positive Kraftrichtung
mit den drei Coordinatenrichtungen bildet, folgende Werthe:
\[
\frac{x-x'}{r},\quad \frac{y-y'}{r},\quad \frac{z-z'}{r}.
\]

Hieraus ergeben sich sofort die in die drei Coordinatenrichtungen
fallenden Componenten der Kraft. Beschränken wir uns
zunächst auf die in die $x$-Richtung fallende Componente, so ist
diese:
\[
X = f(r)\, \frac{x-x'}{r}.
\]
Nun ist aber nach~(10):
\[
\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x-x'}{r},
\]
und dadurch geht die vorige Gleichung über in:
\[
X = f(r)\, \frac{\partial r}{\partial x}.
\]
Wir wollen nun eine neue Function von~$r$ einführen, welche das
negative Integral der vorigen ist, indem wir setzen:
\[
\tag{11}
F(r) = - \int f(r)\, dr,
\]
woraus folgt:
\[
\frac{dF(r)}{dr} = -f(r).
\]
Dadurch, dass die Grösse~$r$ von den Coordinaten $x$,~$y$,~$z$ des Punctes~$p$
abhängt, ist auch $F(r)$ mittelbar eine Function dieser drei
Grössen, und wir können schreiben:
\[
\frac{\partial F(r)}{\partial x}
  = \frac{dF(r)}{dr}·\frac{\partial r}{\partial x}
  = - f(r)\, \frac{\partial r}{\partial x}.
\]
%% -----File: 022.png---Folio 8-------
Der letzte Ausdruck unterscheidet sich von dem, welchen wir vorher
für die Componente~$X$ gefunden haben, nur durch das entgegengesetzte
Vorzeichen. Dasselbe, was für diese Componente gilt,
gilt natürlich auch für die beiden anderen, und wir erhalten somit
die Gleichungen:
\[
\tag{12}
X = - \frac{\partial F(r)}{\partial x};\quad
Y = - \frac{\partial F(r)}{\partial y};\quad
Z = - \frac{\partial F(r)}{\partial z}.
\]

Man sieht hieraus, dass~$F(r)$, als Function von $x$,~$y$,~$z$ betrachtet,
die Kraftfunction für den vorliegenden Fall ist.

Dieses Resultat lässt sich sogleich erweitern auf den Fall, wo
gleichzeitig mehrere Puncte auf den gegebenen Punct~$p$ wirken.
Sei $p'_1$ ein zweiter Punct, sein Abstand vom Puncte~$p$ heisse $r_1$
und die von ihm ausgehende Kraft werde ihrer Stärke nach durch
die Function~$f_1(r_1)$ ausgedrückt; so bilden wir zunächst die
Function:
\[
F_1(r_1) = -\int f_1(r_1)\, dr_1
\]
und können dann die nach der $x$-Axe gehende Componente dieser
Kraft durch $- \dfrac{\partial F_1(r_1)}{\partial x}$ darstellen. Dasselbe gilt für einen dritten,
vierten etc.\ Punct, und man erhält daher, wenn eine beliebige Anzahl
von Puncten wirkt, für die nach der $x$-Axe gehende Componente
der Gesammtkraft einen Ausdruck von folgender Form:
\begin{align*}
X &= - \frac{\partial F(r)}{\partial x}
     - \frac{\partial F_1(r_1)}{\partial x}
     - \frac{\partial F_2(r_2)}{\partial x} - \text{etc.}\\
  &= - \frac{\partial}{\partial x} \left[F(r) + F_1(r_1) + F_2(r_2) + \text{etc.}\right]
\end{align*}
oder wenn man die Summe von Functionen unter ein Summenzeichen
zusammenfasst:
\[
%[** TN: Many "\sum"s are \textstyle in original, not marking.]
X = - \frac{\partial}{\partial x} \sum F(r).
\]

Ganz entsprechende Ausdrücke gelten natürlich für die beiden
anderen Componenten, wobei die Summe von Functionen für alle
drei Fälle dieselbe bleibt. Von den in dieser Summe vorkommenden
%% -----File: 023.png---Folio 9-------
Grössen $r$,~$r_1$, $r_2$~etc.\ enthält jede die Coordinaten eines der wirksamen
Puncte, und ausserdem enthalten alle die Coordinaten $x$,~$y$
und~$z$ des Punctes~$p$, welcher die Wirkung erleidet. Wir können
also, ebenso wie jede einzelne der Functionen, so auch ihre Summe
als eine Function von $x$,~$y$ und~$z$ betrachten, und wollen zur Abkürzung
setzen:
\[
\tag{13}
U = \sum F(r).
\]
Dann ist:
\[
\tag{14}
X = -\frac{\partial U}{\partial x};\quad
Y = -\frac{\partial U}{\partial y};\quad
Z = -\frac{\partial U}{\partial z},
\]
und $U$ ist somit die Kraftfunction.


\Section{6.}{Beschränkung auf solche Kräfte, welche dem Quadrate
der Entfernung umgekehrt proportional sind, und
Beziehung der Kräfte auf Agentien.}

Wir wollen nun unsere Annahmen über die Kraft noch weiter
specialisiren.

Die Abstossungs- und Anziehungskräfte, von welchen vorher
nur vorausgesetzt wurde, dass sie sich durch irgend welche Functionen
der Entfernungen darstellen lassen, sollen \Emphasis{den Quadraten
der Entfernungen umgekehrt proportional} sein.

Ferner wollen wir nicht blos von Puncten sprechen, welche
anziehend oder abstossend auf einander wirken, sondern annehmen,
dass sich in diesen Puncten irgend etwas befinde, was die Wirkung
ausübe und erleide. Es kann dieses \zB\ ponderable Masse sein,
welche nach dem gewöhnlichen Gravitationsgesetze anziehend wirkt,
oder Electricität, oder Magnetismus. Da wir über die Natur der
letzteren nichts Zuverlässiges wissen, und es ausserdem zweckmässig
ist, der Darstellung eine solche Allgemeinheit zu geben, dass sie
auch andere noch unbekannte Fälle umfassen kann, wollen wir die
Benennung so wählen, dass nichts Hypothetisches darin liegt, sondern
nur die Fähigkeit eine Wirkung auszuüben, darin angedeutet
ist. Dazu scheint mir das auch sonst gebräuchliche Wort \Emphasis{Agens}
sehr geeignet. Von einem Agens soll nur vorausgesetzt werden,
dass es sich der Quantität nach bestimmen lasse, und dass die
%% -----File: 024.png---Folio 10-------
Kraft, welche eine gewisse Menge eines Agens ausübt, unter sonst
gleichen Umständen der Menge proportional sei.

Soweit es bis jetzt bekannt ist, üben nur Agentien von \Emphasis{gleicher
Art} eine solche Abstossung oder Anziehung, wie sie den obigen
Gesetzen entspricht, auf einander aus. So wirkt ponderable Masse
auf ponderable Masse, Electricität auf Electricität, Magnetismus auf
Magnetismus, und in solchen Fällen, wo scheinbar ungleichartige
Agentien in derselben Weise auf einander wirken, oder wo über
den eigentlichen Ursprung der Kräfte Zweifel herrschen, bleibt,
nach allem, was bis jetzt bekannt ist, für die mathematische Behandlung
der Sache wenigstens immer noch die Möglichkeit vorhanden,
solche Annahmen über die wirksamen Agentien zu machen,
dass man nur zwischen gleichartigen Agentien Kräfte der genannten
Art als vorhanden zu betrachten braucht. Dessenungeachtet
ist es nicht nothwendig, unsere Formeln von vorn herein auf gleichartige
Agentien zu beschränken, denn diese Beschränkung kann
sehr leicht nachträglich hinzugefügt werden.

Es seien also irgend zwei Mengen\footnote
 {Ich vermeide absichtlich das Wort \Emphasis{Masse}, weil man mit diesem Begriffe
  die Vorstellung des Beharrungsvermögens verbindet, und die Grösse des
  Beharrungsvermögens als Maass der Masse nimmt, während mit dem Begriffe
  eines wirksamen Agens das Beharrungsvermögen nicht nothwendig verbunden
  zu sein braucht, und in den Fällen, wo es vorhanden ist, die Einheit des Beharrungsvermögens
  eine andere sein kann, als diejenige, nach welcher man
  misst, wenn es sich um die Bestimmung der ausgeübten Kraft handelt.}
von auf einander wirkenden
Agentien gegeben, von denen vorläufig angenommen werden
soll, dass sie in bestimmten Puncten $p$~und~$p'$ concentrirt seien.
Die im Puncte~$p$ befindliche Menge, nach irgend einer Einheit gemessen,
heisse~$q$, und die im Puncte~$p'$ befindliche Menge, welche,
wenn sie demselben Agens angehört, natürlich auch nach derselben
Einheit gemessen wird, im anderen Falle aber eine besondere Einheit
hat, heisse~$q'$. Die Kraft, welche diese beiden Mengen auf
einander ausüben, lässt sich den gemachten Annahmen nach darstellen
durch die Formel:
\[
\tag{15}
f(r) = e\, \frac{q · q'}{r^2},
\]
worin $e$ eine Grösse ist, die von der Natur der Agentien, und von
den gewählten Einheiten abhängt. Dadurch, dass dieser Coefficient
%% -----File: 025.png---Folio 11-------
positiv oder negativ sein kann, wird der Unterschied zwischen Abstossung
und Anziehung ausgedrückt. Führt man diese Formel in
die zur Bestimmung der Kraftfunction dienende Gleichung~(11) ein,
so kommt:
\[
\tag{16}
F(r) = -\int e\, \frac{q · q'}{r^2}\, dr = e\, \frac{q · q'}{r}.
\]

Denken wir uns nun, dass auf die Menge~$q$ nicht blos Eine
sondern mehrere Mengen $q'$,~$q'_1$, $q'_2$~etc.\ wirken, welche unter sich
gleichartig oder ungleichartig sein können, so ist, wenn wir zunächst
der Allgemeinheit wegen das Letztere voraussetzen, und daher
die Coefficienten~$e$ als ungleich betrachten, die gesammte Kraftfunction:
\begin{align*}
U &= q\left(e\, \frac{q'}{r} + e_1\, \frac{q'_1}{r_1}
                             + e_2\, \frac{q'_2}{r_2} + \text{etc.}\right)\\
\tag{17}
  &= q \sum e\, \frac{q'}{r}.
\end{align*}

Sind dagegen die wirksamen Mengen unter sich gleichartig,
so hat $e$ für alle denselben Werth und kann daher aus dem
Summenzeichen herausgenommen werden, also:
\[
\tag{18}
U = qe \sum \frac{q'}{r}.
\]

Wenn das wirksame Agens nicht, wie bisher angenommen
wurde, in einzelnen Puncten concentrirt ist, sondern einen Raum
stetig ausfüllt, so denken wir es uns in Elemente~$dq'$ zertheilt, und
beziehen den Abstand~$r$ auf jedes Element, oder, strenger ausgedrückt,
auf irgend einen Punct jedes Elementes, wodurch die Summe
in ein Integral übergeht, nämlich:
\[
\tag{19}
U = qe \int \frac{dq'}{r}.
\]
Dass diese Umwandlung des vorigen Ausdrucks zulässig ist, ohne
dass er dadurch seine Bedeutung als Kraftfunction verliert, ist unmittelbar
klar, solange sich der Punct~$p$ ausserhalb des von dem
wirksamen Agens ausgefüllten Raumes befindet, so dass für kein
Element~$dq'$ der Abstand~$r$ gleich Null oder auch nur mit den
Dimensionen des Elementes vergleichbar wird. In diesem Falle
%% -----File: 026.png---Folio 12-------
kann man sich nämlich jedes Element des Agens, welches ein Raumelement
ausfüllt, in irgend einem Puncte dieses Raumelementes
concentrirt denken, ohne dass dadurch die Wirkung, welche das
Element auf das im Puncte~$p$ concentrirt gedachte Agens ausübt,
merklich verändert wird. Für den anderen Fall, wo $p$ sich innerhalb
jenes Raumes befindet, soll die Gültigkeit des Ausdruckes~(19)
als Kraftfunction weiterhin noch besonders bewiesen werden, und
wir wollen ihn vorläufig auch für diesen Fall als richtig gelten
lassen.

Der Ausdruck~(19) ist allgemeiner als der Ausdruck~(18), und
umfasst den letzteren, indem die Integration sich auch dann ausführen
lässt, wenn endliche Mengen in einzelnen Puncten concentrirt
sind.


\Section{7.}{Annahmen, unter denen die Kraftfunction zur Potentialfunction
wird.}

Fügen wir nun endlich zu den bisher gemachten Annahmen
noch folgende zwei hinzu: 1)~dass auch das im Puncte~$p$ befindliche
Agens, welches die Wirkung erleidet, von derselben Art sei,
wie das, welches die Wirkung ausübt, und 2)~dass die Menge desselben
nicht beliebig, sondern eine \Emphasis{Einheit} sei, so ist die so vereinfachte
Kraftfunction diejenige, welche wir \Emphasis{Potentialfunction}
nennen. Bezeichnen wir diese zum Unterschiede mit~$V$, und wählen
wir für den im Vorigen mit $e$~bezeichneten Coefficienten in diesem
Falle den Buchstaben~$\epsilon$, so ist, jenachdem das wirksame Agens in
einzelnen Puncten concentrirt oder stetig durch einen Raum verbreitet
ist, zu setzen:
\begin{align*}
\tag{I.}
V &= \epsilon \sum \frac{q'}{r}\\
\tag{Ia.}
V &= \epsilon \int \frac{dq'}{r}.
\end{align*}

Wir können demnach den Begriff der Potentialfunction folgendermaassen
definiren: \Emphasis{Die Kraftfunction eines Agens, welches
nach dem umgekehrten Quadrate der Entfernung
anziehend oder abstossend wirkt, bezogen auf eine in
einem Puncte concentrirt gedachte Einheit desselben
Agens, heisst Potentialfunction.}
%% -----File: 027.png---Folio 13-------

Hieraus folgt, dass die negativen Differentialcoefficienten
\[
- \frac{\partial V}{\partial x},\quad
- \frac{\partial V}{\partial y},\quad
- \frac{\partial V}{\partial z}
\]
die drei Componenten derjenigen Kraft darstellen, welche das Agens
auf eine im Puncte $x$,~$y$,~$z$ gedachte Einheit desselben Agens ausüben
würde. Befindet sich in diesem Puncte wirklich die Menge~$q$
des Agens, so sind die Componenten der auf diese ausgeübten
Kraft:
\[
-q\, \frac{\partial V}{\partial x},\quad
-q\, \frac{\partial V}{\partial y},\quad
-q\, \frac{\partial V}{\partial z}.
\]
Man sieht, dass zwischen diesen drei Grössen und den vorigen der
Unterschied stattfindet, welchen man bei ponderablen Massen mit
den Worten \Emphasis{beschleunigende} und \Emphasis{bewegende} Kraft ausdrückt.


\Section{8.}{Messung der Agentien und Festsetzung des
Coefficienten~$\epsilon$.}

Um mit Hülfe der Gleichungen (I.)~und~(Ia.)\ die Potentialfunction
für die verschiedenen Fälle, auf welche sie Anwendung
findet, berechnen zu können, braucht nur noch angegeben zu werden,
wie bei verschiedenen Agentien die Mengen gemessen werden
müssen, und wie sich die Grösse~$\epsilon$ dabei verhält.

Bei ponderablen Massen, welche sich nach dem Gravitationsgesetze
anziehen, ist $\epsilon$ negativ, und der numerische Werth von $\epsilon$
muss so gewählt werden, dass er die Anziehungskraft darstellt,
welche zwei Masseneinheiten in der Einheit der Entfernung auf
einander ausüben.

Bei der Electricität unterscheidet man bekanntlich zwei Arten,
welche die Eigenschaft haben, dass Mengen derselben Art sich unter
einander abstossen, dagegen Mengen verschiedener Art sich anziehen.
Ob die beiden Electricitäten wirklich als zwei verschiedene
für sich bestehende Agentien zu betrachten sind, oder ob die Erscheinungen
sich auch aus dem Vorhandensein eines einzigen Agens
erklären lassen, ist für unsere jetzigen Untersuchungen gleichgültig.
In ihnen kommt es nur darauf an, die Electricität in solcher Weise
in die Formeln einzuführen, dass dadurch die von ihr ausgeübten
Kräfte richtig dargestellt werden. Die so gebildeten mathematischen
%% -----File: 028.png---Folio 14-------
Ausdrücke behalten ihre Gültigkeit, auch wenn man die Vorstellung
über das Wesen der Electricität ändert. Um alle in der Electrostatik
vorkommenden Kräfte, obwohl sie in manchen Fällen anziehend
und in anderen abstossend sind, doch unter eine gemeinsame
Formel zusammenfassen zu können, in welcher $\epsilon$ immer dasselbe
Vorzeichen behält, hat man den Unterschied des Vorzeichens auf
die Electricitätsmengen selbst übertragen, indem man die Mengen
der einen Electricität als positive und die der anderen als negative
Grössen in Rechnung bringt. Dann wird die Kraft, welche irgend
zwei in zwei Puncten concentrirte Electricitätsmengen $q$~und~$q'$ auf
einander ausüben, durch die Formel:
\[
\epsilon \,\frac{q · q'}{r^2}
\]
dargestellt, worin $\epsilon$ eine unveränderliche Grösse ist, und zwar eine
\Emphasis{positive} Grösse, weil in dem Falle, wo $q$~und~$q'$ gleiche Vorzeichen
haben, der ganze Ausdruck positiv werden muss, wie es der
Abstossung entspricht.

Bei dieser Art die Mengen der beiden verschiedenen Electricitäten
in Rechnung zu bringen, kann man die Electricität im Ganzen
ein \Emphasis{abstossendes} Agens nennen, weil bei der Benennung das
Verhalten positiver Mengen maassgebend ist, und die Aenderungen,
welche die Kraft dadurch erleidet, dass eine oder beide Mengen
negativ werden, sich von selbst verstehen. Will man für irgend
welche, theils positive, theils negative Electricitätsmengen die Potentialfunction
bestimmen, so kann man das in der Gleichung~(Ia.)\
vorkommende Integral über alle gegebenen Electricitätsmengen ausdehnen,
indem man die Elemente~$dq'$ je nach der Art der betreffenden
Electricitätsmengen positiv oder negativ nimmt. Die so erhaltene
Potentialfunction bezieht sich dann auf eine im Puncte~$p$
gedachte Einheit \Emphasis{positiver} Electricität.

Bei der Bestimmung \Emphasis{magnetischer} Kräfte kann man ebenfalls,
ohne über die wirkliche Natur des Magnetismus irgend eine
Annahme zu machen, Nordmagnetismus und Südmagnetismus als
zwei Agentien betrachten, die sich in Bezug auf ihre gegenseitigen
Einwirkungen wie die beiden Electricitäten verhalten. Wir bringen
die Mengen des einen, \zB\ des Nordmagnetismus, als positive und
die des anderen als negative Grössen in Rechnung; dann behält $\epsilon$
einen unveränderlichen Werth, und die Potentialfunction, welche
%% -----File: 029.png---Folio 15-------
wir bekommen, bezieht sich auf eine im Puncte~$p$ gedachte Einheit
von Nordmagnetismus.

Die Grösse $\epsilon$ ist in diesen Fällen die \Emphasis{Abstossungskraft,
welche zwei positive Einheiten des betreffenden Agens
in der Einheit der Entfernung auf einander ausüben}, was
auch für die ponderable Masse gilt, wenn Anziehungskraft als negative
Abstossungskraft gerechnet wird. Wenn bei einem Agens
die Einheit, welche als Maass dient, nicht im Voraus gegeben ist,
sondern willkürlich gewählt werden kann, so lässt sich dadurch
noch eine Vereinfachung erreichen. Wählt man nämlich als Einheit
des Agens \Emphasis{diejenige Menge, welche auf eine gleich
grosse Menge desselben Agens in der Einheit der Entfernung
die Einheit der Kraft ausübt}, so ist der absolute
Werth von $\epsilon$ \Emphasis{gleich Eins}, und was das Vorzeichen antrifft, so
ist bei ponderabler Masse zu setzen $\epsilon = -1$, dagegen bei Electricität
und Magnetismus $\epsilon = +1$. Wir wollen indessen vorläufig
über die Einheiten der Agentien keine bestimmten Annahmen machen,
und daher das allgemeine Zeichen~$\epsilon$ beibehalten.


\Section{9.}{Ueber den Namen Potentialfunction und das bei der
Bestimmung dieser Function angewandte
Vorzeichen.}

Bevor wir zur weiteren Behandlung unserer Function schreiten,
müssen noch erst ein paar Bemerkungen über den Namen und
das Vorzeichen derselben eingeschaltet werden.

Der Name \Emphasis{Potentialfunction} ist von \Person{Green} eingeführt. \Person{Gauss},
welcher später dieselbe Function ebenfalls einer speciellen Betrachtung
unterwarf, nannte sie kürzer \Emphasis{Potential}. Ich habe aber die ältere
Benennung, Potentialfunction, beibehalten, weil das Wort Potential
noch für einen anderen Begriff gebraucht wird, der dem vorigen zwar
verwandt aber nicht gleich ist. Ich glaube, dass diese Unterscheidung
sich im zweiten Abschnitte dieser Schrift, welcher vom Potential
handelt, hinlänglich rechtfertigen wird, und in der That ist sie auch
schon von mehreren hervorragenden Autoren, wie \Person{Betti},\footnote
  {Teorica delle forze che agiscono secondo la legge di Newton, Pisa~1865.}
\Person{Riemann},\footnote
  {Schwere, Electricität und Magnetismus, nach den Vorlesungen von
  \Person{Bernh.\ Riemann}, bearbeitet von \Person{Hattendorff}. Hannover~1876.}
%% -----File: 030.png---Folio 16-------
\Person{Kötteritzsch}\footnote
  {Lehrbuch der Electrostatik von \Person{Th.~Kötteritzsch}. Leipzig 1872.}
und \Person{von~Bezold}\footnote
 {Physikalische Bedeutung der Potentialfunction, von \Person{W.~von Bezold}.
  München 1861, und mehrere Aufsätze in Pogg.\ Ann.}
als sachgemäss anerkannt.

Was ferner das Vorzeichen der Potentialfunction anbetrifft,
so macht \Person{Gauss} bei der Bildung der letzteren zwischen anziehenden
und abstossenden Agentien keinen Unterschied, indem er in
seinen Ausdruck der Potentialfunction den Factor~$\epsilon$, welcher positiv
oder negativ sein kann, und dadurch jene beiden Fälle unterscheidet,
nicht aufgenommen hat. Dadurch wird es aber nothwendig,
jene Unterscheidung an einer anderen Stelle, nämlich bei der Ableitung
der Kraftcomponenten aus der Potentialfunction zu machen,
indem man nicht in allen Fällen die negativen Differentialcoefficienten
der Potentialfunction als Ausdrücke der Kraftcomponenten betrachten
darf, sondern diese Differentialcoefficienten bald mit dem
negativen, bald mit dem positiven Vorzeichen versehen muss, jenachdem
das wirksame Agens ein abstossendes oder anziehendes ist.
Dieses scheint mir aber nicht zweckmässig zu sein. Da die eigentliche
Bedeutung der Potentialfunction darin liegt, Alles, was zur
Bestimmung der Kraft nöthig ist, auf eine einfache Weise darzustellen,
und sie nur ein specieller Fall der allgemeineren Kraftfunction
ist, so halte ich es für angemessener, den Unterschied, ob
das wirksame Agens ein abstossendes oder anziehendes ist, schon
bei der Bildung der Potentialfunction selbst zu berücksichtigen, so
dass die Ableitung der Kraftcomponenten aus der Potentialfunction
immer in einer und derselben Weise geschehen kann.

Wird dieses als zweckmässig zugestanden, so bleibt nur noch
die Frage zu entscheiden, ob man es so einrichten soll, dass man,
um die Componenten der Kraft, welche die im Puncte~$p$ gedachte
positive Einheit des Agens erleidet, auszudrücken, nur die einfachen
Differentialcoefficienten oder ihre negativen Werthe anzuwenden
hat. Das erstere ist natürlich einfacher, und ich habe daher in
den beiden ersten Auflagen dieses Buches das Vorzeichen der Potentialfunction
in diesem Sinne gewählt, habe jedoch schon damals
darauf aufmerksam gemacht, dass auch für die andere Wahl des
Vorzeichens gewichtige Gründe sprechen. Seitdem bin ich nun zu
der Ueberzeugung gelangt, dass die letzteren Gründe überwiegen,
besonders wenn man das Princip von der Erhaltung der Energie
%% -----File: 031.png---Folio 17-------
in der für die Anwendung bequemsten Form darstellen will, und
ich habe daher in der dritten und ebenso in der vorliegenden Auflage
schon bei der Kraftfunction und demgemäss auch bei der einen
speciellen Fall derselben bildenden Potentialfunction das Vorzeichen
so gewählt, dass die Kraftcomponenten durch die \Emphasis{mit dem negativen
Vorzeichen versehenen} Differentialcoefficienten dieser
Functionen dargestellt werden.


\Section{10.}{Das Potentialniveau.}

Was weiter oben in §~4 bei Betrachtung der Kraftfunction~$U$
über die Niveauflächen gesagt ist, gilt natürlich in gleicher Weise
auch für die Potentialfunction~$V$.

Die Gleichung
\[
\tag{20}
V = A,
\]
worin $A$ eine Constante bedeutet, ist die Gleichung einer Niveaufläche,
und eine in irgend einem Puncte dieser Fläche gedachte
positive Einheit des Agens erleidet eine Kraft, welche auf der
Fläche senkrecht ist, und zwar ist die Kraft von der Fläche aus
nach der Seite hin gerichtet, nach welcher die Potentialfunction
abnimmt.

Denkt man sich eine unendliche Menge solcher Flächen construirt,
deren Gleichungen sich nur dadurch von einander unterscheiden,
dass die an der rechten Seite stehende Constante bei
jeder folgenden um einen gewissen unendlich kleinen Werth grösser
ist, als bei der vorhergehenden, dann lässt dieses System von
Flächen an jeder Stelle des Raumes die Kraft, welche eine dort
gedachte positive Einheit des Agens erleiden würde, nach Richtung
und Grösse erkennen. Die Grösse der Kraft ist dem Abstande
je zweier auf einander folgender Flächen umgekehrt proportional.

Man kann den Werth, welchen die Potentialfunction an irgend
einer Stelle des Raumes hat, und durch welchen diejenige Niveaufläche,
in der diese Stelle sich befindet, bestimmt wird, kurz das
\Emphasis{Potentialniveau} dieser Stelle nennen.

An verschiedenen Stellen des Raumes sind die Potentialniveaux
%% -----File: 032.png---Folio 18-------
im Allgemeinen verschieden, und die Verschiedenheit kann sich
nicht nur auf den absoluten Werth, sondern auch auf das Vorzeichen
beziehen. Bei Agentien, welche nur anziehend wirken (wie
die ponderable Masse), kommen nur negative Potentialniveaux vor.
Bei solchen Agentien dagegen, welche theils anziehend, theils abstossend
wirken (wie die Electricität), können in verschiedenen
Theilen des Raumes negative und positive Potentialniveaux vorkommen,
und diese Theile des Raumes werden von einander getrennt
durch eine Fläche mit dem Potentialniveau Null.

Wenn der Punct~$p$, in welchem wir uns die Einheit des
Agens concentrirt denken, sich von der Stelle, wo er sich ursprünglich
befand, nach verschiedenen Richtungen bewegt, so
hängt die Kraft, welche bei dieser Bewegung fördernd oder hemmend
wirkt, davon ab, wie schnell in der betreffenden Richtung
das Potentialniveau sich ändert. Nach Richtungen, in welchen
das Potentialniveau constant bleibt, wirkt keine Kraft, und nach
anderen Richtungen wirken um so stärkere Kräfte, je schneller in
ihnen die Aenderung des Potentialniveaus stattfindet, und zwar ist
die auf irgend eine Richtung bezogene Kraft positiv oder negativ,
jenachdem das Potentialniveau in dieser Richtung abnimmt oder
zunimmt.


\Section{11.}{Bestimmung der Potentialfunction für den Fall, wenn
der Punct~$p$ sich innerhalb des von dem wirksamen
Agens stetig erfüllten Raumes befindet.}

In §~6 wurde gesagt, dass es nicht unmittelbar klar sei, ob
die durch Gleichung~(19) bestimmte Function~$U$ auch für den
Fall, \Emphasis{wenn der Punct~$p$ sich innerhalb des von dem wirksamen
Agens stetig erfüllten Raumes befindet}, die Eigenschaft
habe, durch ihre negativen Differentialcoefficienten die
Kraftcomponenten darzustellen, und dasselbe gilt natürlich auch
von der in §~7 betrachteten, durch die Gleichung~(Ia.)\ bestimmten
Function~$V$. Wir wollen daher diesen Fall jetzt näher untersuchen,
wobei wir uns aber, da die beiden Functionen sich in dieser
Beziehung ganz gleich verhalten müssen, auf Eine von ihnen
beschränken können, wozu wir die Potentialfunction~$V$ wählen
wollen.
%% -----File: 033.png---Folio 19-------

In der unter~(Ia.)\ gegebenen Formel der Potentialfunction:
\[
\epsilon \int \frac{1}{r}\, dq'
\]
ist die zu integrirende Function~$\dfrac{1}{r}$ für diejenigen Elemente~$dq'$,
welche den betrachteten Punct unmittelbar umgeben, unendlich
gross, weil der Abstand~$r$ für dieselben unendlich klein ist, und
derselbe Umstand findet, wie wir gleich nachher sehen werden, in
noch höherem Grade bei den Formeln statt, welche man erhält,
wenn man die \Emphasis{Kraftcomponenten} entweder direct oder durch
Differentiation der Potentialfunction bestimmen will. Nun ist freilich
daraus, dass die zu integrirende Function für gewisse Elemente
unendlich gross wird, noch nicht zu schliessen, dass auch das Integral
selbst unendlich gross oder unbestimmt werden müsse, denn
es kann sein, dass die Summe derjenigen Elemente, für welche die
zu integrirende Function einen unendlich grossen Werth von einer
gewissen Ordnung annimmt, selbst eine unendlich kleine Grösse von
noch höherer Ordnung ist, so dass der Einfluss dieser Elemente
verschwindet, und das ganze Integral einen bestimmten endlichen
Werth behält. Indessen darf man ein solches Verhalten doch nicht
ohne Weiteres voraussetzen, sondern muss bei jedem derartigen Integrale,
bevor man es zu weiteren Rechnungen anwendet, durch
besondere Betrachtungen darüber entscheiden, ob die Integration in
der Weise ausführbar ist, dass sie einen bestimmten endlichen
Werth liefert. Dazu dient besonders das Verfahren, durch Einführung
anderer Veränderlicher das Integral so umzuformen, dass
die nun zu integrirende Function für alle Elemente dieser neuen
Veränderlichen endlich bleibt, wodurch dann die bestimmte Ausführbarkeit
der Integration ausser Zweifel gesetzt ist.

Dieses Verfahren wollen wir zunächst auf die Potentialfunction,
und dann auf die Kraftcomponenten und die Differentialcoefficienten
der Potentialfunction anwenden.

Wir wollen dabei der Kürze wegen den von dem Agens stetig
erfüllten Raum einen \Emphasis{Körper} nennen, wobei wir aber unter dem
Inhalte des Körpers nur dasjenige Agens verstehen, für welches
wir die Potentialfunction bestimmen wollen, und alles, was sonst
noch in dem Körper sein mag, unberücksichtigt lassen. Sei $k'$ die
\Emphasis{Dichtigkeit} des Körpers bei dem Puncte $x'$,~$y'$,~$z'$, mit der Bedeutung,
%% -----File: 034.png---Folio 20-------
dass, wenn $d\tau$~ein Raumelement vorstellt und~$dq'$ die
Menge des darin enthaltenen wirksamen Agens ist, man hat:
\[
\tag{21}
dq' = k'\, d\tau,
\]
wobei wir annehmen wollen, dass die Grösse~$k'$, welche eine Function
von $x'$,~$y'$,~$z'$ ist, nirgends unendlich gross werde. Dadurch
geht der unter~(Ia.)\ gegebene Ausdruck der Potentialfunction
über in:
\[
\tag{22}
V = \epsilon \int \frac{k'}{r}\, d\tau.
\]

Um für das Raumelement einen für unsern Zweck passenden
Ausdruck zu gewinnen, wollen wir folgende räumliche Bestimmungsweise
einführen. Wir theilen zunächst den Raum in unendliche
schmale Pyramiden ein, welche ihre Spitzen sämmtlich in dem
Puncte~$p$ haben. Denken wir uns um $p$ als Mittelpunkt eine
Kugelfläche mit der Längeneinheit als Radius beschrieben, so schneidet
jede Elementarpyramide aus derselben ein Flächenelement aus,
welches $d\sigma$ heissen möge. Die Grösse dieses Flächenelementes bestimmt
die Grösse des körperlichen Winkels, welchen die Elementarpyramide
an ihrer Spitze bildet, und wir wollen daher dieses mit
$d\sigma$ bezeichnete Element kurz \Emphasis{das Element des körperlichen
Winkels} nennen. Die dabei geltende Einheit ergiebt sich daraus,
dass der ganze Winkelraum um den Punct gleich $4\pi$ zu setzen ist,
indem der Flächeninhalt einer mit der Längeneinheit als Radius
geschlagenen Kugelfläche bekanntlich durch $4\pi$ dargestellt wird.

Betrachten wir nun in einer Elementarpyramide ein unendlich
kurzes Stück, welches zwischen zwei um $p$ geschlagenen Kugelflächen
mit den Radien $r$~und~$r+dr$ liegt, so können wir dieses
Stück als das Raumelement~$d\tau$ annehmen. Da dasselbe als kleines
Prisma mit der Grundfläche~$r^2\, d\sigma$ und der Höhe~$dr$ anzusehen
ist, so kommt:
\[
\tag{23}
d\tau = r^2\, dr\, d\sigma.
\]
Demnach ist:
\[
\tag{24}
dq' = k' r^2\, dr\, d\sigma,
\]
und dadurch geht der obige Ausdruck von~$V$ über in:
\[
\tag{25}
V = \epsilon \iint k' r\, dr\, d\sigma.
\]
%% -----File: 035.png---Folio 21-------

Hierin ist die zu integrirende Function~$k'r$ für die ersten Elemente~$dr$
nicht nur nicht unendlich gross, sondern im Gegentheil
unendlich klein, und die oben erwähnte Schwierigkeit fällt somit
fort, indem man ohne Weiteres sieht, dass das Integral einen bestimmten
endlichen Werth haben muss.


\Section{12.}{Bestimmung der Potentialfunction einer Kugelschicht,
in welcher die Dichtigkeit eine Function
des Radius ist.}

Ich glaube, dass es zweckmässig sein wird, für einen speciellen
Fall die Bestimmung der Potentialfunction wirklich auszuführen,
weil die im Folgenden zu behandelnden Sätze durch Anwendung
auf einen concreten Fall besonders anschaulich werden. Dazu ist
besonders der Fall geeignet, wo der wirksame Körper eine Kugelschicht
ist, in welcher die Dichtigkeit innerhalb jeder concentrischen
Kugelfläche constant ist, aber von einer solchen Kugelfläche zur
anderen variiren kann. Für eine Kugelschicht dieser Art hat nämlich
die Potentialfunction eine sehr einfache Gestalt, und ausserdem
ist auch die Kenntniss dieses Falles für manche andere Betrachtungen
nützlich.

Es sei also ein Raum gegeben, welcher zwischen zwei concentrischen
Kugelflächen mit den Radien $a$~und~$A$ liegt, und von dem
wirksamen Agens in der Weise erfüllt ist, dass die Dichtigkeit~$k'$
nur eine Function des Radius ist.

Wir gehen zur Bestimmung der Potentialfunction von der
Gleichung~(22) aus, nämlich:
\[
V = \epsilon \int \frac{k'}{r}\, d\tau.
\]
Um das hierin vorkommende Integral zu berechnen, wollen wir
Polarcoordinaten um den Mittelpunkt der Kugelschicht einführen.
Die vom Mittelpuncte aus durch den Punct~$p$ gezogene Gerade
möge die Axe des Systems sein. Denken wir uns nun vom Mittelpuncte
aus nach dem Puncte der Schicht, wo sich das Raumelement~$d\tau$
befindet, einen Leitstrahl gezogen, so soll die Länge dieses
Leitstrahles mit~$\rho$, der Winkel, welchen der Leitstrahl mit der
Axe bildet, mit~$\theta$, und endlich der Winkel, welchen die durch die
Axe und den Leitstrahl gelegte Ebene mit irgend einer durch die
Axe gehenden festen Ebene bildet, mit~$\phi$ bezeichnet werden. Führen
%% -----File: 036.png---Folio 22-------
wir dann noch für den Abstand des in der Axe liegenden Punctes~$p$
vom Mittelpuncte den Buchstaben~$l$ ein, so erhalten wir für die
Grösse~$r$, die Entfernung des Raumelementes~$d\tau$ vom Puncte~$p$,
den Ausdruck:
\[
r = \sqrt{\rho^2 + l^2 - 2\rho l \cos \theta},
\]
und können zugleich für das Raumelement~$d\tau$ die bekannte Formel:
\[
d\tau = \rho^2 \sin \theta\, d\rho\, d\theta\, d\phi
\]
anwenden. Dadurch geht die obige Gleichung über in:
\[
\tag{26}
V = \epsilon \iiint \frac{k'\rho^2 \sin \theta}{\sqrt{\rho^2 + l^2 - 2\rho l \cos\theta}}\, d\rho\, d\theta\, d\phi,
\]
worin die Integration nach~$\phi$ von $0$ bis~$2\pi$, nach~$\theta$ von $0$ bis~$\pi$
und nach~$\rho$ von $a$ bis~$A$ auszuführen ist.

Die Integrationen nach $\phi$~und~$\theta$ lassen sich sofort ausführen
und geben:
\[
\tag{27}
V = \frac{2\pi\epsilon}{l} \int_a^A
  k'\rho(\sqrt{\rho^2 + l^2 + 2\rho l}
       - \sqrt{\rho^2 + l^2 - 2\rho l})\, d\rho.
\]
Die hierin unter den beiden Wurzelzeichen befindlichen Ausdrücke
sind vollständige Quadrate, und die Quadratwurzeln lassen sich daher
ausziehen; indessen ist dabei noch eine besondere Bemerkung
zu machen. Jede der beiden Quadratwurzeln kann, an sich genommen,
sowohl positiv als negativ sein; im vorliegenden Falle
aber, wo die Quadratwurzeln specielle Werthe der Entfernung~$r$
sind, welche eine absolute Grösse ist, dürfen wir von den beiden
Werthen jeder Wurzel nur den positiven anwenden. Wir haben
also zu setzen:
\begin{align*}
\sqrt{\rho^2 + l^2 + 2\rho l} &= \rho + l \\
\sqrt{\rho^2 + l^2 - 2\rho l} &= \rho - l,\ \text{wenn $\rho > l$} \\
&= l-\rho,\ \text{wenn $\rho < l$}.
\end{align*}
Hierdurch nimmt die unter dem Integralzeichen stehende Differenz
der beiden Wurzeln folgende zwei verschiedene Formen an. Wenn
$\rho > l$, so ist:
\[
\tag{28}
\sqrt{\rho^2 + l^2 + 2\rho l} - \sqrt{\rho^2 + l^2 - 2\rho l}
  = \rho + l - (\rho-l) = 2 l.
\]
%% -----File: 037.png---Folio 23-------
Wenn $\rho < l$, so ist:
\[
\tag{28a.}
\sqrt{\rho^2 + l^2 + 2\rho l} - \sqrt{\rho^2 + l^2 - 2\rho l}
  = \rho + l - (l-\rho) = 2\rho.
\]

Wegen dieser Verschiedenheit des zu integrirenden Ausdruckes
müssen wir nun in Bezug auf die Lage des Punctes~$p$ drei Fälle
unterscheiden.


\Subsection{1}{Der Punct~$p$ liege innerhalb des Hohlraumes der
Kugelschicht.}

In diesem Falle ist $l < a$, und somit müssen alle bei der Integration
vorkommenden Werthe von~$\rho$ grösser als~$l$ sein, woraus
folgt, dass von den beiden Gleichungen (28)~und~(28a.)\ die erstere
anzuwenden ist. Dadurch nimmt der Ausdruck der Potentialfunction,
welche wir für diesen Fall mit~$V_i$ bezeichnen wollen, folgende
Form an:
\[
V_i = \frac{2 \pi \epsilon}{l} \int_a^A k' \rho · 2 l\, d\rho
\]
oder:
\[
\tag{29}
V_i = 4 \pi \epsilon \int_a^A k' \rho\, d\rho.
\]
Dieser Ausdruck ist von $l$ unabhängig, und es folgt daraus, dass
innerhalb des Hohlraumes die Potentialfunction constant ist. Die
Kraft, welche das in der Kugelschicht befindliche Agens auf eine
irgend wo im Hohlraume gedachte Menge des Agens ausüben würde,
muss also Null sein.

Nimmt man speciell an, die Dichtigkeit~$k'$ sei constant und
somit die Kugelschicht homogen, so kann man auch die Integration
nach~$\rho$ ausführen und erhält:
\[
\tag{30}
V_i = 2 \pi \epsilon k'(A^2 - a^2).
\]

\Subsection{2}{Der Punct~$p$ liege ausserhalb der Kugelschicht.}

In diesem Falle ist $l > A$, und somit können nur solche
Werthe von~$\rho$ bei der Integration vorkommen, die kleiner als $l$
sind, und man hat daher die Gleichung~(28a.)\ anzuwenden. Die
Potentialfunction, welche für diesen Fall mit~$V_e$ bezeichnet werden
möge, nimmt also folgende Form an:
\[
V_e = \frac{2 \pi \epsilon}{l} \int_a^A k' \rho · 2 \rho\, d\rho
    = \frac{4 \pi \epsilon}{l} \int_a^A k' \rho^2\, d\rho.
\]
%% -----File: 038.png---Folio 24-------
Schreiben wir diesen Ausdruck in der Gestalt
\[
V_e = \frac{\epsilon}{l} \int_a^A k' · 4 \pi \rho^2\, d\rho,
\]
so stellt das Product $4 \pi \rho^2\, d\rho$ das Volumen einer unendlich dünnen
Kugelschicht zwischen zwei Kugelflächen mit den Radien $\rho$~und~$\rho + d\rho$
dar, und das Product $k' · 4 \pi \rho^2\, d\rho$ bedeutet die in dieser
unendlich dünnen Kugelschicht enthaltene Menge des Agens. Demnach
ist die Grösse, welche man durch die Integration erhält, nichts
weiter, als die in der ganzen gegebenen Kugelschicht enthaltene
Menge des Agens. Bezeichnen wir diese Menge mit~$Q$, so lautet
die Gleichung:
\[
\tag{31}
V_e = \epsilon \frac{Q}{l}.
\]

Da $l$ der Abstand des Punctes~$p$ vom Mittelpuncte der Kugelschicht
ist, so sieht man, dass für jeden im äusseren Raume gelegenen
Punct die Potentialfunction denselben Werth hat, und demnach
auch die Kraft, welche die Kugelschicht auf eine in dem
Puncte gedachte Menge des Agens ausübt, in derselben Weise
stattfindet, wie wenn die ganze in der Kugelschicht enthaltene
Menge des Agens im Mittelpuncte concentrirt wäre.

Für den speciellen Fall, wo die Dichtigkeit~$k'$ constant ist,
kann man die vorige Gleichung auch so schreiben:
\[
\tag{32}
V_e = \frac{4 \pi}{3} \epsilon k'\, \frac{A^3 - a^3}{l}.
\]

\Subsection{3}{Der Punct~$p$ liege in der Kugelschicht selbst.}

In diesem Falle liegt der Werth von $l$ zwischen $a$~und~$A$,
und demnach sind die bei der Integration vorkommenden Werthe
von~$\rho$ zum Theil kleiner, zum Theil grösser als~$l$. Wir müssen
daher das in der Gleichung~(27) vorkommende Integral in zwei
Integrale zerlegen. Das erste ist von $a$ bis~$l$ zu nehmen, und in
ihm ist die Gleichung~(28a.)\ anzuwenden; das zweite ist von $l$ bis~$A$
zu nehmen, und in ihm ist die Gleichung~(28) anzuwenden. Es
kommt also, wenn wir die Potentialfunction für diesen Fall mit~$V_m$
bezeichnen:
%% -----File: 039.png---Folio 25-------
\begin{align*}
V_m &= \frac{2 \pi \epsilon}{l} \left( \int_a^l k' \rho · 2 \rho\, d\rho
  + \int_l^A k' \rho · 2 l\, d\rho \right)\\
\intertext{oder:}
\tag{33}
V_m &= 4 \pi \epsilon
  \left( \frac{1}{l} \int_a^l k' \rho^2\, d\rho + \int_l^A k' \rho\, d\rho \right).
\end{align*}

Für den Fall, wo $k'$~constant ist, also durchweg den beim
Puncte~$p$ geltenden Werth~$k$ hat, lassen sich die Integrationen
ausführen und man erhält:
\[
\tag{34}
V_m = 2 \pi \epsilon k
  \left(A^2 - \frac{1}{3}\, l^2 - \frac{2}{3}\, \frac{a^3}{l}\right).
\]

In den vorstehenden Gleichungen können die Radien $a$~und~$A$
der inneren und äusseren Grenzfläche der Kugelschicht beliebige
Werthe haben, und es mögen in dieser Beziehung noch zwei specielle
Fälle besonders hervorgehoben werden.

Wenn man es, statt mit einer Kugelschicht, mit einer Vollkugel
zu thun hat, so braucht man nur den Radius~$a$ der inneren
Grenzfläche gleich Null zu setzen, dann findet die mit $V_i$~bezeichnete,
auf den inneren Hohlraum bezügliche Potentialfunction keine
Anwendung, und die Ausdrücke für $V_m$ und~$V_e$ vereinfachen sich
in so leicht ersichtlicher Weise, dass es nicht nöthig sein wird, sie
in der vereinfachten Form noch einmal anzuführen.

Der zweite specielle Fall, welcher besonders für die Electricitätslehre
von Interesse ist, ist der, wenn man die Schicht als
unendlich dünn annimmt, und dabei zugleich die Dichtigkeit~$k'$ als
unendlich gross, so dass die in der Schicht enthaltene Menge des
Agens eine endliche Grösse bleibt. Wir wollen für diesen Fall die
auf eine homogene Kugelschicht bezüglichen Formeln (30)~und~(32)
in folgender Weise schreiben:
\begin{align*}
V_i &= 2 \pi \epsilon k' (A-a)(A+a)\\
V_e &= \frac{4 \pi \epsilon}{3} k' (A-a) \frac{A^2 + A a + a^2}{l}.
\end{align*}
Nehmen wir nun an, dass die Dicke $A - a$ unendlich abnehme,
und zugleich die Dichtigkeit~$k'$ in demselben Verhältnisse unendlich
zunehme, so dass das Product $k'(A - a)$ eine bestimmte endliche
%% -----File: 040.png---Folio 26-------
Grösse bleibe, welche $h$ heissen möge, so nähern sich beide Ausdrücke
bestimmten Grenzwerthen, welche dieselben sind, die man
erhält, wenn man von vorn herein nur eine einzelne mit dem Agens
bedeckte Kugelfläche betrachtet, und unter $h$ die \Emphasis{Flächendichtigkeit}
versteht, in dem Sinne, dass auf dem Flächenelemente~$d\omega$
die Menge~$h\, d\omega$ des Agens befindlich ist. Zur Bildung dieser Grenzwerthe
hat man in den Summen $A + a$ und $A^2 + Aa +a^2$ zu
setzen $A = a$, und die Formeln lauten daher:
\[
\tag{35}
\left\{\begin{aligned}
V_i &= 4 \pi \epsilon h a\\
V_e &= 4 \pi \epsilon h \frac{a^2}{l}.
\end{aligned}
\right.
\]

Will man in allen in diesem~§ betrachteten Fällen die Potentialfunction
als Function rechtwinkliger Coordinaten haben, so
braucht man in den gewonnenen Formeln nur für die Grösse~$l$ den
Ausdruck zu setzen, welcher sie in rechtwinkligen Coordinaten darstellt.
Sind nämlich $x_0$,~$y_0$,~$z_0$ die Coordinaten des Mittelpunctes
der Kugelschicht, so hat man zu setzen:
\[
l = \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2}.
\]


\Section{13.}{Bestimmung der Kraftcomponenten für einen im Innern
des wirksamen Körpers liegenden Punct.}

Wir wollen nun in derselben Weise, wie wir in §~11 die Potentialfunction
behandelt haben, \Emphasis{die Componenten der Kraft},
welche der Körper auf den Punct~$p$ ausübt, behandeln, und zwar
wollen wir, da die nach verschiedenen Richtungen gehenden Componenten
in gleicher Weise zu behandeln sind, die nach der $x$-Richtung
gehende Componente als Beispiel wählen.

Die von einem Elemente~$dq'$, dessen Coordinaten $x'$,~$y'$,~$z'$ sind,
und dessen Abstand von $p$ durch $r$ dargestellt wird, auf $p$ ausgeübte
Kraft ist $\epsilon\, \dfrac{dq'}{r^2}$, und die in die $x$-Richtung fallende Componente
dieser Kraft ist $\epsilon\, \dfrac{dq'}{r^2} · \dfrac{x-x'}{r}$, und man erhält daher für die $x$-Componente
der ganzen Kraft den Ausdruck:
\[
\tag{36}
X = \epsilon \int \frac{x-x'}{r^3}\, dq'.
\]
%% -----File: 041.png---Folio 27-------
Hierin wird für unendliche kleine Werthe von $r$ die zu integrirende
Function sogar ein unendlich Grosses von der \Emphasis{zweiten}
Ordnung; dessenungeachtet genügt auch hier die Einführung der
obigen Differentiale, um diesem Uebelstande auszuweichen. Setzen
wir nämlich für~$dq'$ wieder den in~(24) gegebenen Ausdruck, so
kommt:
\[
\tag{37}
X = \epsilon \iint k'\, \frac{x - x'}{r}\, dr\, d\sigma.
\]
Da die Länge $x-x'$ stets kleiner oder höchstens ebensogross als $r$
ist, so bleibt die hier zu integrirende Function $k'\, \dfrac{x-x'}{r}$ für alle
Elemente~$dr$ eine endliche Grösse, und die Integration muss also
einen bestimmten endlichen Werth geben.

Im vorigen Ausdrucke bedeutet der Bruch $\dfrac{x-x'}{r}$ den negativen
Werth des Cosinus des Winkels, welchen der von $p$ nach dem
Puncte $x'$,~$y'$,~$z'$ hinführende Leitstrahl mit der $x$-Axe bildet.
Nennt man diesen Winkel~$\vartheta$, so kann man schreiben:
\[
\tag{38}
X = - \epsilon \iint k' \cos \vartheta\, dr\, d\sigma.
\]
In dieser Form ist der Ausdruck auch auf die Kraftcomponenten
nach beliebigen anderen Richtungen anwendbar, wenn man festsetzt,
dass $\vartheta$ den Winkel des veränderlichen Leitstrahles mit derjenigen
Richtung, für welche man die Kraftcomponente bestimmen
will, bedeuten soll.


\Section{14.}{Bestimmung der Differentialcoefficienten der Potentialfunction
für einen im Innern des wirksamen Körpers
liegenden Punct.}

Es fragt sich nun, ob die ebengefundene Formel für die Kraftcomponente~$X$
mit dem negativen Differentialcoefficienten der Potentialfunction
$- \dfrac{\partial V}{\partial x}$ übereinstimmt.

Bei dieser Untersuchung entsteht eine neue Schwierigkeit. Wir
haben in §~11 die Potentialfunction in eine Form gebracht, welche
zeigt, dass sie stets einen bestimmten endlichen Werth hat. Diese
%% -----File: 042.png---Folio 28-------
Form ist aber nicht brauchbar, wenn es sich darum handelt, die
Potentialfunction nach den Coordinaten des Punctes~$p$ zu differentiiren,
denn in diesem Falle darf man dem Puncte~$p$ nicht von
vorn herein eine feste Lage zuschreiben, und darf ihn daher auch
nicht zum Mittelpuncte von Polarcoordinaten machen. Man kann
zwar denjenigen Punct, für welchen man den Differentialcoefficienten
kennen will, zum Mittelpuncte der Polarcoordinaten wählen,
muss dann aber die Potentialfunction so bestimmen, dass sie sich
nicht auf diesen Mittelpunct bezieht, sondern auf irgend einen in
seiner Nähe liegenden Punct, für welchen man die Coordinate, nach
der man differentiiren will, noch als veränderlich betrachten kann.
Wenn man einen solchen Ausdruck für die Potentialfunction gewonnen
hat, so kann man ihn differentiiren, und erst nachdem dieses
geschehen ist, darf man in dem dadurch erhaltenen Ausdrucke des
Differentialcoefficienten der Coordinate einen bestimmten Werth beilegen,
welchen man dann für unseren Fall so zu wählen hat, dass
er dem Mittelpuncte der Polarcoordinaten entspricht.

Es kommt also darauf an, es so einzurichten, dass in dem
Ausdrucke der \Emphasis{Potentialfunction} die zu integrirende Function
für alle Elemente endlich bleibt, auch wenn der Punct~$p$ nicht im
Mittelpuncte der Polarcoordinaten liegt, und dass in dem Ausdrucke
des \Emphasis{Differentialcoefficienten der Potentialfunction}
die zu integrirende Function wenigstens dann für alle Elemente
endlich bleibt, wenn der Punct~$p$ im Mittelpunct der Polarcoordinaten
liegt.

Demgemäss denken wir uns, wenn wir nach $x$ differentiiren
wollen, durch den im Voraus gegebenen Punct, für welchen wir
den Differentialcoefficienten $\dfrac{\partial V}{\partial x}$ kennen wollen, eine gerade Linie
parallel der $x$-Richtung gezogen, und für einen beliebigen Punct
dieser Geraden wollen wir die Potentialfunction bestimmen. Die
rechtwinkligen Coordinaten jenes im Voraus gegebenen Punctes
seien $x_1$,~$y_1$,~$z_1$ und die Coordinaten des beweglichen Punctes~$p$
seien $x$,~$y_1$,~$z_1$. Wir nehmen nun jenen ersteren Punct zum Mittelpuncte
von folgendem Systeme von Polarcoordinaten. Die genannte,
mit der $x$-Axe parallele Gerade bilde die Axe dieses Systemes. Die
Länge des vom Mittelpuncte nach dem Elemente~$dq'$ gezogenen
Leitstrahles heisse~$l$, der Winkel, welchen der Leitstrahl mit der
Axe bildet,~$\theta$, und der Winkel, welchen die durch die Axe und
den Leitstrahl gelegte Ebene mit irgend einer anderen durch die
%% -----File: 043.png---Folio 29-------
Axe gehenden festen Ebene bildet,~$\varphi$. Dann ist der Ausdruck des
Raumelementes:
\[
d\tau = l^2 \sin \vartheta\, dl\, d\vartheta\, d\varphi.
\]
Um den Abstand~$r$ dieses Elementes von dem beweglichen Puncte~$p$
zu bestimmen, wissen wir, dass $p$ in der Axe liegt, um die Strecke
$x-x_1$ vom Mittelpuncte entfernt, und zwar nach der positiven
oder negativen Seite, je nachdem diese Differenz positiv oder negativ
ist. Daraus folgt:
\begin{align*}
r &= \sqrt{l^2 - 2l(x - x_1) \cos\vartheta + (x - x_1)^2\vphantom{\big|}}\\
  &= \sqrt{l^2 \sin^2 \vartheta + (l \cos \vartheta + x_1 - x)^2}.
\end{align*}
Demnach ist die Potentialfunction:
\[
\tag{39}
V = \epsilon \iiint
    \frac{ k'l^2 \sin \vartheta}
         {\sqrt{l^2 \sin^2 \vartheta + (l\cos \vartheta + x_1 - x)^2}}\, dl\, d\vartheta\, d\varphi.
\]
Hierin ist die zu integrirende Function offenbar für alle Werthe
der Veränderlichen $l$,~$\vartheta$ und~$\varphi$ endlich, da der Zähler den Factor
$l \sin \vartheta$ enthält, welcher niemals grösser als der Nenner werden
kann.

Differentiiren wir diesen Ausdruck nach~$x$, so kommt zunächst:
\[
\frac{\partial V}{\partial x}
  = \epsilon \iiint
    \frac{k'l^2 \sin \vartheta   (l \cos \vartheta + x_1 - x)}
        {[l^2 \sin^2 \vartheta + (l \cos \vartheta + x_1 - x)^2]^{\tfrac{3}{2}}}\, dl\, d\vartheta\, d\varphi,
\]
und wenn wir hierin, dem Obigen gemäss, für $x$ den bestimmten
Werth $x_1$ setzen, welcher dem Mittelpuncte der Polarcoordinaten
entspricht, so erhalten wir:
\[
\tag{40}
\frac{\partial V}{\partial x}
  = \epsilon \iiint k' \sin \vartheta \cos \vartheta\, dl\, d\vartheta\, d\varphi.
\]
Man sieht, dass in dieser Formel wiederum die zu integrirende
Function für alle bei der Integration vorkommenden Elemente
endlich bleibt. Demnach sind die oben gestellten Bedingungen
erfüllt, und die letzte Formel kann als der richtige Ausdruck des
Differentialcoefficienten $\dfrac{\partial V}{\partial x}$ an dem gegebenen Puncte betrachtet
werden.
%% -----File: 044.png---Folio 30-------

Vergleicht man diesen Ausdruck von $\dfrac{\partial V}{\partial x}$ mit dem in Gleichung~(38)
für $X$ gefundenen, so ist klar, dass das Product
$\sin \vartheta\, d\vartheta\, d\varphi$ das Flächenelement darstellt, welches die durch die
beiden Winkelelemente $d\vartheta$~und~$d\varphi$ bestimmte Elementarpyramide
aus der um den Mittelpunct der Coordinaten beschriebenen Kugelfläche
mit dem Radius~$1$ ausschneidet, und wir können daher dieses
Product in der Gleichung~(40) durch $d\sigma$ ersetzen; ferner können
wir in der Gleichung~(40), in welcher vorausgesetzt ist, dass
der Punct~$p$ im Mittelpuncte der Polarcoordinaten liege, $dr$ statt $dl$
schreiben. Wenn dann endlich noch die Gleichung~(40) an beiden
Seiten mit $-1$~multiplicirt wird, so wird der in ihr an der rechten
Seite stehende Ausdruck mit dem in~(38) an der rechten Seite
stehenden identisch, und man erhält also:
\[
X = - \frac{\partial V}{\partial x}.
\]

Es versteht sich auch hier wieder von selbst, dass ganz ebenso,
wie der Differentialcoefficient nach~$x$, auch die Differentialcoefficienten
nach $y$~und~$z$ oder nach irgend einer beliebigen Richtung~$s$
sich behandeln lassen, und wir können daher als gewonnenes Resultat
aussprechen: \Emphasis{sowohl ausserhalb als auch innerhalb
des Raumes, welcher von dem wirksamen Agens erfüllt
ist, werden durch die mit dem negativen Vorzeichen versehenen
ersten Differentialcoefficienten der Potentialfunction
die Kraftcomponenten dargestellt}.


\Section{15.}{Satz in Bezug auf die zweiten Differentialcoefficienten
der Potentialfunction.}

Wenden wir uns nun zur Betrachtung der \Emphasis{zweiten} Differentialcoefficienten,
so finden wir wieder eine wichtige Eigenschaft der
Potentialfunction.

Da nach Gleichung~(10) ist:
\[
r = \sqrt{(x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2},
\]
so erhält man, wenn man den Bruch $\dfrac{1}{r}$ zweimal nach derselben
Veränderlichen differentiirt:
%% -----File: 045.png---Folio 31-------
\[
\tag{41}
\left\{
\begin{aligned}%[** TN: Explicit vertical space]
\frac{\partial^2\left(\dfrac{1}{r}\right)}{\partial x^2}
  &= -\frac{1}{r^3} + 3 \frac{(x-x')^2}{r^5} \\[2ex]
\frac{\partial^2\left(\dfrac{1}{r}\right)}{\partial y^2}
  &= -\frac{1}{r^3} + 3 \frac{(y-y')^2}{r^5} \\[2ex]
\frac{\partial^2\left(\dfrac{1}{r}\right)}{\partial z^2}
  &= -\frac{1}{r^3} + 3 \frac{(z-z')^2}{r^5}
\end{aligned}
\right.
\]
Durch Addition dieser drei Gleichungen kommt:
\[
\tag{42}
\frac{\partial^2\left(\dfrac{1}{r}\right)}{\partial x^2} +
\frac{\partial^2\left(\dfrac{1}{r}\right)}{\partial y^2} +
\frac{\partial^2\left(\dfrac{1}{r}\right)}{\partial z^2} = 0.
\]

Um dieses Resultat auf die Potentialfunction anzuwenden, betrachten
wir die allgemeine in~(Ia.)\ gegebene Form derselben:
\[
V = \epsilon \int \frac{1}{r}\, dq'.
\]
Für den Fall, dass $r$ für alle vorkommenden~$dq'$ eine endliche
Grösse bleibt, können wir die doppelte \DPtypo{Differentation}{Differentiation} sofort unter
dem Integralzeichen vornehmen. Wir erhalten also für den auf~$x$
bezüglichen Differentialcoefficienten die Gleichung:
\[
\frac{\partial^2 V}{\partial x^2}
  = \epsilon \int \frac{\partial^2\left(\dfrac{1}{r}\right)}{\partial x^2}\, dq'
  = \epsilon \int \left(-\frac{1}{r^3} + 3 \frac{(x-x')^2}{r^5}\right) dq'.
\]
Der unter dem letzten Integralzeichen in Klammer stehende Ausdruck
kann offenbar unter der gemachten Voraussetzung, dass~$r$
nicht unendlich klein wird, keinen unendlich grossen Werth annehmen,
und die für die bestimmte Ausführbarkeit der Integration
nothwendige Bedingung ist daher ohne Weiteres erfüllt. In entsprechender
Weise erhalten wir für die auf $y$~und~$z$ bezüglichen
Differentialcoefficienten die Gleichungen:
%% -----File: 046.png---Folio 32-------
\begin{align*}
\frac{\partial^2 V}{\partial y^2}
  &= \epsilon \int \frac{\partial^2\left(\dfrac{1}{r}\right)}{\partial y^2}\, dq'
   = \epsilon \int \left(-\frac{1}{r^3} + 3 \frac{(y-y')^2}{r^5}\right) dq'\\
\frac{\partial^2 V}{\partial z^2}
  &= \epsilon \int \frac{\partial^2\left(\dfrac{1}{r}\right)}{\partial z^2}\, dq'
   = \epsilon \int \left(-\frac{1}{r^3} + 3 \frac{(z-z')^2}{r^5}\right) dq'.
\end{align*}

Wenn wir die in diesen drei Gleichungen vorkommenden Integrale
addiren, so heben sie sich natürlich ebenso auf, wie die
Ausdrücke~(41), und wir bekommen:
\[
\tag{43}
\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} +
\frac{\partial^2 V}{\partial y^2} +
\frac{\partial^2 V}{\partial z^2} = 0.
\]

Diese Summe der drei zweiten Differentialcoefficienten kommt
in der Potentialtheorie so häufig vor, dass es zweckmässig ist, sie
durch ein kurzes Zeichen darzustellen, und wir wollen dieses, ähnlich
wie \Person{Green}, durch ein vor die Function geschriebenes~$\Delta$ thun,\footnote
  {\Person{Green} hat das Zeichen~$\delta V$ gebraucht, da aber der Buchstabe~$\delta$ auch
  zur Bezeichnung der Variationen angewandt wird, so ist es zweckmässig, statt
  dessen ein anderes Zeichen anzuwenden, wozu $\Delta$ sehr geeignet ist. Noch will
  ich bemerken, dass \Person{Betti} in seiner oben citirten werthvollen Schrift die in~(43)
  vorkommende Summe nicht durch~$\Delta V$, sondern durch $\Delta^2 V$ bezeichnet.}
so dass die vorige Gleichung in dieser Abkürzung lautet:
\[
\tag{43a.}
\Delta V = 0.
\]

Da bei der Bildung dieser Gleichung vorausgesetzt wurde,
dass $r$ für alle Elemente~$dq'$ endlich bleibe, so folgt daraus, dass,
wenn das wirksame Agens einen körperlichen Raum stetig ausfüllt,
die Gleichung nur für den Fall bewiesen ist, \Emphasis{dass der Punct~$p$
ausserhalb dieses Körpers liegt}, und vorläufig müssen wir
sogar annehmen, dass $p$ in \Emphasis{endlichem} Abstände von der Oberfläche
des Körpers entfernt liege.


\Section{16.}{Gestaltung des vorigen Satzes für den Fall, wenn der
betrachtete Punct sich innerhalb des wirksamen
Körpers befindet.}

Befindet sich $p$ innerhalb des Körpers, so ist für die nächsten
Elemente~$dq'$ der Abstand~$r$ unendlich klein und die in~(41)
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gegebenen zu integrirenden Ausdrücke werden daher unendlich gross.
Man könnte nun vielleicht meinen, dass dieser Umstand auch hier,
wie in den früheren Fällen, weil er sich nur auf eine unendlich
kleine Menge des Agens bezieht, kein wesentliches Hinderniss für
die Anwendbarkeit der Formeln bilde; bei näherer Betrachtung findet
man jedoch, dass die Sache sich in diesem Falle anders verhält,
weil die zu integrirenden Functionen unendliche Grössen von zu
hoher Ordnung werden.

Bilden wir nämlich den Differentialcoefficienten $\dfrac{\partial^2 V}{\partial x^2}$ in der
vorher angegebenen Weise, und setzen darin für das Element~$dq'$
den in Gleichung~(24) gegebenen Ausdruck $k'r^2\, dr\, d\sigma$, so kommt:
\[
\frac{\partial^2 V}{\partial x^2}
  = \epsilon \iint \frac{k'}{r}\left(-1 + 3 \frac{(x-x')^2}{r^2}\right) dr\, d\sigma,
\]
und wenn wir hierin noch für $\dfrac{x-x'}{r}$, wie in §~13, schreiben $-\cos\vartheta$,
und dem entsprechend das Element~$d\sigma$ durch $\sin\vartheta\, d\vartheta\, d\varphi$ ersetzen,
so lautet die Formel:
\[
\frac{\partial^2 V}{\partial x^2}
  = \epsilon \iiint \frac{k'}{r}\, (-1 + 3\cos^2\vartheta)\sin\DPtypo{\varphi}{\vartheta}\, dr\, d\vartheta\, d\varphi.
\]

Man sieht, dass selbst in dieser durch Einführung von Polarcoordinaten
umgestalteten Formel wegen des~$r$, welches im Nenner
geblieben ist, die zu integrirende Function für die ersten Elemente~$dr$
unendlich gross wird. Auf den ersten Blick könnte es sogar
scheinen, als ob auch das ganze Integral unendlich gross werden
müsste, weil das Integral $\ds\int \frac{dr}{r}$, wenn es von $r = 0$ bis zu einem
endlichen Werthe von $r$ genommen wird, unendlich gross wird.
Wenn man jedoch auch die Integrationen nach den beiden Winkeln
und insbesondere diejenige nach $\vartheta$ berücksichtigt, so findet
man, dass allerdings, wenn diese Integrationen nur auf einen Theil
des körperlichen Winkelraumes um $p$ ausgedehnt werden, im Allgemeinen
unendliche Werthe entstehen, dass aber bei Ausdehnung
auf den ganzen Winkelraum, wobei nach $\vartheta$ von $0$ bis~$\pi$ integrirt
werden muss, das Integral sich in die Gestalt einer algebraischen
Summe bringen lässt, welche unendlich grosse Glieder enthält, die
aber verschiedene Vorzeichen haben, und sich der Form nach gegenseitig
aufheben. Diese Summe ist nicht als unendlich gross zu
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betrachten, aber auf der andern Seite kann man ihr auch keinen
bestimmten endlichen Werth zuschreiben, weil die algebraische
Summe zweier mit entgegengesetzten Vorzeichen versehener unendlicher
Grössen, welche der Form nach gleich sind, nicht ohne
Weiteres gleich Null zu setzen ist, sondern einen unbestimmten
Werth hat.

Ohne auf das Verhalten derartiger Ausdrücke mit unendlich
werdenden Gliedern hier näher einzugehen, können wir jedenfalls
soviel sagen, dass der obige Ausdruck von $\dfrac{\partial^2 V}{\partial x^2}$ (welcher dadurch
entstanden ist, dass in der unter~(Ia.)\ gegebenen Formel von~$V$,
worin die Integration noch ganz unausgeführt ist, die zweifache
Differentiation unter dem Integralzeichen vorgenommen wurde), zur
Bestimmung des wahren Werthes von $\dfrac{\partial^2 V}{\partial x^2}$ nicht geeignet ist, weil
selbst nach Einführung von Polarcoordinaten die zu integrirende
Function nicht für alle vorkommenden Werthe der Veränderlichen
endlich bleibt. Wir müssen also die Werthe der zweiten Differentialcoefficienten
von~$V$ und ihrer Summe~$\Delta V$ auf andere Weise zu
bestimmen suchen.

Es wird zweckmässig sein, hier gleich im Voraus anzugeben,
welches Resultat man bei der richtigen Bestimmungsweise jener
Grössen erhält. Sei nämlich $k$ die Dichtigkeit des Agens in dem
betrachteten Puncte~$p$, mit den Coordinaten $x$,~$y$,~$z$, so ist:
\[
\tag{II.}
\left\{
\begin{aligned}
&\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2} = -4 \pi \epsilon k\\
&\Delta V = -4 \pi \epsilon k.
\end{aligned}
\right.
\]

Diese Gleichung, welche die früher unter (43)~und~(43a.)\ mitgetheilte
Gleichung als speciellen Fall umfasst, indem ausserhalb
des Körpers $k=0$ ist, drückt die zweite Haupteigenschaft der Potentialfunction
aus, nämlich die, \Emphasis{dass man aus der Potentialfunction
eines Agens auch seine Dichtigkeit~$k$ als Function
der Raumcoordinaten ableiten, und somit die Art,
wie das Agens durch den Raum vertheilt ist, bestimmen
kann}.

Bevor wir dazu übergehen, diesen Satz in voller Allgemeinheit
zu beweisen, möge des leichteren Verständnisses wegen zuerst ein
einfacher specieller Fall betrachtet und für diesen eine oft angewandte
Behandlungsart angeführt werden.
%% -----File: 049.png---Folio 35-------


\Section{17.}{Beweis des Satzes für den Fall eines homogenen
Körpers.}

Der zur vorläufigen Behandlung gewählte specielle Fall ist derjenige,
wo die \Emphasis{Dichtigkeit des Agens in dem ganzen Körper
gleich} oder, mit anderen Worten, \Emphasis{der Körper in Bezug
auf das Agens homogen ist}, und wo ferner \Emphasis{der betrachtete
Punct~$p$ sich in endlicher Entfernung von der Oberfläche
befindet}.

In diesem Falle ist die Grösse~$k'$ constant und hat den bei $p$
geltenden Werth~$k$, und man kann daher, nachdem man in der
Gleichung~(Ia.)\ das Mengenelement~$dq'$ durch das Product~$k\, d\tau$ ersetzt
hat, worin $d\tau$ das Raumelement bedeutet, den Coefficienten~$k$
aus dem Integralzeichen herausnehmen und schreiben:
\[
\tag{44}
V = \epsilon k \int \frac{1}{r}\, d\tau.
\]

Man denke sich nun um einen in der Nähe des betrachteten
Punctes~$p$ liegenden Punct eine ganz im Innern des Körpers liegende
Kugelfläche geschlagen, welche den Punct~$p$ umschliesst und
überall in endlicher Entfernung von demselben bleibt, welches
Letztere bei der angenommenen Lage des Punctes~$p$ möglich ist.
Durch diese Kugelfläche wird der gegebene Körper in zwei Theile
getheilt, nämlich in den, welcher innerhalb, und in den, welcher
ausserhalb der Kugelfläche liegt. Demgemäss wollen wir auch das
in der Gleichung~(44) vorkommende Integral in zwei Theile theilen,
welche äusserlich durch die an die Integralzeichen gesetzten Indices
1~und~2 unterschieden werden sollen. Die Gleichung~(44)
geht dann über in:
\[
\tag{45}
V = \epsilon k \int_1 \frac{1}{r}\, d\tau + \epsilon k \int_2 \frac{1}{r}\, d\tau.
\]
worin das erste Integral sich über den Rauminhalt der Kugel und
das zweite sich über den ausserhalb der Kugel liegenden Theil des
Körpers erstreckt.

Die erste Integration lässt sich sogleich wirklich ausführen.
Die dazu nöthige Rechnung ist schon oben in §~12, welcher sich
%% -----File: 050.png---Folio 36-------
auf eine von zwei concentrischen Kugelflächen begrenzte Kugelschicht,
(worin als specieller Fall auch die Vollkugel inbegriffen
ist), bezieht, auseinandergesetzt, und aus der dort unter~(34) gegebenen
Gleichung, in welcher für eine Vollkugel $a = 0$ zu setzen
ist, ergiebt sich, wenn der Radius der Kugel mit $A$ und der Abstand
des betrachteten Punctes~$p$ vom Mittelpuncte der Kugel mit
$l$ bezeichnet wird:
\[
\int_1 \frac{1}{r}\, d\tau = 2\pi \left(A^2 - \frac{1}{3}\, l^2\right).
\]
Nennen wir noch die Coordinaten des Mittelpunctes der Kugel $x_0$,
$y_0$, $z_0$, so ist:
\[
l^2 = (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2,
\]
wodurch die vorige Gleichung übergeht in:
\[
\int_1 \frac{1}{r}\, d\tau
  = 2\pi \left\{A^2 - \frac{1}{3}\,
    \left[(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2\right]\right\}.
\]

Setzen wir diesen Werth des ersten Integrals in die Gleichung~(45)
ein, so erhalten wir:
{\small%
\[
\tag{46}
V = 2 \pi \epsilon k
  \left\{A^2 - \frac{1}{3}\,
  \left[(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2\right]\right\}
  + \epsilon k \int_2 \frac{1}{r}\, d\tau.
\]}%

Diese Gleichung lässt sich nun differentiiren, denn im zweiten
Integrale, in welchem nur endliche Werthe von $r$ vorkommen, kann
man die Differentiation ohne Weiteres unter dem Integralzeichen
vornehmen. Wir erhalten dadurch:
\[
\tag{47}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\partial^2 V}{\partial x^2}
  &= -\frac{4}{3} \pi \epsilon k
     + \epsilon k \int_2 \frac{\partial^2\left(\dfrac{1}{r}\right)}{\partial x^2}\, d\tau\\[2ex]
\frac{\partial^2 V}{\partial y^2}
  &= -\frac{4}{3} \pi \epsilon k
     + \epsilon k \int_2 \frac{\partial^2\left(\dfrac{1}{r}\right)}{\partial y^2}\, d\tau\\[2ex]
\frac{\partial^2 V}{\partial z^2}
  &= -\frac{4}{3} \pi \epsilon k
     + \epsilon k \int_2 \frac{\partial^2\left(\dfrac{1}{r}\right)}{\partial z^2}\, d\tau.
\end{aligned}
\right.
\]
%% -----File: 051.png---Folio 37-------

Addirt man diese drei Gleichungen, so geben die drei noch
unausgeführten Integrale, gemäss der Gleichung~(42), als Summe
Null, und es kommt:
\[
\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} +
\frac{\partial^2 V}{\partial y^2} +
\frac{\partial^2 V}{\partial z^2} = -4\pi\epsilon k\DPtypo{.}{,}
\]
oder:
\[
\Delta V = -4\pi\epsilon k,
\]
welches die zu beweisende Gleichung ist.

Eine eigenthümliche Form der Potentialfunction eines homogenen
Körpers, mittelst deren die vorstehende Gleichung sich noch
leichter beweisen lässt, deren Ableitung aber hier den Gang der
Betrachtungen mehr, als zweckmässig ist, unterbrechen würde, wird
noch in einem am Ende dieses Buches anzuschliessenden Zusatze\footnote{Siehe \Emphasis{Zusatz}~I.}
mitgetheilt werden.


\Section{18.}{Veränderte Form der Gleichung~(II.) und vorläufige
Beschränkung.}

Was nun den allgemeinen, auch für nicht homogene Körper
geltenden Beweis anbetrifft, so bietet dieser einige Schwierigkeiten
dar, welche man in verschiedenen Weisen zu heben gesucht hat.
Ich will hier einen Beweis mittheilen, welchen ich zuerst im
Jahre 1858 in \Person{Liouville's} Journal (Ser.~II, T.~III) veröffentlicht
habe, und welcher, wie es mir scheint, in einfachster Weise das
Unendlichwerden von Gliedern unter den Integralzeichen vermeidet.

Er bezieht sich nicht direct auf die Potentialfunction, sondern
auf die mit $X$,~$Y$,~$Z$ bezeichneten Kraftcomponenten, indem er für
folgende Gleichung gilt:
\[
\tag{IIa.}
\frac{\partial X}{\partial x} +
\frac{\partial Y}{\partial y} +
\frac{\partial Z}{\partial z} = 4\pi\epsilon k.
\]
Diese Gleichung lässt sich aber mittelst der oben allgemein bewiesenen
Gleichungen
\[
X = -\frac{\partial V}{\partial x}; \quad
Y = -\frac{\partial V}{\partial y}; \quad
Z = -\frac{\partial V}{\partial z}
\]
leicht auf die Gleichung~(II.) zurückführen.
%% -----File: 052.png---Folio 38-------

Um es bei dem Beweise nicht von vorn herein mit einem zu
complicirten Falle zu thun zu haben, wollen wir vorläufig annehmen,
der betrachtete Punct~$p$ befinde sich in endlicher Entfernung
von der Oberfläche des gegebenen Körpers, und es komme
in der unmittelbaren Nähe des Punctes auch keine sprungweise
Aenderung der Dichtigkeit~$k$ des Körpers vor. Dann können wir
uns um den Punct eine geschlossene Fläche beschrieben denken,
welche überall um eine endliche Strecke von ihm entfernt ist, und
innerhalb deren nur \Emphasis{stetige} Dichtigkeitsänderungen stattfinden,
und auf den von dieser Fläche eingeschlossenen Theil des Körpers
können wir unsere Betrachtung beschränken, da aus §~15 bekannt
ist, dass der Theil des Körpers, welcher ausserhalb dieser Fläche
liegt, und dessen Elemente sich daher alle in endlicher Entfernung
von $p$ befinden, nichts zu dem Werthe der linken Seite der Gleichung~(IIa.)\
beitragen kann.

Der Fall, wo der Punct~$p$ unendlich nahe an der Oberfläche
des gegebenen Körpers oder an einer Stelle, wo die Dichtigkeit
des Körpers sich \DPtypo{sprungsweise}{sprungweise} ändert, gelegen ist, soll weiter unten
einer besonderen Betrachtung unterworfen werden.


\Section{19.}{Umgestaltung der Ausdrücke der Kraftcomponenten.}

Zur Bestimmung der Kraftcomponente~$X$ gilt die unter~(38)
gegebene Gleichung, welche wir, wenn wir die Cosinus der Winkel,
welche der von $p$ ausgehende Leitstrahl~$r$ mit den Coordinatenrichtungen
bildet, von jetzt an durch die einfachen Buchstaben $a$,~$b$
und~$c$ bezeichnen, so schreiben können:
\[
\tag{48}
X = -\epsilon \iint k' a\, dr\, d\sigma.
\]
Hierin ist die Integration nach $r$ für den Theil des Leitstrahles
auszuführen, welcher innerhalb des betrachteten Körperstückes liegt.
Da die Gestalt der geschlossenen Fläche, welche dieses Körperstück
einschliesst, und welche wir kurz die Oberfläche des betrachteten
Körpers nennen wollen, beliebig gewählt werden kann, so wollen
wir annehmen, diese Fläche sei so geformt, dass jeder von $p$ ausgehende
Leitstrahl sie nur Einmal treffe. Bezeichnen wir dann
den Werth, welchen $r$ am Durchschnittspuncte hat, mit~$R$, so ist
%% -----File: 053.png---Folio 39-------
die Integration von $0$ bis~$R$ auszuführen. Da ferner der mit $a$
bezeichnete Cosinus von $r$ unabhängig ist, und nur $k'$ von $r$ abhängt,
so können wir die vorige Gleichung auch so schreiben:
\[
\tag{49}
X = -\epsilon \int d\sigma\, a \int_0^R k'\, dr.
\]

Hierin wollen wir nun das auf den körperlichen Winkel bezügliche
Integral in ein auf die Oberfläche des betrachteten Körpers
bezügliches verwandeln. Sei $d\omega$ das Flächenelement, welches
die dem körperlichen Winkel~$d\sigma$ entsprechende Elementarpyramide
aus der Oberfläche ausschneidet, und sei $i$ der Cosinus des Winkels,
welchen die auf diesem Oberflächenelemente nach Aussen hin
errichtete Normale mit einem von $p$ nach dem Elemente gezogenen
und darüber hinaus verlängerten Leitstrahle bildet, so gilt die
Gleichung:
\[
i\, d\omega = R^2\, d\sigma
\]
oder anders geschrieben:
\[
\tag{50}
d\sigma = \frac{i}{R^2}\, d\omega.
\]
Durch Einsetzung dieses Werthes von $d\sigma$ geht~(49) über in
\[
\tag{51}
X = -\epsilon \int d\omega\, a\, \frac{i}{R^2} \int_0^R k'\, dr,
\]
worin die durch das erste Integralzeichen angedeutete Integration
über die ganze Oberfläche des betrachteten Körpers zu nehmen ist.

Nachdem für das Element des körperlichen Winkels dasjenige
der Oberfläche eingeführt ist, ist es zweckmässig, auch das Integral
$\ds\int k'\, dr$ etwas abzuändern. Dieses Integral bezieht sich auf die
den Punct~$p$ mit dem Oberflächenelement~$d\omega$ verbindende Gerade,
und seiner bisherigen Form liegt die Anschauung zu Grunde, dass
die Gerade von $p$ nach $d\omega$ hin gehe, und in dieser Richtung auch
die Integration auszuführen sei. Da nun aber das Oberflächenelement~$d\omega$
eine feste Lage hat, während die Lage des Punctes~$p$
%% -----File: 054.png---Folio 40-------
als veränderlich angesehen werden muss, indem nach seinen Coordinaten
differentiirt werden soll, so ist es für die folgenden Betrachtungen
angemessener, uns die Gerade von $d\omega$ nach $p$ hin
gehend zu denken und in dieser Richtung die Integration auszuführen.
Während wir den Abstand irgend eines auf der Geraden
gewählten Punctes vom Puncte~$p$ mit $r$ bezeichnet haben, wollen
wir den Abstand desselben Punctes von dem anderen Endpuncte der
Geraden, wo $d\omega$ liegt, mit $\rho$ bezeichnen. Dann ist\DPtypo{.}{}
\begin{align*}
r &= R - \rho\\
dr &= -d\rho.
\end{align*}
Setzen wir demnach in jenem Integrale~$-d\rho$ an die Stelle von~$dr$,
und bedenken zugleich, dass dem Grenzwerthe $r = 0$ der Grenzwerth
$\rho = R$ und dem anderen Grenzwerthe $r = R$ der Grenzwerth
$\rho = 0$ entspricht, so kommt:
\[
\int_0^R k'\, dr = -\int_R^0 k'\, d\rho = \int_0^R k'\, d\rho.
\]
Durch diese kleine Veränderung nimmt die Gleichung~(51) folgende
für unseren Zweck bequemere Form an:
\[
\tag{52}
X = -\epsilon \int d\omega\, a\, \frac{i}{R^2} \int_0^R k'\, d\rho.
\]

Aus dieser für die Componente~$X$ gefundenen Formel können
wir sofort auch diejenigen für die Componenten $Y$~und~$Z$ ableiten.
Da nämlich $a$ die einzige in der Formel vorkommende Grösse ist,
welche auf die $x$-Axe Bezug hat, so brauchen wir für diese nur
die entsprechenden auf die beiden anderen Axen bezüglichen Grössen
$b$~und~$c$, (die Cosinus der Winkel, welche der Leitstrahl mit der
$y$- und $z$-Axe bildet), zu substituiren. Dabei wollen wir zur Abkürzung
noch für das auf $\rho$ bezügliche Integral einen einfachen
Buchstaben einführen, indem wir setzen:
\[
\tag{53}
H = \int_0^R k'\, d\rho.
\]
%% -----File: 055.png---Folio 41-------
Dann lauten die Ausdrücke für die drei Kraftcomponenten:
\[
\tag{54}
\left\{
\begin{aligned}
X &= -\epsilon \int \frac{ai}{R^2}\, H\, d\omega\\
Y &= -\epsilon \int \frac{bi}{R^2}\, H\, d\omega\\
Z &= -\epsilon \int \frac{ci}{R^2}\, H\, d\omega.
\end{aligned}
\right.
\]

In diesen Ausdrücken kann man, da das Oberflächenelement~$d\omega$,
nach welchem integrirt werden soll, von den Coordinaten $x$,~$y$,~$z$
des Punctes~$p$ ganz unabhängig ist, die Differentiation nach
diesen Grössen unter den Integralzeichen vornehmen, und da die
im Nenner stehende Grösse~$R$ für alle Oberflächenelemente endlich
ist, so ist es schon aus diesem Grunde selbstverständlich, dass die
durch die Differentiation entstehenden Ausdrücke nicht unendlich
gross werden können.


\Section{20.}{Beweis der Gleichung (IIa.)\ für homogene Körper.}

Obwohl es gar keine Schwierigkeit hat, mittelst der eben gewonnenen
Ausdrücke der Kraftcomponenten die Gleichung~(IIa.)\
sofort für nicht homogene Körper zu beweisen, wollen wir der
leichteren Anschauung wegen zunächst den Beweis für homogene
Körper einschalten, was auch insofern zweckmässig ist, als wir dabei
zu Gleichungen gelangen, welche uns weiterhin nützlich sein
werden.

Für einen homogenen Körper, in welchem $k'$ constant den beim
Puncte~$p$ stattfindenden Werth~$k$ hat, nimmt die zur Bestimmung
von $H$ dienende Gleichung~(53) folgende einfache Gestalt an:
\[
\tag{55}
H = k \int_0^R d\rho = kR,
\]
und dadurch gehen die Gleichungen~(54) über in
%% -----File: 056.png---Folio 42-------
\[
\tag{56}
\left\{
\begin{aligned}
X &= -\epsilon k \int \frac{ai}{R}\, d\omega\\
Y &= -\epsilon k \int \frac{bi}{R}\, d\omega\\
Z &= -\epsilon k \int \frac{ci}{R}\, d\omega.
\end{aligned}
\right.
\]

Um diese Ausdrücke für die Differentiation nach $x$,~$y$ und~$z$
geeignet zu machen, wollen wir sie so umformen, dass diese Grössen
nicht implicite, sondern explicite in ihnen vorkommen. Seien $\xi$,~$\eta$,~$\zeta$
die Coordinaten des Oberflächenelementes~$d\omega$, dann gilt für $R$ die
Gleichung:
\[
\tag{57}
R = \sqrt{(\xi-x)^2 + (\eta-y)^2 + (\zeta-z)^2}
\]
und die durch $a$,~$b$ und~$c$ bezeichneten Cosinus werden bestimmt
durch die Gleichungen:
\[
\tag{58}
a = \frac{\xi-x}{R};\quad b = \frac{\eta-y}{R};\quad c = \frac{\zeta-z}{R}.
\]
Führt man ferner für die Cosinus der Winkel, welche die auf dem
Oberflächenelemente~$d\omega$ nach Aussen hin errichtete Normale mit
den Coordinatenaxen bildet, die Zeichen $\alpha$,~$\beta$,~$\gamma$ ein, so wird der
mit $i$ bezeichnete Cosinus bestimmt durch
\[
\tag{59}
\begin{aligned}
i &= a\alpha + b\beta + c\gamma\\
  &= \frac{(\xi-x)\alpha + (\eta-y)\beta + (\zeta-z)\gamma}{R}.
\end{aligned}
\]
Durch diese Gleichungen geht die erste der Gleichungen~(56)
über in:
\[
\tag{60}
X = -\epsilon k
  \int \frac{(\xi-x)[(\xi-x)\alpha + (\eta-y)\beta + (\zeta-z)\gamma]}
            {[(\xi-x)^2 + (\eta-y)^2 + (\zeta-z)^2]^{\tfrac{3}{2}}}\, d\omega.
\]

Indem man diese Gleichung nach $x$ differentiirt, erhält man
zunächst:
%% -----File: 057.png---Folio 43-------
\[
\tag{61}
\begin{split}
\frac{\partial X}{\partial x} = \epsilon k \int \left\{
  \frac{(\xi-x)\alpha + (\eta-y)\beta + (\zeta-z)\gamma + (\xi-x)\alpha}
       {[(\xi-x)^2 + (\eta-y)^2 + (\zeta-z)^2]^{\tfrac{3}{2}}}\right.\\
%
  -3 \left.\frac{(\xi-x)^2[(\xi-x)\alpha + (\eta-y)\beta + (\zeta-z)\gamma]}
                {[(\xi-x)^2 + (\eta-y)^2 + (\zeta-z)^2]^{\tfrac{5}{2}}}\right\}\, d\omega.
\end{split}
\]
Hierin kann man nun wieder die Zeichen $R$,~$a$ und~$i$ einführen,
und wenn man dann auch für die beiden anderen Coordinatenrichtungen
die entsprechenden Gleichungen bildet, so erhält man:
\[
\tag{62}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\partial X}{\partial x}
  &= \epsilon k \int \frac{a\alpha - (3a^2-1)i}{R^2}\, d\omega\\
%
\frac{\partial Y}{\partial y}
  &= \epsilon k \int \frac{b\beta  - (3b^2-1)i}{R^2}\, d\omega\\
%
\frac{\partial Z}{\partial z}
  &= \epsilon k \int \frac{c\gamma - (3c^2-1)i}{R^2}\, d\omega.
\end{aligned}
\right.
\]

Durch Addition dieser drei Gleichungen unter Berücksichtigung
der Gleichungen
\begin{gather*}
a^2 + b^2 + c^2 = 1\\
a\alpha + b\beta + c\gamma = i
\end{gather*}
ergiebt sich:
\[
\tag{63}
\frac{\partial X}{\partial x} +
\frac{\partial Y}{\partial y} +
\frac{\partial Z}{\partial z} = \epsilon k \int \frac{i}{R^2}\, d\omega.
\]
Hierin kann man nun wieder mit Hülfe von~(50) statt des Oberflächenelementes~$d\omega$
das Element des körperlichen Winkels~$d\sigma$ einführen,
wodurch entsteht:
\[
\tag{64}
\frac{\partial X}{\partial x} +
\frac{\partial Y}{\partial y} +
\frac{\partial Z}{\partial z} = \epsilon k \int d\sigma.
\]
Die hierin angedeutete Integration lässt sich sofort ausführen und
giebt einfach den ganzen körperlichen Winkelraum um~$p$, also den
Werth~$4\pi$, und wir erhalten somit die zu beweisende Gleichung:
\[
\frac{\partial X}{\partial x} +
\frac{\partial Y}{\partial y} +
\frac{\partial Z}{\partial z} = 4 \pi \epsilon k.
\]
%% -----File: 058.png---Folio 44-------


\Section{21.}{Beweis der Gleichung~(IIa.) für nicht homogene Körper.}

Wir gehen nun wieder zurück zu den unter~(54) gegebenen
allgemeineren Ausdrücken von $X$,~$Y$ und~$Z$, von denen der erste
lautete:
\[
X = -\epsilon \int \frac{ai}{R^2}\, H\, d\omega.
\]
Durch Differentiation dieser Gleichung erhält man zunächst:
\[
\tag{65}
\frac{\partial X}{\partial x}
  = -\epsilon \int \left[ \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{ai}{R^2}\right) · H
    + \frac{ai}{R^2} · \frac{\partial H}{\partial x}\right] d\omega.
\]
Wendet man nun wieder für $R$,~$a$ und~$i$ die im vorigen §~unter
(57),~(58) und~(59) gegebenen Ausdrücke an, so findet man:
\[
\frac{ai}{R^2}
  = \frac{(\xi-x)[(\xi-x)\alpha + (\eta-y)\beta + (\zeta-z)\gamma]}
         {[(\xi-x)^2 + (\eta-y)^2 + (\zeta-z)^2]^2}\DPtypo{}{.}
\]
Differentiirt man diesen Ausdruck nach $x$ und führt dann wieder
die Grössen $R$,~$a$ und~$i$ ein, so kommt:
\[
\tag{66}
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{ai}{R^2}\right)
  = \frac{-a\alpha + (4a^2-1)i}{R^3}\DPtypo{}{.}
\]
Diesen Werth hat man in~(65) einzusetzen. Bildet man dann
auch noch die entsprechenden Gleichungen für die beiden anderen
Coordinatenrichtungen, so erhält man:
\[
\tag{67}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\partial X}{\partial x}
  &= \epsilon \int \left[\frac{a\alpha - (4a^2-1)i}{R^3}\, H
     - \frac{ai}{R^2} · \frac{\partial H}{\partial x}\right] d\omega\\
%
\frac{\partial Y}{\partial y}
  &= \epsilon \int \left[\frac{b\beta  - (4b^2-1)i}{R^3}\, H
     - \frac{bi}{R^2} · \frac{\partial H}{\partial y}\right] d\omega\\
%
\frac{\partial Z}{\partial z}
  &= \epsilon \int \left[\frac{c\gamma - (4c^2-1)i}{R^3}\, H
     - \frac{ci}{R^2} · \frac{\partial H}{\partial z}\right] d\omega.\\
\end{aligned}
\right.
\]

Addirt man diese drei Gleichungen, und bedenkt dabei wieder,
dass man zu setzen hat:
\begin{align*}
a^2 + b^2 + c^2 &= 1\\
a\alpha + b\beta + c\gamma &= i,
\end{align*}
%% -----File: 059.png---Folio 45-------
so heben sich die Glieder, welche $H$ als Factor haben, gegenseitig
auf, und es bleibt:
\[
\tag{68}
\frac{\partial X}{\partial x} +
\frac{\partial Y}{\partial y} +
\frac{\partial Z}{\partial z}
  = -\epsilon \int
    \left( a \frac{\partial H}{\partial x}
         + b \frac{\partial H}{\partial y}
         + c \frac{\partial H}{\partial z} \right) \frac{i}{R^2}\, d\omega.
\]

Es kommt nun noch darauf an, die Differentialcoefficienten
von $H$ näher zu betrachten. Da das mit $H$ bezeichnete Integral,
nämlich:
\[
\int_0^R k'\, d\rho,
\]
sich über eine Gerade erstreckt, welche in dem Oberflächenpuncte
$\xi$,~$\eta$,~$\zeta$ beginnt und in unserem Puncte mit den Coordinaten $x$,~$y$,~$z$
endet, so können wir es als eine Function der sechs Grössen
$\xi$,~$\eta$,~$\zeta$, $x$,~$y$,~$z$ ansehen. Die drei letzten dieser Grössen können
den obigen Gleichungen gemäss durch folgende Formeln dargestellt
werden:
\begin{align*}
x &= \xi - aR\\
y &= \eta - bR\\
z &= \zeta - cR.
\end{align*}
Hierin könnten wir noch eine der drei Grössen $a$,~$b$,~$c$ durch die
beiden übrigen ausdrücken, oder wir könnten alle drei durch zwei
andere Grössen, welche die Richtung der von dem Oberflächenpuncte
nach $p$ gehenden Geraden bestimmen, darstellen; indessen
ist es für unseren gegenwärtigen Zweck bequemer, einfach die drei
Grössen $a$,~$b$,~$c$ beizubehalten. Denken wir uns nun die drei vorigen
Formeln in dem Ausdrucke von H für $x$,~$y$ und~$z$ substituirt, so
erhalten wir einen Ausdruck, welcher die Grössen $\xi$,~$\eta$,~$\zeta$, $a$,~$b$,~$c$,
$R$ enthält.

Wenn wir nun die Grösse~$H$ nach $x$,~$y$ und~$z$ differentiiren
sollen, so sind dabei die Coordinaten $\xi$,~$\eta$,~$\zeta$ des Oberflächenpunctes
als constant anzusehen, und wir können daher die Differentiationen
in der Weise ausführen, dass wir uns $H$ durch einen
Ausdruck, welcher $a$,~$b$,~$c$ und~$R$ als Veränderliche enthält, dargestellt
denken, und dann diese vier Veränderlichen wiederum als
Functionen von $x$,~$y$,~$z$ betrachten. Auf diese Weise erhalten wir
%% -----File: 060.png---Folio 46-------
\zB\ für den nach $x$ genommenen Differentialcoefficienten folgenden
Ausdruck:
\[
\frac{\partial H}{\partial x}
  = \frac{\partial H}{\partial a} · \frac{\partial a}{\partial x}
  + \frac{\partial H}{\partial b} · \frac{\partial b}{\partial x}
  + \frac{\partial H}{\partial c} · \frac{\partial c}{\partial x}
  + \frac{\partial H}{\partial R} · \frac{\partial R}{\partial x}.
\]
Nun ist in Folge der obigen Werthe von $a$,~$b$,~$c$ und~$R$ zu setzen:
\[
\frac{\partial a}{\partial x} = \frac{-1+a^2}{R};\quad
\frac{\partial b}{\partial x} = \frac{ab}{R};\quad
\frac{\partial c}{\partial x} = \frac{ac}{R};\quad
\frac{\partial R}{\partial x} = -a,
\]
wodurch die vorige Gleichung übergeht in:
\[
\frac{\partial H}{\partial x}
  = \frac{\partial H}{\partial a} · \frac{-1+a^2}{R}
  + \frac{\partial H}{\partial b} · \frac{ab}{R}
  + \frac{\partial H}{\partial c} · \frac{ac}{R}
  - \frac{\partial H}{\partial R}\, a,
\]
oder anders geordnet:
\[
\tag{69}
\frac{\partial H}{\partial x}
  = \frac{1}{R} \left[-\frac{\partial H}{\partial a}
    + a \left(a\, \frac{\partial H}{\partial a}
            + b\, \frac{\partial H}{\partial b}
            + c\, \frac{\partial H}{\partial c} \right) \right]
    - a\, \frac{\partial H}{\partial R}.
\]

Der in dieser Gleichung am Ende stehende Differentialcoefficient
$\dfrac{\partial H}{\partial R}$ hat eine sehr einfache Bedeutung. Es ist nämlich:
\[
\tag{70}
\frac{\partial H}{\partial R} = \frac{\partial}{\partial R} \int_0^R k'\, d\rho,
\]
worin $k'$ die Dichtigkeit an derjenigen Stelle des Körpers bezeichnet,
welche in der betrachteten, den Oberflächenpunct $\xi$,~$\eta$,~$\zeta$ mit
dem Punct~$p$ verbindenden Geraden vom ersteren Puncte um die
Strecke~$\rho$ entfernt ist. Die Lage dieser Stelle und dadurch auch
die dort stattfindende Dichtigkeit~$k'$ ist, wenn der Oberflächenpunct
als gegeben vorausgesetzt wird, durch die Grössen $a$,~$b$,~$c$ und~$\rho$
bestimmt. Da ferner bei der Integration nach $\rho$ die Grössen $a$,~$b$,~$c$,
welche die Richtung der Geraden bestimmen, als constant vorausgesetzt
werden, und nur $\rho$ veränderlich ist, so kann man in dem
vorstehenden Integrale~$k'$ einfach als Function von $\rho$ ansehen. Nun
gilt aber bekanntlich von dem nach der oberen Grenze eines Integrales
genommenen Differentialcoefficienten der durch die folgende
Gleichung ausgedrückte Satz:
\[
\frac{d}{dR} \int^R f(\rho)\, d\rho = f(R).
\]
%% -----File: 061.png---Folio 47-------
Wenden wir dieses auf unseren Fall an, so ist $f(R)$ der Werth,
welchen die Dichtigkeit~$k'$ an derjenigen Stelle der Geraden hat,
welche um die Strecke~$R$ von der Oberfläche entfernt ist, \dh\ in
unserem Puncte~$p$. Indem wir diesen speciellen Werth von $k'$ einfach
mit $k$ bezeichnen, können wir die vorige Gleichung so schreiben:
\[
\frac{\partial}{\partial R} \int_0^R k'\, d\rho = k,
\]
und dadurch geht die Gleichung~(70) über in:
\[
\tag{71}
\frac{\partial H}{\partial R} = k.
\]

Setzen wir diesen Werth in die Gleichung~(69) ein, und bilden
zugleich die entsprechenden Gleichungen für die beiden anderen
Differentialcoefficienten $\dfrac{\partial H}{\partial y}$ und~$\dfrac{\partial H}{\partial z}$, so kommt:
\[
\tag{72}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\partial H}{\partial x}
  &= \frac{1}{R}\left[-\frac{\partial H}{\partial a}
     + a \left(a\, \frac{\partial H}{\partial a}
             + b\, \frac{\partial H}{\partial b}
             + c\, \frac{\partial H}{\partial c}\right)\right] - ak\\
%
\frac{\partial H}{\partial y}
  &= \frac{1}{R}\left[-\frac{\partial H}{\partial b}
     + b \left(a\, \frac{\partial H}{\partial a}
             + b\, \frac{\partial H}{\partial b}
             + c\, \frac{\partial H}{\partial c}\right)\right] - bk\\
%
\frac{\partial H}{\partial z}
  &= \frac{1}{R}\left[-\frac{\partial H}{\partial c}
     + c \left(a\, \frac{\partial H}{\partial a}
             + b\, \frac{\partial H}{\partial b}
             + c\, \frac{\partial H}{\partial c}\right)\right] - ck
\end{aligned}
\right.
\]
Multipliciren wir diese Gleichungen, die erste mit~$a$, die zweite mit~$b$
und die dritte mit~$c$, und addiren sie, so heben sich an der rechten
Seite alle in den eckigen Klammern stehenden Glieder gegenseitig
auf, und die drei übrigen Glieder lassen sich in eines zusammenziehen,
nämlich:
\[
\tag{73}
a\, \frac{\partial H}{\partial x} +
b\, \frac{\partial H}{\partial y} +
c\, \frac{\partial H}{\partial z} = -k.
\]

Durch Anwendung dieser Gleichung geht die Gleichung~(68)
über in:
\[
\frac{\partial X}{\partial x} +
\frac{\partial Y}{\partial y} +
\frac{\partial Z}{\partial z} = \epsilon \int k \frac{i}{R^2}\, d\omega.
\]
%% -----File: 062.png---Folio 48-------
Da $k$ eine Grösse ist, welche sich, wenn man von einem Oberflächenelemente
zu einem anderen übergeht, nicht ändert, welche
also für unsere Integration constant ist, so kann sie aus dem Integralzeichen
herausgenommen werden, also:
\[
\tag{74}
\frac{\partial X}{\partial x} +
\frac{\partial Y}{\partial y} +
\frac{\partial Z}{\partial z} = \epsilon k \int \frac{i}{R^2}\, d\omega.
\]

Nun wollen wir wieder statt des Oberflächenelementes~$d\omega$ das
Element des körperlichen Winkels~$d\sigma$ einführen, indem wir abermals
von der in §~19 gegebenen Gleichung~(50), nämlich
\[
d\sigma = \frac{i}{R^2}\, d\omega,
\]
Gebrauch machen. Dadurch erhalten wir:
\[
\tag{75}
\frac{\partial X}{\partial x} +
\frac{\partial Y}{\partial y} +
\frac{\partial Z}{\partial z} = \epsilon k \int d\sigma.
\]
Die hierin vorgeschriebene Integration ist über den ganzen körperlichen
Winkelraum auszuführen, und giebt daher~$4\pi$, wodurch die
Gleichung übergeht in:
\[
\tag{76}
\frac{\partial X}{\partial x} +
\frac{\partial Y}{\partial y} +
\frac{\partial Z}{\partial z} = 4\pi\epsilon k.
\]

Wir sind somit auch für nicht homogene Körper durch eine
Reihe ganz einfacher und nur auf den Grundprincipien der Differential-
und Integralrechnung beruhender mathematischer Operationen
zu der zu beweisenden Gleichung gelangt.


\Section{22.}{Erweiterte Anwendbarkeit der auf homogene Körper
bezüglichen Formeln.}

Im vorstehenden Beweise, in welchem vorausgesetzt wurde,
dass der Punct~$p$ sich in endlicher Entfernung von der Oberfläche
des gegebenen Körpers befinde, haben wir die Annahme machen können,
der zu betrachtende Körper sei so gestaltet, dass jeder von $p$
ausgehende Leitstrahl die Oberfläche nur einmal schneide. Wenn
nämlich die Oberfläche des gegebenen Körpers dieser Bedingung
nicht entsprach, so brauchten wir nicht den ganzen Körper zu betrachten,
%% -----File: 063.png---Folio 49-------
sondern konnten uns aus demselben durch eine den Punct~$p$
in endlicher Entfernung umgebende, der Bedingung entsprechende
Fläche einen kleineren Körper ausgeschnitten denken, und konnten
dann die Betrachtung auf diesen letzteren beschränken, indem für
den ausserhalb dieser Fläche liegenden Theil des gegebenen Körpers
jedenfalls die in~(IIa.)\ vorkommende Summe gleich Null sein muss.

Wenn wir nun aber auch den speciellen Fall, wo der Punct~$p$
der Oberfläche unendlich nahe liegt, untersuchen wollen, so müssen
wir dabei wenigstens den dem Puncte~$p$ zunächst liegenden Theil
der Oberfläche des gegebenen Körpers in seiner eigenen Gestalt beibehalten.
Es möge daher, bevor wir zur Untersuchung dieses speciellen
Falles übergehen, der Nachweis geführt werden, dass die in
den vorigen~§§ entwickelten Formeln auch gültig bleiben, wenn
der betrachtete Körper eine beliebige Gestalt hat. Dabei wird sich
zugleich herausstellen, dass die Formeln nicht blos auf einen innerhalb
des Körpers, sondern auch auf einen ausserhalb desselben liegenden
Punct anwendbar sind.

Der leichteren Anschauung wegen möge auch diese Betrachtung
zunächst für einen \Emphasis{homogenen} Körper angestellt werden.

Für die Kraftcomponente~$X$ gilt allgemein der unter~(48) gegebene
Ausdruck, welcher sich bei einem homogenen Körper, bei
dem $k'$~constant gleich~$k$ zu setzen ist, in folgender Gestalt schreiben
lässt:
\[
\tag{77}
X = -\epsilon k \int d\sigma\, a \int dr.
\]
Hierin ist die durch das zweite Integralzeichen angedeutete Integration
sofort auszuführen, und giebt als allgemeines Integral einfach~$r$.
Es handelt sich aber noch darum, auch die Grenzwerthe
so zu wählen, wie es der Lage des Punctes~$p$ und der Gestalt des
Körpers entspricht.

Befindet sich $p$ \Emphasis{innerhalb} des Körpers, so muss jeder von $p$
ausgehende Leitstrahl, sofern der Körper endlich und daher seine
Oberfläche ganz geschlossen ist, wenigstens Einmal die Oberfläche
schneiden, und wenn der Körper so gestaltet ist, dass nach manchen
Richtungen hin die Leitstrahlen die Oberfläche mehr als Einmal
schneiden, so muss die Anzahl der Durchschnitte jedenfalls
eine \Emphasis{ungerade} sein. Betrachten wir eine nach einer solchen Richtung
gehende Elementarpyramide, so liegt diese von der Spitze bis
zum ersten Durchschnitte innerhalb des Körpers, vom ersten bis
%% -----File: 064.png---Folio 50-------
zum zweiten Durchschnitte ausserhalb, vom zweiten bis zum dritten
innerhalb u.~s.~f. Da für unsere Kraftcomponente nur die Theile
in Betracht kommen, welche innerhalb des Körpers liegen, so haben
wir, wenn $R_1$,~$R_2$, $R_3$~etc.\ die vom Puncte~$p$ aus gerechneten Abstände
der aufeinander folgenden Durchschnitte sind, die Integration
nach $r$ von $0$ bis~$R_1$, von $R_2$ bis~$R_3$ u.~s.~f.\ auszuführen, und bekommen
dadurch:
\[
\tag{78}
X = -\epsilon k \int(R_1 - R_2 + R_3 - \text{etc.})\, a\, d\sigma.
\]
Die hierin noch angedeutete Integration nach $\sigma$ hat sich über den
ganzen körperlichen Winkelraum um $p$ zu erstrecken.

Befindet sich $p$ \Emphasis{ausserhalb} des Körpers, so muss für jeden
Leitstrahl, welcher den Körper überhaupt trifft, die Anzahl der
Durchschnitte mit der Oberfläche eine \Emphasis{gerade} sein, und das Integral
nach $r$ ist in diesem Falle, wie man leicht sieht, von $R_1$
bis~$R_2$, dann, (falls noch weitere Durchschnitte vorkommen), von
$R_3$ bis~$R_4$ u.~s.~f.\ zu nehmen. Es kommt also:
\[
\tag{78a.}
X = -\epsilon k \int(-R_1 + R_2 - \text{etc.})\, a\, d\sigma.
\]
Das Integral nach $\sigma$ bezieht sich in diesem Falle natürlich nur
auf den Theil des körperlichen Winkelraumes um~$p$, in welchem
der gegebene Körper liegt. Denkt man sich also von $p$ aus um
den Körper einen Berührungskegel gelegt, so erstreckt sich das
Integral nach $\sigma$ über die Oeffnung dieses Kegels. Sollte der Körper
die Gestalt einer ganz geschlossenen Schaale haben, und $p$ in
dem eingeschlossenen Hohlraume liegen, so würde das Integral
wieder über den ganzen körperlichen Winkelraum~$4\pi$ auszudehnen
sein.

Befindet sich $p$ gerade \Emphasis{in der Oberfläche} des Körpers, so
ist es gleichgültig, welche der beiden letzten Gleichungen man anwendet,
um das Resultat abzuleiten, wenn man nur die Richtungen,
nach welchen $R_1 = 0$ gesetzt werden muss, in entsprechender
Weise wählt.

In den vorstehenden Ausdrücken von $X$ ist nun, wie in den
früher gegebenen, statt des Elementes des körperlichen Winkels~$d\sigma$
das Oberflächenelement $d\omega$ einzuführen. Dazu dürfen wir aber
jetzt nicht ein für allemal die Gleichung~(50) anwenden, sondern
%% -----File: 065.png---Folio 51-------
wir müssen zwei Fälle danach unterscheiden, ob der Leitstrahl, indem
er wächst, aus dem Körper heraustritt, oder in ihn hineintritt,
und ob daher der mit $i$ bezeichnete Cosinus positiv oder negativ
ist. Im ersteren Falle hat man, wie in~(50), zu setzen:
\[
d\sigma = \frac{i}{R^2}\, d\omega,
\]
im letzteren Falle dagegen muss gesetzt werden:
\[
d\sigma = - \frac{i}{R^2}\, d\omega.
\]

Sehen wir nun, wie sich hierdurch die obigen Integrale gestalten.
Wenn eine Elementarpyramide die Oberfläche mehrmals
schneidet, so gehören zu demselben Elemente~$d\sigma$ des körperlichen
Winkels mehrere Oberflächenelemente $d\omega_1$,~$d\omega_2$~etc., jedes mit seinem
besonderen Werthe von~$i$, so dass der Reihe von Producten
$R_1\, d\sigma$, $R_2\, d\sigma$~etc., welche in den Integralen vorkommen, ebensoviele
Producte $\dfrac{i_1}{R_1}\, d\omega_1$, $\dfrac{i_2}{R_2}\, d\omega_2$~etc.\ entsprechen. Untersucht man
die unter den Integralzeichen vor den einzelnen $R$ stehenden Vorzeichen,
so findet man, dass in den Fällen, wo das betreffende $R$
das Pluszeichen hat, die erste der beiden vorigen Gleichungen anzuwenden
ist, während dagegen in den Fällen, wo das $R$ das Minuszeichen
hat, die zweite Gleichung, in welcher das Minuszeichen
vorkommt, anzuwenden ist, so dass durch das doppelte Minuszeichen
wieder das Pluszeichen entsteht. Es erhalten also alle Producte
$\dfrac{i}{R}\, d\omega$ äusserlich das Pluszeichen, und da alle durch das
vorige Verfahren in Rechnung kommenden Elemente~$d\omega$ zusammen
gerade die ganze Oberfläche des Körpers ausmachen, so entsteht
aus jeder der beiden Gleichungen (78)~und~(78a.)\ die einfache
Gleichung:
\[
X = -\epsilon k \int\frac{ai}{R}\, d\omega,
\]
worin die Integration über die Oberfläche des gegebenen Körpers
auszuführen ist. Diese Gleichung stimmt mit der ersten der Gleichungen~(56)
überein, ist aber nach den vorstehenden Betrachtungen
nicht mehr blos auf Körper von besonderer Gestalt und auf innerhalb
derselben gelegene Puncte, sondern auf Körper von beliebiger
%% -----File: 066.png---Folio 52-------
Gestalt und auf innerhalb und ausserhalb gelegene Puncte anwendbar.
Ebenso verhält es sich natürlich auch mit den beiden letzten
der Gleichungen~(56), welche sich auf die Componenten $Y$~und~$Z$
beziehen.

Demnach können auch die in §~20 aus den Gleichungen~(56)
abgeleiteten Gleichungen~(62), und die aus diesen durch Addition
hervorgehende Gleichung
\[
\frac{\partial X}{\partial x} +
\frac{\partial Y}{\partial y} +
\frac{\partial Z}{\partial z} = \epsilon k \int \frac{i}{R^2}\, d\omega
\]
ohne Weiteres auf beliebig gestaltete Körper und auf innerhalb
und ausserhalb derselben gelegene Puncte angewandt werden.

Bei der mit dieser letzteren Gleichung vorzunehmenden Umformung
dagegen, bei welcher statt des Oberflächenelementes~$d\omega$
wieder das Element des körperlichen Winkels~$d\sigma$ eingeführt werden
soll, muss das in §~20 angewandte Verfahren etwas vervollständigt
werden. Die Transformationsgleichung kann die doppelte
Form
\[
\frac{i}{R^2}\, d\omega = ± d\sigma
\]
haben, und da zu Einem Elemente~$d\sigma$ soviele Elemente~$d\omega$ gehören,
wie die betreffende Elementarpyramide Durchschnitte mit
der Oberfläche hat, so ist jedes $d\sigma$ auch in der Formel eben so
oft zu setzen, und zwar mit dem Plus- oder Minuszeichen, jenachdem
der Leitstrahl an der betreffenden Stelle aus dem Körper
heraus- oder in ihn hineintritt. In Bezug auf die Anzahl der vorkommenden
Durchschnitte sind die beiden Fälle, wo der Punct~$p$
ausserhalb oder innerhalb des Körpers liegt, von einander zu unterscheiden.

Liegt $p$ \Emphasis{ausserhalb} des Körpers, so schneidet jede Elementarpyramide,
welche überhaupt den Körper trifft, seine Oberfläche eine
gerade Anzahl von Malen, und eben so oft kommt das dazugehörige
$d\sigma$ in dem Integrale vor, und zwar abwechselnd mit dem
negativen und positiven Vorzeichen. Unsere Gleichung nimmt also
folgende Form an:
\[
\frac{\partial X}{\partial x} +
\frac{\partial Y}{\partial y} +
\frac{\partial Z}{\partial z} = \epsilon k \int (-1 + 1 - \text{etc.})\, d\sigma,
\]
%% -----File: 067.png---Folio 53-------
worin die unter dem Integralzeichen stehende Klammer offenbar
Null wird, indem sie eine gerade Anzahl von Gliedern enthält,
welche den absoluten Werthen nach gleich, und den Vorzeichen
nach je zwei entgegengesetzt sind. Wir erhalten somit das mit
der in §~15 bewiesenen Gleichung~(43) übereinstimmende Resultat:
\[
\frac{\partial X}{\partial x} +
\frac{\partial Y}{\partial y} +
\frac{\partial Z}{\partial z} = 0.
\]

Liegt $p$ dagegen \Emphasis{innerhalb} des Körpers, so kommt jedes Element
des körperlichen Winkels eine ungerade Anzahl von Malen
vor, das erste Mal positiv, und dann abwechselnd negativ und positiv.
Unsere Gleichung nimmt also in diesem Falle folgende Form an:
\[
\frac{\partial X}{\partial x} +
\frac{\partial Y}{\partial y} +
\frac{\partial Z}{\partial z} = \epsilon k \int (1 - 1 + 1 - \text{etc.})\, d\sigma,
\]
worin die unter dem Integralzeichen stehende Klammer eine \Emphasis{ungerade}
Anzahl gleicher, aber abwechselnd mit entgegengesetzten
Vorzeichen versehener Glieder enthält. Diese Glieder heben sich
soweit gegenseitig auf, dass nur das erste übrig bleibt, und die
Gleichung sich somit auf folgende einfachere reducirt:
\[
\frac{\partial X}{\partial x} +
\frac{\partial Y}{\partial y} +
\frac{\partial Z}{\partial z} = \epsilon k \int d\sigma,
\]
welche ganz dieselbe ist, wie die in §~20 gegebene Gleichung~(64),
und durch Ausführung der Integration giebt:
\[
\frac{\partial X}{\partial x} +
\frac{\partial Y}{\partial y} +
\frac{\partial Z}{\partial z} = 4\pi\epsilon k.
\]


\Section{23.}{Erweiterte Anwendbarkeit der auf nicht homogene
Körper bezüglichen Formeln.}

Um nun auch die auf nicht homogene Körper bezüglichen
Formeln auf beliebig gestaltete Körper und auf Puncte innerhalb
und ausserhalb derselben anwendbar zu machen, möge, dem Vorigen
entsprechend, folgende Betrachtungsweise eingeführt werden.

Innerhalb des gegebenen Körpers wird, wie wir voraussetzen,
die Dichtigkeit~$k'$ durch eine sich nur stetig ändernde Function
%% -----File: 068.png---Folio 54-------
der Raumcoordinaten dargestellt. Wir wollen uns nun diese Function
in irgend einer stetigen Weise auch über die Grenzen des
Körpers hinaus fortgesetzt denken, so dass $k'$ eine überall stetige
Function bedeute, welche nicht nur innerhalb, sondern auch ausserhalb
des Körpers gültig ist. Demnach soll also in einem ausserhalb
des Körpers liegenden Puncte unter $k'$ nicht die dort wirklich
stattfindende Dichtigkeit Null, sondern diejenige Dichtigkeit verstanden
werden, welche dort stattfinden würde, wenn der Körper
mit der durch dieselbe Function ausgedrückten Dichtigkeit bis zu
diesem Puncte reichte.

Um nun für irgend einen innerhalb oder ausserhalb des gegebenen
Körpers liegenden Punct~$p$ die in die $x$-Richtung fallende
Kraftcomponente~$X$ zu bestimmen, gehen wir wieder von der Gleichung~(48)
aus, welche wir in folgender Form schreiben wollen:
\[
X = -\epsilon \int d\sigma\, a \int k'\, dr.
\]
Hierin denken wir uns zuerst die Integration nach~$r$, nämlich:
\[
\int k'\, dr
\]
ausgeführt. In diesem Integrale müssen nun wieder die Grenzen
in der Weise gewählt werden, wie es der Gestalt des Körpers und
der Lage des Punctes~$p$ entspricht.

Befindet sich $p$ \Emphasis{innerhalb} des Körpers, so dass jeder Leitstrahl
die Oberfläche eine \Emphasis{ungerade} Anzahl von Malen schneidet,
so zerfällt das Integral in folgende Theile:
\[
\int_0^{R_1} k'\, dr + \int_{R_2}^{R_3} k'\, dr + \text{etc}.
\]
Statt die Summe in dieser Form zu schreiben, wollen wir uns eine
Reihe von Integralen gebildet denken, deren jedes von Null bis zu
einem der Durchschnitte mit der Oberfläche geht. Dabei setzen
wir für die Theile des Leitstrahles, welche ausserhalb des Körpers
liegen, nicht $k' = 0$, sondern wenden die Werthe von $k'$ an, welche
der angenommenen sowohl ausserhalb als innerhalb des Körpers
gültigen Function entsprechen. Die so erhaltenen Integrale haben
wir abwechselnd mit dem positiven und negativen Vorzeichen zu
%% -----File: 069.png---Folio 55-------
versehen, und erhalten dadurch statt der vorigen Summe die folgende
gleichbedeutende Summe:
\[
\int_0^{R_1} k'\, dr - \int_0^{R_2} k'\, dr + \int_0^{R_3} k'\, dr - \text{etc}.
\]

Befindet sich $p$ \Emphasis{ausserhalb} des Körpers, so dass jeder Leitstrahl
die Oberfläche eine \Emphasis{gerade} Anzahl von Malen schneidet, so
zerfällt das Integral in folgende Theile:
\[
\int_{R_1}^{R_2} k'\, dr + \int_{R_3}^{R_4} k'\, dr + \text{etc}.
\]
oder wenn wir wieder ebenso, wie vorher, verfahren:
\[
- \int_0^{R_1} k'\, dr + \int_0^{R_2} k'\, dr
- \int_0^{R_3} k'\, dr + \int_0^{R_4} k'\, dr - \text{etc}.
\]

Durch Einsetzung dieser Ausdrücke nimmt die zur Bestimmung
von $X$ dienende Gleichung folgende Formen an. Wenn $p$ innerhalb
des Körpers liegt:
\[
\tag{79}
X = -\epsilon \int d\sigma\,
  a\left(\int_0^{R_1} k'\, dr
       - \int_0^{R_2} k'\, dr
       + \int_0^{R_3} k'\, dr - \text{etc}.\right).
\]
Wenn $p$ ausserhalb des Körpers liegt:
\[
\tag{79a.}%[** TN: No equation (80) in original]
X = -\epsilon \int d\sigma\,
  a\left(-\int_0^{R_1} k'\, dr
        + \int_0^{R_2} k'\, dr - \text{etc}. \right).
\]

Hierin führen wir nun wieder statt des Elementes des körperlichen
Winkels~$d\sigma$ das Element der Oberfläche~$d\omega$ ein, nach der
Gleichung:
\[
d\sigma = ± \frac{i}{R^2}\, d\omega.
\]
Dabei ist, ganz so, wie im vorigen~§ auseinandergesetzt wurde, zu
bemerken, dass zu jedem Elemente~$d\sigma$ so viele Elemente~$d\omega$ gehören,
wie der betreffende Leitstrahl Durchschnitte mit der Oberfläche
hat, also gerade so viele, wie in den beiden vorstehenden
Gleichungen innerhalb der Klammern Integrale nach $r$ stehen;
%% -----File: 070.png---Folio 56-------
ferner, dass von den beiden Vorzeichen dann das positive anzuwenden
ist, wenn das betreffende Integral das positive Vorzeichen
hat, und dann das negative, wenn das Integral das negative Vorzeichen
hat. Dadurch vereinfachen sich die Ausdrücke, und nehmen
beide eine und dieselbe Form an, nämlich:
\[
X = -\epsilon \int d\omega\, a\, \frac{i}{R^2} \int_0^R k'\, dr,
\]
worin $R$ die Länge des Leitstrahles nach dem betreffenden Oberflächenelemente
bedeutet, und die durch das erste Integralzeichen
angedeutete Integration über die ganze Oberfläche auszuführen ist.

Statt des Integrales nach $r$ können wir, wie es in §~19 geschehen
ist, das entsprechende Integral nach $\rho = R - r$ setzen, und
zur Abkürzung möge für dieses Integral wieder ein einfacher Buchstabe
eingeführt werden, indem wir setzen:
\[
H = \int_0^R k'\, dr = \int_0^R k'\, d\rho.
\]
Wenn wir dann noch neben dem für die Componente~$X$ gefundenen
Ausdrucke die entsprechenden auf die Componenten $Y$~und~$Z$
bezüglichen Ausdrücke bilden, so erhalten wir:
\begin{align*}
X &= -\epsilon \int \frac{ai}{R^2}\, H\, d\omega\\
Y &= -\epsilon \int \frac{bi}{R^2}\, H\, d\omega\\
Z &= -\epsilon \int \frac{ci}{R^2}\, H\, d\omega.
\end{align*}

Dieses sind die im §~19 unter~(54) gegebenen Gleichungen,
welche aber durch die hier ausgeführte Entwickelung eine erweiterte
Bedeutung gewonnen haben, indem sie auf Körper von beliebiger
Gestalt anwendbar sind, und ausserdem nicht nur für den
Fall gelten, wenn $p$ sich innerhalb des Körpers befindet, sondern
auch für den Fall, wenn $p$ ausserhalb desselben liegt.

Mit diesen Ausdrücken können wir nun dieselben Rechnungen
%% -----File: 071.png---Folio 57-------
anstellen, wie im §~21, und gelangen dadurch zu der unter~(74)
angeführten Gleichung:
\[
\frac{\partial X}{\partial x} +
\frac{\partial Y}{\partial y} +
\frac{\partial Z}{\partial z} = \epsilon k \int \frac{i}{R^2}\, d\omega.
\]

Bei der weiteren Behandlung dieser letzteren Gleichung ist
dann ebenso zu verfahren, wie es am Schlusse des vorigen~§ auseinandergesetzt
wurde, und wir erhalten dadurch wieder für einen
ausserhalb des Körpers liegenden Punct:
\[
\frac{\partial X}{\partial x} +
\frac{\partial Y}{\partial y} +
\frac{\partial Z}{\partial z} = 0
\]
und für einen innerhalb des Körpers gelegenen Punct:
\[
\frac{\partial X}{\partial x} +
\frac{\partial Y}{\partial y} +
\frac{\partial Z}{\partial z} = 4\pi\epsilon k,
\]
welche beiden Gleichungen, wie zum Schlusse dieser Auseinandersetzung
noch einmal bemerkt werden möge, sich auch so schreiben
lassen:
\begin{align*}
\Delta V &= 0\\
\Delta V &= -4\pi\epsilon k.
\end{align*}


\Section{24.}{Specielle Betrachtung des Falles, wenn der Punct~$p$ sich
in unmittelbarer Nähe der Oberfläche befindet.}

Es bleibt nun noch zu untersuchen, wie die in den vorigen~§§
betrachteten Differentialcoefficienten der Kraftcomponenten sich verhalten,
wenn~$p$, sei es innerhalb, sei es ausserhalb des Körpers,
sich der Oberfläche unendlich nähert, ob sie auch dann stets bestimmte
endliche Werthe behalten, deren Summe entweder $0$ oder
$4\pi\epsilon k$ ist, oder ob sie in unendlicher Nähe der Oberfläche unendlich
grosse Werthe annehmen, wodurch dann über den Werth ihrer
Summe Zweifel entstehen könnten.

Wir gehen von den unter~(54) gegebenen Ausdrücken von $X$,~$Y$,~$Z$
aus, deren erweiterte Gültigkeit im vorigen~§ nachgewiesen
ist. Durch Differentiation derselben erhält man die schon unter~(67)
angeführten Gleichungen, welche hier noch einmal wiederholt
werden mögen:
%% -----File: 072.png---Folio 58-------
\begin{align*}
\frac{\partial X}{\partial x}
  &= \epsilon \int\left[\frac{a\alpha - (4a^2-1)i}{R^3}\, H
     - \frac{ai}{R^2}·\frac{\partial H}{\partial x}\right] d\omega\\
%
\frac{\partial Y}{\partial y}
  &= \epsilon \int\left[\frac{b\beta  - (4b^2-1)i}{R^3}\, H
     - \frac{bi}{R^2}·\frac{\partial H}{\partial y}\right] d\omega\\
%
\frac{\partial Z}{\partial z}
  &= \epsilon \int\left[\frac{c\gamma - (4c^2-1)i}{R^3}\, H
     - \frac{ci}{R^2}·\frac{\partial H}{\partial z}\right] d\omega.
\end{align*}
Die hierin unter den Integralzeichen stehenden Ausdrücke enthalten
Potenzen der Grösse~$R$, nämlich des Abstandes des betreffenden
Oberflächenelementes $d\omega$ vom Puncte~$p$, in den Nennern. Da nun,
wenn der Punct~$p$ der Oberfläche unendlich nahe ist, für die ihm
zunächst liegenden Elemente der Oberfläche~$R$ unendlich klein
wird, so kann die Frage entstehen, ob dessenungeachtet alle Integrale
bestimmte endliche Werthe behalten, oder ob vielleicht einzelne
derselben unendlich gross werden.

Um diese Frage zu entscheiden, wollen wir wieder untersuchen,
ob die Integralausdrücke sich so umgestalten lassen, dass für alle
Elemente derjenigen Grösse, nach welcher integrirt werden soll,
die zu integrirende Function endlich bleibt.

In dieser Beziehung lassen sich alle diejenigen Glieder der
obigen Ausdrücke, welche die Grösse~$i$ als Factor haben, sehr kurz
abmachen. Nämlich dadurch, dass wir das Oberflächenelement $d\omega$,
welches wir in die Ausdrücke von $X$,~$Y$,~$Z$ statt des körperlichen
Winkels~$d\sigma$ eingeführt haben, um unter den Integralzeichen nach
$x$,~$y$,~$z$ differentiiren zu können, nach geschehener Differentiation
wieder durch das Element des körperlichen Winkels ersetzen, indem
wir die bekannte Gleichung
\[
d\sigma = ± \frac{i}{R^2}\, d\omega
\]
anwenden. Die drei Gleichungen lauten dann:
\[
\tag{81}%[** TN: No equation (80) in original]
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\partial X}{\partial x}
  &= \epsilon \int \frac{H}{R} · \frac{a\alpha}{R^2}\, d\omega
   - \epsilon \int ± \left[(4a^2-1)\frac{H}{R} + a\, \frac{\partial H}{\partial x}\right] d\sigma\\
%
\frac{\partial Y}{\partial y}
  &= \epsilon \int \frac{H}{R} · \frac{b\beta}{R^2} \, d\omega
   - \epsilon \int ± \left[(4b^2-1)\frac{H}{R} + b\, \frac{\partial H}{\partial y}\right] d\sigma\\
%
\frac{\partial Z}{\partial z}
  &= \epsilon \int \frac{H}{R} · \frac{c\gamma}{R^2} \,d\omega
   - \epsilon \int ± \left[(4c^2-1)\frac{H}{R} + c\, \frac{\partial H}{\partial z}\right] d\sigma,
\end{aligned}
\right.
\]
%% -----File: 073.png---Folio 59-------
wobei in den auf $d\sigma$ bezüglichen Integralen von den in den eckigen
Klammern stehenden Ausdrücken so viele Werthe zu nehmen sind,
wie Durchschnitte des betreffenden Leitstrahles mit der Oberfläche
vorkommen, und zwar mit dem $+$~oder~$-$ Zeichen, je nachdem
der Leitstrahl an der Durchschnittsstelle, indem er wächst, aus dem
Körper heraus- oder in den Körper hineintritt.

Die in den eckigen Klammern stehenden Ausdrücke bleiben
nun offenbar für alle vorkommenden Elemente~$d\sigma$ endlich. Da
nämlich~$H$ die Bedeutung
\[
H = \int_0^R k'\, d\rho
\]
hat, so sieht man leicht, dass der Bruch~$\dfrac{H}{R}$ endlich bleiben muss,
sofern die Grösse~$k'$ in dem zu betrachtenden Raume nirgends
unendlich gross wird, was wir voraussetzen. Ebenso ist klar, dass
die Differentialcoefficienten $\dfrac{\partial H}{\partial x}$, $\dfrac{\partial H}{\partial y}$, $\dfrac{\partial H}{\partial z}$ endlich bleiben müssen,
sofern die Grösse~$k'$ in dem zu betrachtenden Raume keine sprungweisen
Aenderungen erleidet, welche Bedingung ebenfalls bei der
Art, wie im vorigen~§ die Grösse~$k'$ definirt wurde, erfüllt ist,
selbst für Puncte, welche sich gerade in der Oberfläche befinden.
Im Uebrigen kommen nur die Grössen $a$,~$b$ und~$c$ vor, welche Cosinus
von Winkeln bedeuten, und also nicht unendlich gross werden
können. Demnach ist von denjenigen in den Gleichungen~(81)
vorkommenden Integralen, welche sich auf $d\sigma$ beziehen, ohne Weiteres
klar, dass sie die oben gestellte Bedingung, dass die zu integrirenden
Ausdrücke für alle Elemente~$d\sigma$ endlich bleiben, erfüllen.

Es bleiben also nur noch die drei Integrale:
\[
\int \frac{H}{R}·\frac{a\alpha}{R^2}\, d\omega;\quad
\int \frac{H}{R}·\frac{b\beta}{R^2}\,  d\omega;\quad
\int \frac{H}{R}·\frac{c\gamma}{R^2}\, d\omega
\]
zu betrachten. Von diesen kann noch eines auf die beiden anderen
zurückgeführt werden, \zB\ das letzte auf die beiden ersten.
Wir können nämlich, gemäss der Gleichung
\[
i = a\alpha + b\beta + c\gamma,
\]
in dem letzten Integrale statt $c\gamma$ schreiben:
\[
i - a\alpha - b\beta,
\]
%% -----File: 074.png---Folio 60-------
und dann wieder $\dfrac{i}{R^2}\, d\omega$ durch $± d\sigma$ ersetzen, wodurch kommt:
\[
\tag{82}
\int \frac{H}{R}·\frac{c\gamma}{R^2}\, d\omega
  = \int ±\frac{H}{R} · \frac{a\alpha}{R^2}\, d\omega
  - \int  \frac{H}{R} · \frac{b\beta}{R^2}\, d\omega.
\]
Hierin bedarf das auf $d\sigma$ bezügliche Integral nach dem schon vorhin
Gesagten keiner weiteren Besprechung, und die übrigen an der
rechten Seite stehenden Integrale sind die beiden ersten der drei
oben genannten Integrale.

Die nähere Untersuchung dieser Integrale wollen wir hier, um
nicht zu weitläufig zu werden, nur in der Weise ausführen, dass
wir für die Coordinatenaxen bestimmte, bei der Betrachtung bequeme
Richtungen wählen. Wir denken uns von dem zu betrachtenden
Puncte~$p$ eine Normale auf die Oberfläche gefällt, und wählen
dann die Richtung der $z$-Axe dieser Normale parallel. Da der
Anfangspunct der Coordinaten beliebig angenommen werden kann,
ohne dass dadurch die Allgemeinheit der Untersuchung eine weitere
Beschränkung erleidet, so wollen wir den Fusspunct der Normale
als Anfangspunct der Coordinaten und demnach die Normale selbst
als $z$-Axe und die im Fusspuncte an die Oberfläche gelegte Tangentialebene
als $xy$-Ebene nehmen. Unter diesen Umständen sind die
Coordinaten $x$~und~$y$ des Punctes~$p$ gleich Null, und die unter~(58)
§~20 zur Bestimmung von $a$~und~$b$ gegebenen Ausdrücke lauten
daher für einen Punct der Oberfläche, dessen Coordinaten $\xi$,~$\eta$,~$\zeta$
sind:
\[
\tag{83}
a  = \frac{\xi}{R};\quad b = \frac{\eta}{R},
\]
welche Ausdrücke in unsere Integrale einzusetzen sind.

Was die Ausdehnung der Integrationen betrifft, so können wir
dieselbe auf den Theil der Oberfläche beschränken, dessen Elemente
sehr nahe an $p$ liegen, denn für alle entfernteren Elemente der
Oberfläche, für welche~$R$ nicht mehr unendlich klein ist, können
die unter den Integralzeichen stehenden Ausdrücke nicht unendlich
gross werden, und die den entfernteren Theilen der Oberfläche entsprechenden
Theile der Integrale bedürfen daher keiner besonderen
Untersuchung. Die so beschränkten Integrale wollen wir mit $A$
und~$B$ bezeichnen, so dass wir nach Einführung der vorher gegebenen
Werthe von $a$~und~$b$ schreiben können:
%% -----File: 075.png---Folio 61-------
\[
\tag{84}
A = \int \frac{H}{R} · \frac{\xi\alpha}{R^3}\, d\omega;\quad
B = \int \frac{H}{R} · \frac{\eta\beta}{R^3}\, d\omega\DPtypo{.}{,}
\]
worin die Integrale sich über ein sehr kleines Flächenstück um den
Anfangspunct der Coordinaten erstrecken sollen.

Wenn nun die Gleichung der Oberfläche in der Form
\[
\tag{85}
\zeta = f(\xi, \eta)
\]
gegeben ist, so sind die Cosinus der Winkel, welche die an irgend
einem Puncte der Fläche errichtete Normale mit den Coordinatenaxen
bildet, durch folgende Formeln bestimmt:
\[
\tag{86}
\left\{
\begin{aligned} %[** TN: Aligning on = signs]
\alpha
  &= - \frac{\dfrac{\partial\zeta}{\partial\xi}}
           {\sqrt{1 + \left(\dfrac{\partial\zeta}{\partial\xi}\right)^2
                    + \left(\dfrac{\partial\zeta}{\partial\eta}\right)^2}}\\
%
\beta
  &= - \frac{\dfrac{\partial\zeta}{\partial\eta}}
           {\sqrt{1 + \left(\dfrac{\partial\zeta}{\partial\xi}\right)^2
                    + \left(\dfrac{\partial\zeta}{\partial\eta}\right)^2}}\\
%
\gamma
  &= \frac{1}
           {\sqrt{1 + \left(\dfrac{\partial\zeta}{\partial\xi}\right)^2
                    + \left(\dfrac{\partial\zeta}{\partial\eta}\right)^2}}.
\end{aligned}
\right.
\]
Mit Hülfe der letzten dieser drei Gleichungen gehen die beiden
ersten über in:
\[
\tag{87}
\left\{
\begin{aligned}
\alpha = - \frac{\partial\zeta}{\partial\xi}\,  \gamma\\
\beta  = - \frac{\partial\zeta}{\partial\eta}\, \gamma.
\end{aligned}
\right.
\]
Setzen wir den Werth von $\alpha$ in die erste der Gleichungen~(84) ein,
so kommt:
\[
\tag{88}
A = - \int \frac{H}{R}
         · \frac{\xi\, \dfrac{\partial\zeta}{\partial\xi}}{R^3}\, \gamma\, d\omega.
\]
%% -----File: 076.png---Folio 62-------
Das Product $\gamma\, d\omega$ ist die Projection des Elementes~$d\omega$ auf die
$xy$-Ebene, oder, wenn wir uns das ganze betrachtete Flächenstück
auf die $xy$-Ebene projicirt denken, so können\DPtypo{}{ wir} $\gamma\, d\omega$ als ein Element
dieser Projection ansehen, und dann die Integration auf die letztere
beziehen. Wir führen dazu Polarcoordinaten in der $xy$-Ebene um
den Anfangspunct der rechtwinkligen Coordinaten ein, indem wir
den nach irgend einem Puncte der Ebene gezogenen Leitstrahl mit~$u$,
und den Winkel, welchen dieser mit der $x$-Axe bildet, mit $\phi$
bezeichnen. Dann wird ein Element der Ebene dargestellt durch:
\[
u\, du\, d\phi
\]
und diesen Ausdruck können wir daher für $\gamma\, d\omega$ setzen. Wenn
wir dabei zugleich berücksichtigen, dass
\[
\xi = u \cos \phi
\]
ist, so geht~(88) über in:
\[
\tag{89}
A = \iint \frac{H}{R}
        · \frac{\cos\phi\, \dfrac{\partial\zeta}{\partial\xi}\, u^2}{R^3}\, du\, d\phi.
\]

Hierin müssen wir endlich noch den Differentialcoefficienten
$\dfrac{\partial\zeta}{\partial\xi}$ näher betrachten. Im Anfangspuncte der Coordinaten sind, da
die $xy$-Ebene in diesem Puncte Tangentialebene ist, die beiden
Differentialcoefficienten $\dfrac{\partial\zeta}{\partial\xi}$ und~$\dfrac{\partial\zeta}{\partial\eta}$ gleich Null, und für die Umgebung
dieses Punctes können wir, \Emphasis{wenn die hier stattfindende
Krümmung der Oberfläche als endlich vorausgesetzt wird},
setzen:
\[
\tag{90}
\DPnote{** TN: [sic] product, not \mu, \nu}
\frac{\partial\zeta}{\partial\xi} = mu;\quad
\frac{\partial\zeta}{\partial\eta} = nu,
\]
worin $m$~und~$n$ zwei Functionen von $u$~und~$\phi$ sind, welche für
kleine Werthe von $u$ nicht unendlich gross werden. Die Gleichung~(89)
lässt sich also schreiben:
\[
\tag{91}
A = \iint \frac{H}{R} · \frac{m \cos \phi \mathbin{.} u^3}{R^3}\, du\, d\phi.
\]
%% -----File: 077.png---Folio 63-------
In derselben Weise kann man auch das Integral~$B$ behandeln, und
erhält dadurch
\[
\tag{92}
B = - \iint \frac{H}{R} · \frac{n \sin \phi \mathbin{.} u^3}{R^3}\, du\, d\phi.
\]

Da nun die Grösse~$R$, welche durch die Gleichung
\[
R = \sqrt{u^2 + (\zeta-z)^2}
\]
bestimmt ist, nicht kleiner als $u$ werden kann, so kann der Bruch
$\dfrac{u^3}{R^3}$ nicht unendlich gross werden, und dasselbe gilt auch, wie schon
erwähnt, von dem Bruche $\dfrac{H}{R}$. Demnach sind die Integrale $A$~und~$B$
in eine Form gebracht, in welcher sie der Bedingung genügen,
dass die zu integrirende Function für alle vorkommenden Werthe
der Veränderlichen, nach welchen integrirt werden soll, endlich
bleibt.

Nachdem gezeigt ist, dass die Differentialcoefficienten $\dfrac{\partial X}{\partial x}$, $\dfrac{\partial Y}{\partial y}$,
$\dfrac{\partial Z}{\partial z}$, auch bei unendlicher Annäherung an die Oberfläche immer
bestimmte endliche Werthe behalten, kann auch kein Zweifel darüber
entstehen, dass die mit $-\Delta V$ bezeichnete Summe dieser drei
Differentialcoefficienten im äusseren und inneren Raume die Werthe
$0$ und~$4 \pi \epsilon k$ bis dicht an die Oberfläche behält. Im Momente, wo
der Punct~$p$ die Oberfläche durchschreitet, und aus dem äusseren
leeren Raume in den Körper hineintritt, ändern die Elemente~$d\sigma$
zum Theil plötzlich ihr Vorzeichen, und dadurch entsteht die sprungweise
Aenderung des Werthes von~$\Delta V$.


\Section{25.}{Einfluss des Umstandes, wenn die Krümmung der Oberfläche
an der betreffenden Stelle unendlich gross ist.}

Bei der vorigen Auseinandersetzung wurde vorausgesetzt, dass
die Krümmung an der betreffenden Stelle endlich sei; aber auch
diese Voraussetzung ist keine durchaus nothwendige. Nehmen wir
an, dass statt der Gleichungen~(90) die folgenden Gleichungen
gelten:
%% -----File: 078.png---Folio 64-------
\[
\tag{93}
\frac{\partial \zeta}{\partial \xi}  = m u^\mu;\quad
\frac{\partial \zeta}{\partial \eta} = n u^\nu,
\]
so ist, wenn die Exponenten $\mu$~und~$\nu < 1$ sind, die Krümmung an
dem betreffenden Puncte, welcher zugleich der Anfangspunct der
Coordinaten ist, unendlich gross. Dessenungeachtet behalten die
Integrale $A$~und~$B$ bestimmt angebbare endliche Werthe, so lange
nur die Exponenten \Emphasis{angebbare positive} Werthe haben.

Setzen wir nämlich in~(89) für $\dfrac{\partial \zeta}{\partial \xi}$ die obengegebene Formel
ein, so kommt statt der Gleichung~(91), wenn wir zugleich für $R$
seinen Werth substituiren:
\[
A = - \iint \frac{H}{R}
    · \frac{m \cos \phi\, u^{2+\mu}}
           {\left[ u^2 + (\zeta - z)^2 \right]^{\tfrac{3}{2}}}\, du\, d\phi.
\]
Hierin wollen wir die neue Veränderliche~$u'$ einführen mit der Bedeutung:
\[
u' = u^{\mu},
\]
woraus folgt:
\begin{align*}
u &= u'^{\tfrac{1}{\mu}}\\
du &= \frac{1}{\mu} u'^{\tfrac{1}{\mu}-1}\, du'.
\end{align*}
Dadurch geht der Ausdruck über in:
\[
\tag{94}
A = \frac{1}{\mu} \iint \frac{H}{R}
  · \frac{m \cos \phi\, u'^{\tfrac{3}{\mu}}}
         {\left[ u'^{\tfrac{2}{\mu}} + (\zeta - z)^2 \right]^{\tfrac{3}{2}}}\, du'\, d\phi.
\]
Hierin kann der Nenner des zweiten unter den Integralzeichen
stehenden Bruches nicht kleiner als $u'^{\tfrac{3}{\mu}}$ werden, und die zu integrirende
Function bleibt also endlich. Dasselbe gilt natürlich auch
von dem Integrale~$B$, welches sich vom vorigen nur dadurch unterscheidet,
dass $n$ an die Stelle von $m$,~$\nu$ an die Stelle von $\mu$ und
$\sin \phi$ an die Stelle von $\cos \phi$ tritt.

Nur dann hören diese Schlüsse auf gültig zu sein, wenn die
Körper-Oberfläche an der Stelle, wo der Punct~$p$ sich befindet, so
%% -----File: 079.png---Folio 65-------
gestaltet ist, dass auch die Gleichungen~(93) mit angebbaren positiven
Werthen von $\mu$~und~$\nu$ nicht mehr angewandt werden können,
wenn also, wie \Person{Gauss} es bei einer anderen Gelegenheit ausdrückt,\footnote
  {Allgemeine Lehrsätze u.~s.~w.\ S.~25.}
die Differentialcoefficienten $\dfrac{\partial \zeta}{\partial \xi}$ und~$\dfrac{\partial \zeta}{\partial \eta}$ mit keiner Potenz von $u$ mehr
zu einerlei Ordnung gehören. Dieses ist insbesondere der Fall bei
absolut scharfen Spitzen und Kanten, bei denen es gar keine bestimmte
Tangentialebene giebt. Indessen sind auch Fälle denkbar,
wo noch eine bestimmte Tangentialebene vorhanden ist, und doch
die Gleichungen~(93) nicht gelten. \Person{Gauss} führt als ein Beispiel
der Art an, wenn die Differentialcoefficienten von der Ordnung
$\dfrac{1}{\log \dfrac{1}{u}}$ wären. Solche Fälle können in Bezug auf die vorliegende
Frage denen zugesellt werden, wo die Fläche wirkliche Spitzen und
Kanten bildet. Was diese letzteren Fälle anbetrifft, so kann man
sich leicht davon überzeugen, dass bei unendlicher Annäherung an
eine Spitze oder Kante die Differentialcoefficienten $\dfrac{\partial X}{\partial x}$, $\dfrac{\partial Y}{\partial y}$ und
$\dfrac{\partial Z}{\partial z}$ einzeln unendlich gross werden; und wenn in ihrer Summe
die unendlich grossen Glieder sich der Form nach auch gegenseitig
aufheben, so kann man doch einer algebraischen Summe, in der
unendlich grosse Glieder vorkommen, nicht ohne Weiteres einen
bestimmten endlichen Werth zuschreiben.


\Section{26.}{Zurückführung des Falles, wo in der Nähe von $p$ eine
sprungweise Aenderung der Dichtigkeit stattfindet,
auf den vorigen.}

Auf den in den beiden vorigen~§§ betrachteten Fall, wo der
Punct~$p$ sich in der Nähe der Oberfläche befindet, lässt sich auch
der Fall zurückführen, wo $p$ zwar tief im Innern des Körpers liegt,
aber die Dichtigkeit des Körpers in der Nähe dieses Punctes eine
sprungweise Aenderung erleidet.

Es sei ein Körper gegeben, der durch eine innere Fläche in
zwei Theile getheilt wird, welche sich in Bezug auf ihre Dichtigkeit
%% -----File: 080.png---Folio 66-------
verschieden verhalten. Die Dichtigkeit des einen sei durch $k_1$ dargestellt,
welches Zeichen eine Function der Raumcoordinaten bedeuten
soll, die sich nur stetig ändert. Die Dichtigkeit des andern
sei $k_1 + k_2$, worin $k_1$ dieselbe Function ist, wie vorher, und $k_2$
eine andere Function, die sich, soweit sie gilt, ebenfalls nur stetig
ändert, die aber von jener Fläche an, obwohl sie in derselben noch
einen endlichen Werth hat, nach der einen Seite hin ungültig wird,
so dass also der Werth, welchen $k_2$ in der Fläche hat, die Grösse
des Sprunges darstellt. Dann denken wir uns in dem Raume, wo
die Dichtigkeit $k_1 + k_2$ ist, zwei Körper so über einander gelagert,
dass sie beide denselben Raum ausfüllen, einen mit der Dichtigkeit~$k_1$
und den anderen mit der Dichtigkeit~$k_2$. Der erstere bildet mit
dem an der entgegengesetzten Seite der Fläche befindlichen Körpertheile
einen zusammenhängenden Körper, dessen Dichtigkeit überall
durch die stetige Function~$k_1$ dargestellt wird, und welchen wir $C_1$
nennen wollen. Den letzteren dagegen, mit der Dichtigkeit~$k_2$,
betrachten wir als einen für sich bestehenden Körper, welcher $C_2$
heisse, und welcher jene Trennungsfläche als einen Theil seiner
Oberfläche hat.

Hiernach kann man sich die Potentialfunction~$V$ des ganzen
gegebenen Körpers in die Potentialfunctionen $V_1$~und~$V_2$ der beiden
Körper $C_1$ und~$C_2$ zerlegt denken. Dann hat man:
\[
V = V_1 + V_2
\]
und daraus folgt:
\[
\Delta V = \Delta V_1 + \Delta V_2.
\]
Die erste der beiden rechts stehenden Grössen ändert sich, wenn
der Punct~$p$ die Trennungsfläche durchschreitet, nur stetig, weil
der Punct dabei im Innern des Körpers~$C_1$ bleibt, und sie wird an
beiden Seiten der Fläche durch $-4 \pi \epsilon k_1$ dargestellt. Die zweite
Grösse dagegen ändert sich sprungweise. An der einen Seite der
Fläche (\dh\ ausserhalb des Körpers~$C_2$), bis dicht an die Fläche
hinan, ist sie $= 0$; an der anderen Seite (\dh\ innerhalb des Körpers~$C_2$)
ebenfalls bis dicht an die Fläche hinan, ist sie $= -4 \pi \epsilon k_2$.
Wir erhalten also im Ganzen:
\begin{align*}
\text{an der einen Seite der Fläche}\quad \Delta V &= - 4 \pi \epsilon k_1\\
\PadTxt{an }{\Ditto}\PadTxt{der}{\Ditto}
\PadTxt{Einen Seite}{andern\quad\Ditto}\
\PadTxt{der}{\Ditto}\
\PadTxt{Fläche}{\Ditto}\quad
\Delta V &= - 4 \pi \epsilon (k_1 + k_2).
\end{align*}
%% -----File: 081.png---Folio 67-------
Bezeichnen wir, wie früher, die ganze Dichtigkeit mit~$k$, wobei $k$
aber jetzt eine Function darstellt, die eine Unterbrechung der Stetigkeit
erleidet, indem an der einen Seite der Fläche $k = k_1$, und an
der andern $k = k_1 + k_2$ ist, so können wir die beiden vorigen
Gleichungen in Eine überall gültige Gleichung zusammenfassen:
\[
\Delta V = -4\pi \epsilon k,
\]
welches wieder unsere Gleichung~(II) ist. Die Grösse~$\Delta V$ ist also
überall ganz so bestimmt, wie die Dichtigkeit~$k$, und erleidet auch
mit dieser die gleichen, entweder stetigen oder sprungweisen Aenderungen.

Nur in dem Falle, wo in unmittelbarer Nähe des Punctes~$p$
eine sprungweise Aenderung der Dichtigkeit stattfindet, und zugleich
die Fläche, in welcher sie stattfindet, an der betreffenden
Stelle eine Spitze oder Kante bildet, tritt eine Unbestimmtheit ein,
gerade so, wie in dem entsprechenden Falle in der Nähe der Oberfläche.


\Section{27.}{Anhäufung eines Agens auf einer Fläche.}

Es kommt zuweilen der Fall vor, dass man eine Quantität
eines Agens zu betrachten hat, von welcher man annimmt, dass sie
nicht einen Raum stetig ausfüllt, sondern nur \Emphasis{über eine Fläche
stetig verbreitet ist}. So ist es \zB\ bekannt, dass Electricität,
welche einem leitenden Körper mitgetheilt wird, im Gleichgewichtszustande
nicht das Innere des Körpers erfüllt, sondern nur an der
Oberfläche desselben angehäuft ist. Es kann zwar in der Wirklichkeit
nicht eine mathematische Fläche sein, welche die Electricitätsmenge
enthält, sondern man muss sich eine Schicht von sehr geringer
Dicke denken; indessen in der Rechnung wird bei den
meisten Untersuchungen diese Dicke vernachlässigt, und man denkt
sich die ganze Electricitätsmenge in einer mathematischen Fläche
befindlich.

Wir müssen nun untersuchen, ob unter dieser Bedingung die
Potentialfunction und ihre Differentialcoefficienten neue bemerkenswerthe
Eigenschaften zeigen.
%% -----File: 082.png---Folio 68-------


\Section{28.}{Bestimmung der Potentialfunction für eine gleichförmig
mit dem Agens bedeckte ebene Figur.}

Wir wollen zunächst wieder einen einfachen speciellen Fall
zur Betrachtung auswählen, welcher besonders geeignet ist, die mit
dieser Bedingung verknüpften Eigenthümlichkeiten klar hervortreten
zu lassen, und nach dessen Behandlung dann die allgemeine Betrachtung
kürzer gefasst werden kann, als es sonst ohne Beeinträchtigung
der Verständlichkeit möglich wäre. Wir wollen nämlich
vorläufig annehmen, \Emphasis{dass die mit dem Agens bedeckte
Fläche ein Stück einer Ebene, und dass die Vertheilung
des Agens über dieselbe gleichförmig sei}.

Wenn die auf einem Elemente~$d\omega$ der Fläche befindliche Menge
des Agens $h\, d\omega$ ist, so nennen wir $h$ die Dichtigkeit des Agens,
und wo es zur Unterscheidung nothwendig ist, können wir, wie es
schon in §~12 geschehen ist, diese Dichtigkeit, welche sich auf eine
Fläche bezieht, im Gegensatze zu der gewöhnlichen, welche sich
auf den körperlichen Raum bezieht, \Emphasis{Flächendichtigkeit} nennen.
Ist nun $r$ der Abstand des Elementes~$d\omega$ von dem Puncte~$p$, so
haben wir zur Bestimmung der Potentialfunction die Gleichung:
\[
\tag{95}
V = \epsilon h \int \frac{d\omega}{r},
\]
worin die Integration über den Flächeninhalt der ebenen Figur,
welche mit dem Agens bedeckt ist, ausgeführt werden muss.

Um das Integral in eine für unseren Zweck geeignete Form
zu bringen, nehmen wir die Ebene, welche die Figur enthält, zur
$xy$-Ebene unseres Coordinatensystemes. Wenn wir dann vom Puncte~$p$
mit den Coordinaten $x$,~$y$ und~$z$ ein Perpendikel auf diese Ebene
fällen, und dessen Fusspunct betrachten, so hat dieser ebenfalls die
Coordinaten $x$~und~$y$, während seine dritte Coordinate Null ist.
Diesen Fusspunct wollen wir nun zum Mittelpuncte eines Systemes
von Polarcoordinaten in der Ebene nehmen, in welchem der Leitstrahl~$u$,
und der Winkel desselben mit der $x$-Axe $\phi$ heissen soll.
Dann können wir setzen:
\[
d\omega = u\, du\, d\phi,
\]
%% -----File: 083.png---Folio 69-------
und zugleich haben wir, wenn $\xi$~und~$\eta$ die rechtwinkligen Coordinaten
dieses Flächenelementes sind:
\begin{align*}
u &= \sqrt{(\xi - x)^2 + (\eta - y)^2}\\
r &= \sqrt{(\xi - x)^2 + (\eta - y)^2 + z^2}\\
  &= \sqrt{u^2 + z^2}
\end{align*}
und die Gleichung für~$V$ geht daher über in:
\[
\tag{96}
V = \epsilon h \iint \frac{u\, du\, d\phi}{\sqrt{u^2 + z^2}}.
\]

Hierin lässt sich die Integration nach $u$ sogleich ausführen.
Man hat nämlich allgemein:
\[
\int \frac{u\, du}{\sqrt{u^2 + z^2}} = \sqrt{u^2 + z^2}
\]
und es kommt nur darauf an, die den Umständen entsprechenden
Grenzwerthe in diese Formel einzusetzen. Dabei macht es einen
wesentlichen Unterschied, ob der Fusspunct des von $p$ auf die Ebene
gefällten Perpendikels \Emphasis{innerhalb} oder ausserhalb der mit dem Agens
bedeckten Figur liegt. Für unsere weiteren Betrachtungen ist nur
der Fall von Interesse, wo er innerhalb liegt, und diesen Fall
wollen wir daher voraussetzen.

Dann ist das Integral vom Anfangspuncte des Leitstrahles bis
zu seinem Durchschnittspuncte mit dem Umfange der Figur zu
nehmen, und wenn die Figur so gestaltet ist, dass der Leitstrahl
den Umfang mehrmals schneidet, was dann jedenfalls eine ungerade
Anzahl von Malen geschehen muss, so kommen noch die Stücke
vom zweiten bis zum dritten Durchschnitte, dann vom vierten bis
zum fünften Durchschnitte u.~s.~f.\ in Betracht. Nennen wir also
die den einzelnen Durchschnitten entsprechenden Werthe von $u$ der
Reihe nach $U_1$,~$U_2$~etc.\ und setzen ferner zur Abkürzung:
\[
R_1 = \sqrt{U_1^2 + z^2};\quad R_2 = \sqrt{U_2^2 + z^2} \text{ etc.}
\]
so kommt:
\[
v = \epsilon h \int (-\sqrt{z^2} + R_1 - R_2 + R_3 - \text{etc.})\, d\phi.
\]
%% -----File: 084.png---Folio 70-------
In dem ersten Gliede innerhalb der Klammer dürfen wir nicht einfach
$z$ an die Stelle von $\sqrt{z^2}$ setzen, weil diese Wurzel, welche
ein specieller Werth des Abstandes~$r$ ist, stets \Emphasis{positiv} sein muss,
während $z$ positive und negative Werthe haben kann. Ich werde
daher, um dieses anzudeuten, den Wurzelausdruck in der Formel
beibehalten.

Da die Grösse~$\sqrt{z^2}$ von~$\phi$ unabhängig ist, so können wir bei
diesem Gliede auch die zweite Integration ohne Weiteres ausführen,
und erhalten dadurch, indem das Integral von $0$ bis~$2\pi$ zu nehmen
ist:
\[
\tag{97}
V = -2\pi \epsilon h \sqrt{z^2}
    + \epsilon h \int(R_1 - R_2 + R_3 - \text{etc.})\, d\phi.
\]

Das hierin noch vorkommende Integral können wir in eine andere
Gestalt bringen, in welcher es für die beabsichtigten Differentiationen
geeignet ist. Wir führen dazu statt des Winkelelementes
$d\phi$ das zwischen seinen Schenkeln liegende Element~$ds$ des Umfanges
ein. Ist $i'$ der Cosinus des Winkels, welchen die auf $ds$
errichtete Normale mit dem Leitstrahle bildet, wobei die Normale
nach der Aussenseite des Umfanges, und der Leitstrahl nach der
Seite hin, wohin er wächst, betrachtet wird, so hat man:
\[
\tag{98}
\frac{i'}{U}\, ds = ± d\phi,
\]
worin, sofern die Elemente $ds$~und~$d\phi$ beide als positiv vorausgesetzt
werden, das obere oder das untere Vorzeichen zu nehmen
ist, jenachdem der Leitstrahl, indem er wächst, den Umfang von
innen nach aussen oder umgekehrt schneidet. Diese Vorzeichen
sind dieselben, wie die, mit welchen die in dem Integrale vorkommenden
Grössen $R_1$,~$R_2$, $R_3$~etc.\ behaftet sind. Wenn man daher
für irgend eins der Producte $±R\, d\phi$ das Product $\dfrac{R}{U}\, i'\, ds$ substituirt,
so muss man diesem letzteren äusserlich immer das Pluszeichen
geben. Da ferner in dem Integrale für jedes Winkelelement $d\phi$
gerade so viele verschiedene Werthe von $R$ vorkommen, als zu dem
Winkelelemente verschiedene Bogenelemente gehören, so bilden alle
Bogenelemente, die durch jene Substitution eingeführt werden,
%% -----File: 085.png---Folio 71-------
zusammen den ganzen Umfang der Figur. Demnach kann man
schreiben:
\[
\tag{99}
V = -2\pi \epsilon h \sqrt{z^2} + \epsilon h \int \frac{R}{U}\, i'\, ds,
\]
worin das Integral über den ganzen Umfang auszudehnen ist.\footnote
  {Der Vollständigkeit wegen will ich auch anführen, wie die Formel sich
  gestaltet, wenn der Fusspunct des von $p$ auf die Ebene gefällten Perpendikels
  ausserhalb der mit dem Agens bedeckten Figur liegt. In diesem Falle muss
  für jeden Leitstrahl, welcher die Figur überhaupt trifft, die Anzahl der Durchschnitte
  mit dem Umfange eine gerade sein, und die Integration nach $u$ in
  der Gleichung~(96) bezieht sich auf das Stück vom ersten bis zum zweiten
  Durchschnitte, dann, falls noch mehr Durchschnitte vorkommen, vom dritten
  bis zum vierten u.~s.~f. Man erhält daher statt der Gleichung~(97):
  \[
  \tag{a}
  V = \epsilon h \int(-R_1 + R_2 - \text{etc.})\, d\phi,
  \]
  worin die Integration nach $\phi$ sich nur über den Winkelraum erstreckt, welcher
  die Figur einschliesst. Wenn man in dieser Gleichung für das Winkelelement
  $d\phi$ das Bogenelement $ds$ einführt, so erhält man statt~(99):
  \[
  \tag{b}
  V = \epsilon h \int \frac{R}{U}\, i'\, ds.
  \]

  Sollte der Fusspunct in unmittelbarer Nähe des Umfanges liegen, so dass
  für gewisse Bogenelemente die Grösse~$U$ unendlich klein wird, so ist (mit
  Ausnahme des Falles, wo $z = 0$ ist, so dass $R$ mit $U$ zugleich verschwindet)
  die in den Ausdrücken (99)~und~(b) vorkommende Form des Integrals zur
  Ausführung der Rechnung nicht geeignet. Um sich jedoch einen Ueberblick
  davon zu verschaffen, welche Werthe das Integral in solchen Fällen annimmt,
  kann man die ursprünglichen Formen des Integrals, welche in (97)~und~(a)
  enthalten sind, betrachten. Wenn man sich dann den Fusspunct so bewegt
  denkt, dass er den Umfang der Figur von aussen nach innen durchschreitet,
  so findet man, dass der Werth, welchen das in~(97) vorkommende Integral an
  der Innenseite unendlich nahe am Umfange hat, um $2\pi \sqrt{z^2}$ grösser ist, als
  der Werth, welchen das in~(a) vorkommende Integral an der Aussenseite unendlich
  nahe am Umfange hat, und dass folglich der mit dem Durchschreiten
  des Umfanges verbundene plötzliche Uebergang von dem einen Integral zum
  anderen einer sprungweisen Werthzunahme des Integrals um $2\pi \sqrt{z^2}$ entspricht.
  Dadurch wird der Umstand, dass in der Gleichung~(97) das Product $2\pi \epsilon h \sqrt{z^2}$
  als ein mit dem Minuszeichen versehenes besonderes Glied vorkommt, während
  es in der Gleichung~(a) fehlt, ausgeglichen, so dass der ganze Werth von $V$
  keine sprungweise Aenderung erleidet.}
%% -----File: 086.png---Folio 72-------


\Section{29.}{Verhalten der Differentialcoefficienten erster Ordnung
der Potentialfunction.}

Wir wollen nun mit Hülfe der letzten Gleichung die Differentialcoefficienten
der Potentialfunction bilden.

Da die Grösse~$s$, nach welcher integrirt werden soll, von den
Coordinaten $x$,~$y$ und~$z$ des Punctes~$p$ unabhängig ist, so können
wir unter dem Integralzeichen differentiiren. Die Formeln von $U$,
$R$ und~$i'$, welche dazu angewandt werden müssen, lassen sich ohne
Weiteres hinschreiben. Bezeichnen wir die Coordinaten des Bogenelementes
$ds$ mit $\xi'$ und~$\eta'$ und die Cosinus der Winkel, welche die
auf dem Elemente errichtete Normale mit der $x$-~und $y$-Axe bildet,
mit $\alpha'$ und~$\beta'$, so kommt:
\[
\tag{100}
\left\{
\begin{aligned}
U  &= \sqrt{(\xi'-x)^2 + (\eta'-y)^2}\\
R  &= \sqrt{(\xi'-x)^2 + (\eta'-y)^2 + z^2}\\
i' &= \frac{(\xi'-x)\alpha' + (\eta'-y)\beta'}{U}
\end{aligned}
\right.
\]
Wenn man, wie wir es im Folgenden thun wollen, voraussetzt, dass
der Fusspunct des von $p$ gefällten Perpendikels in endlicher Entfernung
vom Umfange der Figur liegt, so sind $U$ und~$R$ für alle
bei der Integration vorkommenden Elemente \Emphasis{endliche} Grössen.

Differentiiren wir nun unter Berücksichtigung der vorigen
Gleichungen die Gleichung~(99) zuerst nach~$z$, so bekommen wir:
\[
\tag{101}
\frac{\partial V}{\partial z}
  = -2\pi\epsilon h\, \frac{z}{\sqrt{z^2}}
    + \epsilon h z \int \frac{i'}{RU}\, ds,
\]
worin der Bruch $\dfrac{z}{\sqrt{z^2}}$ gleich $+1$~oder~$-1$ ist, jenachdem $z$~positiv
oder negativ ist.

Die Hauptfrage in Bezug auf den für $\dfrac{\partial V}{\partial z}$ gefundenen Ausdruck
ist die, wie sich derselbe in unmittelbarer Nähe der mit dem
Agens bedeckten Fläche verhält. Lassen wir $z$ unendlich klein und
Null werden, so wird das zweite Glied des Ausdruckes, welches den
Factor~$z$ und ausserdem nur solche Factoren hat, die endlich bleiben,
ebenfalls unendlich klein und Null. Anders ist es mit dem
ersten Gliede. Dieses ist an der Seite der Fläche, wo $z$~positiv ist,
constant gleich $-2\pi \epsilon h$, und an der anderen Seite, wo $z$~negativ
%% -----File: 087.png---Folio 73-------
ist, constant $+2\pi\epsilon h$. Es ändert also seinen Werth in dem Moment,
wo $p$ die Fläche durchschreitet, sprungweise um~$4\pi\epsilon h$. Bezeichnen
wir die Grenzwerthe, denen $\dfrac{\partial V}{\partial z}$ sich nähert, wenn $p$ von
der positiven oder von der negativen Seite aus unendlich nahe an die
Fläche heranrückt, resp.\ mit $\left(\dfrac{\partial V}{\partial z}\right)_{+0}$ und $\left(\dfrac{\partial V}{\partial z}\right)_{-0}$\footnote
  {Man könnte gegen diese von mir angewandte und auch von \Person{Kötteritzsch},
  \Person{Riemann} u.~A. adoptirte Bezeichnung vielleicht einwenden, dass es
  sich nicht um den Fall handelt, wo der Abstand absolut Null und der Punct
  daher in der Fläche selbst gelegen ist, sondern um den, wo der Abstand unendlich
  klein wird; indessen glaube ich, dass schon das vor der Null stehende
  $+$~oder~$-$ Zeichen deutlich genug erkennen lässt, dass nicht einfach der Abstand
  Null gemeint ist, bei welchem das Vorzeichen keinen Sinn haben würde,
  sondern dass die Annäherung an den Abstand Null, welche von der positiven
  oder negativen Seite aus stattfinden kann, angedeutet werden soll. Diese Andeutung
  glaubte ich auf andere Art nicht eben so einfach machen zu können.}
so kommt:
\begin{align*}
\tag{102}
\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)_{+0}
  &= -2\pi\epsilon h;\quad
\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)_{-0}
   = +2\pi\epsilon h \\
%
\tag{103}
\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)_{+0}
  &- \left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)_{-0} = -4\pi\epsilon h.
\end{align*}

Die letztere Gleichung lässt sich, wie wir weiterhin sehen werden,
auch auf den allgemeinen Fall, wo die Fläche gekrümmt, und
die Vertheilung des Agens über dieselbe ungleichförmig ist, ausdehnen,
und bildet eine neue wichtige Eigenschaft der Potentialfunction.

Wir können nun die Gleichung~(99) ebenso unter Berücksichtigung
der Gleichungen~(100) nach $x$ und~$y$ differentiiren. Führen
wir dieses zuerst nach $x$ aus, so erhalten wir:
\[
\tag{104}
\frac{\partial V}{\partial x}
  = \epsilon h \int
    \left[\frac{(R^2 + z^2)(\xi' - x)}{RU^3}i' - \frac{R}{U^2}\, \alpha' \right] ds.
\]
Dieser Ausdruck lässt sich in eine einfachere Form bringen. Es
ist nämlich:
\[
\frac{R}{U^2} = \frac{R^2}{RU^2}
  = \frac{U^2 + z^2}{RU^2} = \frac{1}{R} + \frac{z^2}{RU^2},
\]
und wenn man dieses in dem zweiten unter dem Integralzeichen
stehenden Gliede einsetzt, so kann man schreiben:
%% -----File: 088.png---Folio 74-------
\[
\tag{105}
\frac{\partial V}{\partial x}
  = -\epsilon h \int \frac{\alpha'}{R}\, ds
   + \epsilon h \int
     \left[\frac{(R^2 + z^2)(\xi' - x)}{RU^3}i' - \frac{z^2}{RU^2}\alpha'\right] ds.
\]

Es lässt sich nun der Satz beweisen, dass das hierin vorkommende
zweite Integral \Emphasis{für jede geschlossene Curve Null
ist}. Da dieser Beweis nicht ganz kurz ist, und daher den Gang
der Auseinandersetzung an dieser Stelle in einer die Uebersichtlichkeit
störenden Weise unterbrechen würde, so will ich ihn in einem
Zusatze führen.\footnote
  {Siehe \Emphasis{Zusatz}~II. am Ende des Buches.}
Unter Voraussetzung dieses Satzes bleibt von
der rechten Seite der vorstehenden Gleichung nur das erste Glied
übrig. Da der Differentialcoefficient nach $y$ ganz dieselbe Behandlungsweise
zulässt, so können wir die beiden sich ergebenden Ausdrücke
gleich zusammenschreiben:
\[
\tag{106}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\partial V}{\partial x} &= -\epsilon h \int \frac{\alpha'}{R}\, ds\\
\frac{\partial V}{\partial y} &= -\epsilon h \int \frac{\beta'}{R}\, ds.
\end{aligned}
\right.
\]

Man sieht sogleich, dass diese Ausdrücke sich, wenn $p$ an die
Fläche heranrückt und sie durchschreitet, nirgends sprungweise
ändern, und dass sie daher auch anwendbar sind, wenn $p$ in der
Fläche selbst liegt.

Nachdem für die drei Coordinatenrichtungen, deren eine als
senkrecht zur Ebene und die beiden anderen als parallel der Ebene
vorausgesetzt wurden, die Differentialcoefficienten bestimmt sind,
kann man sofort auch den Differentialcoefficienten nach irgend
einer anderen Richtung bilden.

Es sei durch $p$ eine beliebige Gerade gezogen, in welcher wir
uns $p$ beweglich denken wollen. Der Abstand des Punctes~$p$ von
demjenigen Puncte, wo die Gerade die Ebene schneidet, und zwar
nach der einen Seite positiv und nach der andern negativ gerechnet,
sei mit $l$ bezeichnet, dann ist es der Differentialcoefficient $\dfrac{\partial V}{\partial l}$,
um den es sich handelt. Die Beziehung zwischen diesem Differentialcoefficienten
$\dfrac{\partial V}{\partial l}$ und den auf die Coordinatenrichtungen bezüglichen
Differentialcoefficienten $\dfrac{\partial V}{\partial x}$, $\dfrac{\partial V}{\partial y}$, $\dfrac{\partial V}{\partial z}$ bestimmt sich ebenso,
%% -----File: 089.png---Folio 75-------
wie die in §~3 besprochene Beziehung zwischen $\dfrac{\partial U}{\partial s}$ und $\dfrac{\partial U}{\partial x}$, $\dfrac{\partial U}{\partial y}$,
$\dfrac{\partial U}{\partial z}$. Wir schreiben nämlich zunächst:
\[
\frac{\partial V}{\partial l}
  = \frac{\partial V}{\partial x}\, \frac{\partial x}{\partial l}
  + \frac{\partial V}{\partial y}\, \frac{\partial y}{\partial l}
  + \frac{\partial V}{\partial z}\, \frac{\partial z}{\partial l}.
\]
Nun ist aber, wenn $\phi$,~$\psi$,~$\theta$ die Winkel bedeuten, welche die Gerade~$l$
mit den Coordinatenrichtungen bildet, zu setzen:
\[
\frac{\partial x}{\partial l} = \cos{\phi};\quad
\frac{\partial y}{\partial l} = \cos{\psi};\quad
\frac{\partial z}{\partial l} = \cos{\theta},
\]
und dadurch geht die vorige Gleichung über in:
\[
\tag{107}
\frac{\partial V}{\partial l}
  = \frac{\partial V}{\partial x}\cos{\phi}
  + \frac{\partial V}{\partial y}\cos{\psi}
  + \frac{\partial V}{\partial z}\cos{\theta},
\]
und es lässt sich somit, nachdem die drei Differentialcoefficienten
$\dfrac{\partial V}{\partial x}$, $\dfrac{\partial V}{\partial y}$ und $\dfrac{\partial V}{\partial z}$ bestimmt sind, der auf eine beliebige andere Richtung
bezügliche Differentialcoefficient ohne Weiteres hinschreiben.

Fragen wir insbesondere, wie der Differentialcoefficient $\dfrac{\partial V}{\partial l}$
sich ändert, wenn der Punct~$p$ die Fläche durchschreitet, so können
wir folgende Gleichung bilden:
\[
\left(\frac{\partial V}{\partial l}\right)_{+0} -
\left(\frac{\partial V}{\partial l}\right)_{-0} =
\left\{
\begin{aligned}
 & \left[ \left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)_{+0}
        - \left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)_{-0}\right] \cos{\phi}\\
%
+& \left[ \left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)_{+0}
        - \left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)_{-0}\right] \cos{\psi}\\
%
+& \left[ \left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)_{+0}
        - \left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)_{-0}\right] \cos{\theta}\\
\end{aligned}
\right\}
\]
Nun haben wir vorher gesehen, \DPtypo{das}{dass} die Differentialcoefficienten
$\dfrac{\partial V}{\partial x}$ und $\dfrac{\partial V}{\partial y}$ beim Durchschreiten der Fläche keine sprungweise
Aenderung erleiden, und demgemäss sind die in den beiden ersten
eckigen Klammern stehenden Differenzen gleich Null. Die in der
dritten eckigen Klammer stehende Differenz haben wir zu $-4\pi \epsilon h$
bestimmt. Wir erhalten also für den Differentialcoefficienten, welcher
nach einer Richtung genommen ist, die mit der auf der Fläche
errichteten Normale den Winkel~$\theta$ bildet, folgende Gleichung:
\[
\tag{108}
\left(\frac{\partial V}{\partial l}\right)_{+0} -
\left(\frac{\partial V}{\partial l}\right)_{-0} = -4\pi \epsilon h \cos{\theta}.
\]
%% -----File: 090.png---Folio 76-------


\Section{30.}{Formeln, zu welchen man gelangt, wenn man den in
Gleichung~(95) gegebenen Ausdruck der
Potentialfunction differentiirt.}

Im vorigen~§ sind die Differentialcoefficienten der Potentialfunction
einer gleichförmig mit dem Agens bedeckten ebenen Figur
nicht unmittelbar aus dem ersten, in Gleichung~(95) gegebenen
Ausdrucke der Potentialfunction abgeleitet, sondern vielmehr aus
dem in Gleichung~(99) gegebenen, welcher aus jenem ersten dadurch
entstanden war, dass wir die Integration nach $u$ vollzogen,
und dann statt des Winkelelementes $d\phi$ das Element des Umfanges
$ds$ eingeführt hatten.

Wir wollen nun aber noch einmal zu der Gleichung~(95),
nämlich:
\[
V = \epsilon h \int \frac{d\omega}{r},
\]
zurückkehren, um zu sehen, zu was für Formeln wir gelangen,
wenn wir diese Gleichung differentiiren. Berücksichtigt man, dass
zu setzen ist:
\[
r = \sqrt{(\xi - x)^2 + (\eta - y)^2 + z^2},
\]
so erhält man durch die Differentiationen:
\[
\tag{109}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\partial V}{\partial x}
  &= \epsilon h \int \frac{\xi-x}{r^3}\, d\omega\\
\frac{\partial V}{\partial y}
  &= \epsilon h \int \frac{\eta-y}{r^3}\, d\omega\\
\frac{\partial V}{\partial z}
  &= -\epsilon h \int \frac{z}{r^3}\, d\omega.\\
\end{aligned}
\right.
\]
Zu denselben Formeln, nur mit entgegengesetzten Vorzeichen, gelangt
man auch, wenn man direct die Kraftcomponenten $X$,~$Y$ und~$Z$
bestimmt.

Denken wir uns nun in diesen Formeln den durch die Coordinate~$z$
bestimmten Abstand des Punctes~$p$ von der Ebene unendlich
klein und Null werdend, so wird für diejenigen Flächenelemente,
welche den Fusspunct des von $p$ auf die Ebene gefällten Perpendikels
%% -----File: 091.png---Folio 77-------
zunächst umgeben, für welche also die Grössen $\xi-x$ und
$\eta-y$ unendlich klein werden, auch die in den Nennern stehende
Grösse~$r$ unendlich klein. Da nun $r$ in den Nennern in der dritten
Potenz vorkommt, während die Zähler die Grössen $\xi-x$, $\eta-y$
und~$z$ nur in der ersten Potenz enthalten, so werden die Brüche
unendlich gross, und die Integrale sind somit in der vorstehenden
Form für den Fall, wo $z$ unendlich klein oder Null ist, nicht anwendbar.
Es fragt sich nun, ob wir die Integrale so umgestalten
können, dass die zu integrirende Function endlich bleibt.

Bei dem letzten Integrale, durch welches der Differentialcoefficient
$\dfrac{\partial V}{\partial z}$ bestimmt wird, ist dieses leicht ausführbar, und wir
können dadurch die schon im vorigen~§ gefundene Gleichung~(103)
in anderer Weise, als dort geschehen ist, ableiten. Es wird vielleicht
nicht ohne Nutzen sein, die Ableitung auch auf diesem Wege
durchzuführen, weil der in jener Gleichung ausgesprochene wichtige
Satz dadurch noch anschaulicher wird.

Die Grösse $-\dfrac{z}{r}$ stellt den Cosinus des Winkels dar, welchen
der von $p$ nach dem Flächenelemente $d\omega$ gezogene Leitstrahl mit
der $z$-Axe bildet. Da nun die Normale des Elementes mit der
$z$-Axe parallel ist, so können wir auch sagen, $-\dfrac{z}{r}$ sei der Cosinus
des Winkels zwischen Leitstrahl und Normale. Bezeichnen wir
diesen Cosinus, wie der in §~19 u.~f.\ geschehen ist, mit~$i$, so lautet
die letzte der Gleichungen~(109):
\[
\frac{\partial V}{\partial z} = \epsilon h \int \frac{i}{r^2}\, d\omega.
\]
Bezeichnen wir ferner, wie es ebenfalls in jenen~§§ geschehen ist,
den körperlichen Winkel der unendlichen schmalen Pyramide, welche
den Punct~$p$ als Spitze und das Flächenelement $d\omega$ als Grundfläche
hat, mit~$d\sigma$, so gilt die Gleichung:
\[
d\sigma = ± \frac{i}{r^2}\, d\omega.
\]
Hierin ist das $+$~Zeichen zu setzen, wenn $p$ an der negativen Seite
der Ebene liegt, und der von $p$ ausgehende Leitstrahl somit die
Ebene von der negativen zur positiven Seite durchschneidet, so
%% -----File: 092.png---Folio 78-------
dass der mit $i$ bezeichnete Cosinus positiv ist; \DPtypo{dagen}{dagegen} das $-$~Zeichen,
wenn $p$ an der positiven Seite der Ebene liegt.

Im ersteren Falle, wo $p$ an der negativen Seite der Ebene
liegt, geht durch Einführung von $d\sigma$ die obige Gleichung über in
\[
\tag{110}
\frac{\partial V}{\partial z} = \epsilon h \int d\sigma,
\]
und hierin stellt das Integral den ganzen körperlichen Winkel dar,
unter welchem die gegebene Figur vom Puncte~$p$ aus erscheint.
Im zweiten Falle, wo $p$ an der positiven Seite der Ebene liegt,
erhält man:
\[
\tag{110a.}
\frac{\partial V}{\partial z} = -\epsilon h \int d\sigma,
\]
worin wiederum das Integral den körperlichen Winkel darstellt,
unter welchem die Figur von der jetzigen Lage des Punctes~$p$ aus
erscheint. Denkt man sich nun, dass der Punct~$p$ an der einen
oder anderen Seite unendlich nahe an die Ebene heranrücke, so
nimmt in beiden Fällen der körperliche Winkel den Werth~$2\pi$ an,
und wir haben also zu setzen:
\[
\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)_{-0} =  2\pi\epsilon h;\quad
\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)_{+0} = -2\pi\epsilon h,
\]
woraus sich durch Subtraction ergiebt:
\[
\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)_{+0} -
\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)_{-0} = -4\pi\epsilon h.
\]

Weniger einfach macht sich die Sache bei den ersten beiden
der drei Gleichungen~(109). Wollten wir, wie vorher, statt des
Flächenelementes $d\omega$ das Element des körperlichen Winkels~$d\sigma$
einführen, so würden wir erhalten:
\[
\frac{\partial V}{\partial x} = \epsilon h \int ±\frac{\xi - x}{ri}\, d\sigma;\quad
\frac{\partial V}{\partial y} = \epsilon h \int ±\frac{\eta- y}{ri}\, d\sigma,
\]
welche Ausdrücke für den Fall, wo $z$ endlich klein oder Null ist,
unbrauchbar sind, weil dann unter den Elementen~$d\sigma$ solche vorkommen,
für welche die im Nenner stehende Grösse~$i$ unendlich
klein oder Null wird. Wollten wir andererseits, wie es in §~28
%% -----File: 093.png---Folio 79-------
geschehen ist, die Polarcoordinaten $u$~und~$\phi$ um den Fusspunct des
Perpendikels einführen, so würden wir erhalten:
\[
\frac{\partial V}{\partial x} = \epsilon h \iint \frac{u^2\cos\phi}{r^3}\, du\, d\phi; \quad
\frac{\partial V}{\partial y} = \epsilon h \iint \frac{u^2\sin\phi}{r^3}\, du\, d\phi,
\]
worin zugleich zu setzen wäre:
\[
r = \sqrt{u^2 + z^2}.
\]
In diesen Ausdrücken wird, wenn $z$ unendlich klein oder Null ist,
für unendlich kleine Werthe von $u$ der Nenner ein unendlich kleines
von höherer Ordnung, als Zähler, und die Ausdrücke sind daher
ebenfalls für unseren Zweck nicht dienlich.

Aus diesen Gründen habe ich den unter~(95) gegebenen Ausdruck
der Potentialfunction in den unter~(99) gegebenen umgeformt,
in welchem nur noch ein nach dem Umfange zu nehmendes
Integral vorkommt, und dann erst habe ich die Differentiationen
ausgeführt.


\Section{31.}{Verhalten der Differentialcoefficienten zweiter Ordnung
der Potentialfunction.}

Es ist noch von Interesse, zu erfahren, wie sich unter der gemachten
Voraussetzung, dass das wirksame Agens nur über eine
\Emphasis{Fläche} verbreitet ist, die Gleichung $\Delta V=0$ verhält. Da sich
unter dieser Voraussetzung auf einer endlichen Fläche eine endliche
Menge des Agens befindet, die mathematische Fläche aber, wenn
man ihre Grösse so bestimmen will, dass man sie als einen Theil
des körperlichen Raumes betrachtet, gleich Null zu setzen ist, so
folgt daraus, dass die Dichtigkeit des Agens, wenn man sie nicht
als Flächendichtigkeit, sondern in dem gewöhnlichen Sinne als
Raumdichtigkeit auffasst, unendlich gross ist, und es entsteht daher
die Frage, ob unter diesen Umständen jene Gleichung bis in
unmittelbarer Nähe der Fläche gültig bleibt.

Wir bilden dazu die zweiten Differentialcoefficienten der Potentialfunction,
welche in $\Delta V$ vorkommen. Aus Gleichung~(101)
ergiebt sich, da der Bruch~$\dfrac{z}{\sqrt{z^2}}$ an der einen oder anderen Seite
der Ebene bis an diese selbst hinan constant ist:
%% -----File: 094.png---Folio 80-------
\begin{align*}
\tag{111}
\frac{\DPtypo{\partial}{\partial^2} V}{\partial z^2}
  &= \epsilon h \int \frac{i'}{RU}\, ds
   - \epsilon h z^2 \int \frac{i'}{R^3U}\, ds \\
  &= \epsilon h \int \frac{R^2 - z^2}{R^3U}\, i'\, ds \\
  &= \epsilon h \int \frac{U}{R^3}\, i'\, ds.
\end{align*}
Ferner ergiebt sich aus den Gleichungen~(106):
\[
\tag{112}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\partial^2 V}{\partial x^2}
  &= -\epsilon h \int \frac{\xi' - x}{R^3}\, \alpha'\, ds \\
\frac{\partial^2 V}{\partial y^2}
  &= -\epsilon h \int \frac{\eta' - y}{R^3}\, \beta'\, ds.
\end{aligned}
\right.
\]
und somit:
\begin{align*}
\tag{113}
\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2}
  &= -\epsilon h \int \frac{(\xi' - x)\alpha'+(\eta' - y)\beta'}{R^3}\, ds\\
  &= -\epsilon h \int \frac{U}{R^3}\, i'\, ds.
\end{align*}
Dieser letzte Ausdruck ist dem in~(111) für $\dfrac{\partial^2 V}{\partial z^2}$ gefundenen gleich
und entgegengesetzt, und beide heben sich somit bei der Addition
auf, und man erhält:
\[
\Delta V = 0.
\]

Diese Gleichung gilt hiernach an beiden Seiten der Fläche bis
dicht an sie hinan.

Will man statt des bisher benutzten Coordinatensystems $x$,~$y$,~$z$,
dessen $z$-Axe auf der Ebene senkrecht steht, ein anderes rechtwinkliges
Coordinatensystem $x_1$,~$y_1$,~$z_1$ anwenden, so kann man
durch eine ähnliche Betrachtung, wie sie am Ende des §~29 vorkam,
jeden der drei Differentialcoefficienten
\[
\frac{\partial^2 V}{\partial x_1^2},\quad
\frac{\partial^2 V}{\partial y_1^2},\quad
\frac{\partial^2 V}{\partial z_1^2}
\]
durch die sechs Differentialcoefficienten
%% -----File: 095.png---Folio 81-------
\[
\frac{\partial^2 V}{\partial x^2},\quad
\frac{\partial^2 V}{\partial y^2},\quad
\frac{\partial^2 V}{\partial z^2},\quad
\frac{\partial^2 V}{\partial x\, \partial y},\quad
\frac{\partial^2 V}{\partial x\, \partial z},\quad
\frac{\partial^2 V}{\partial y\, \partial z}
\]
ausdrücken, von denen auch die drei letzten endliche Grössen sind,
welche sich leicht aus~(106) ableiten lassen. Durch Addition der
Ausdrücke ergiebt sich dann sofort, dass
\[
\frac{\partial^2 V}{\partial x_1^2} +
\frac{\partial^2 V}{\partial y_1^2} +
\frac{\partial^2 V}{\partial z_1^2}
=
\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} +
\frac{\partial^2 V}{\partial y^2} +
\frac{\partial^2 V}{\partial z^2}
\]
sein muss. Der Schluss, dass die Gleichung $\Delta V = 0$ auch bei unendlicher
Annäherung an die Fläche gültig bleibt, ist also von der
Wahl des Coordinatensystemes unabhängig.

In der Fläche selbst ist die Gleichung nicht anwendbar, weil
hier die Grösse~$\dfrac{z}{\sqrt{z^2}}$ eine sprungweise Aenderung erleidet.


\Section{32.}{Betrachtung einer gleichförmig mit Agens bedeckten
Kugelfläche.}

Es wird vielleicht nicht unzweckmässig sein, an die gleichförmig
mit Agens bedeckte ebene Figur noch einen anderen speciellen
Fall, nämlich die gleichförmig mit Agens bedeckte Kugelfläche
anzuschliessen, weil diese sich besonders leicht behandeln lässt.

Für eine solche Kugelfläche haben wir nämlich schon in §~12
die innere und äussere Potentialfunction $V_i$~und~$V_e$ bestimmt. Wenn
$a$ den Radius der Kugelfläche und $\rho$ den Abstand des Punctes~$p$
von ihrem Mittelpuncte bedeutet, so können wir gemäss der dort
unter~(35) gegebenen Gleichungen setzen:
\begin{align*}
V_i &= 4 \pi \epsilon h a  \\
V_e &= 4 \pi \epsilon h \frac{a^2}{\rho}.
\end{align*}
Da nun die Gerade, deren Länge durch $\rho$ dargestellt wird, auf der
Kugelfläche senkrecht ist, so ist, wenn wir die Normale auf der
Fläche nach Aussen hin als positiv rechnen, der nach $\rho$ genommene
Differentialcoefficient zugleich der nach der Normale genommene
Differentialcoefficient, und zwar haben wir an der für die Normale
positiven Seite den Differentialcoefficienten von $V_e$ und an der
%% -----File: 096.png---Folio 82-------
negativen Seite den von $V_i$ zu nehmen. Betrachten wir von diesen
beiden Differentialcoefficienten die in unmittelbarer Nähe der Fläche
geltenden Werthe, so können wir, wenn wir die Normale mit $n$
bezeichnen, setzen:
\[
\left(\frac{\partial V}{\partial n}\right)_{+0}
  = \left(\frac{dV_e}{d\rho}\right)_{\rho=a};\quad
%
\left(\frac{\partial V}{\partial n}\right)_{-0}
  = \left(\frac{dV_i}{d\rho}\right)_{\rho=a}.
\]
Der letztere Differentialcoefficient ist Null, weil $V_i$ constant ist,
der erstere dagegen giebt:
\[
\left(\frac{dV_e}{d\rho}\right)_{\rho=a}
  = -4\pi\epsilon h\left(\frac{a^2}{\rho^2}\right)_{\rho=a}
  = -4\pi\epsilon h.
\]
Folglich erhält man:
\[
\left(\frac{\partial V}{\partial n}\right)_{+0} -
\left(\frac{\partial V}{\partial n}\right)_{-0} = -4\pi\epsilon h,
\]
welches die in §~29 unter~(103) gegebene Gleichung ist.

Um nun auch nach anderen Richtungen, \zB\ nach den Coordinatenrichtungen
eines beliebigen rechtwinkligen Coordinatensystems
differentiiren zu können, brauchen wir nur zu berücksichtigen, dass
für $\rho$ folgender Ausdruck gilt:
\[
\rho = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2},
\]
worin $x_0$,~$y_0$,~$z_0$ die Coordinaten des Mittelpunctes der Kugelfläche
bedeuten. Dann erhalten wir:
\[
\frac{\partial V_e}{\partial x}
  = \frac{dV_e}{d\rho}\, \frac{\partial \rho}{\partial x}
  = -4\pi\epsilon h\, \frac{a^2}{\rho^2}\, \frac{x - x_0}{\rho}.
\]
Setzen wir hierin $\rho = a$ und bezeichnen zugleich den Winkel zwischen
der $x$-Richtung und der Richtung von~$\rho$, welche zugleich die
Richtung der Normale ist, mit~$\theta$, so kommt:
\[
\left(\frac{\partial V_e}{\partial x}\right)_{\rho=a} = - 4 \pi \epsilon h \cos \theta.
\]
Um diese Gleichung mit der früher gegebenen entsprechenden Gleichung
auch der Form nach in Uebereinstimmung zu bringen, denken
wir uns durch den betreffenden Punct der Oberfläche, dessen Coordinaten
$\xi$,~$\eta$,~$\zeta$ heissen mögen, eine Gerade parallel der $x$-Axe gezogen,
und bezeichnen für einen auf dieser Geraden beweglichen
Punct die Differenz $x - \xi$ mit~$l$. Dann können wir, indem wir
%% -----File: 097.png---Folio 83-------
die Aussenseite der Fläche als die positive betrachten, setzen:
\[
\left(\frac{\partial V}{\partial l}\right)_{+0}
  = \left(\frac{\partial V_e}{\partial x}\right)_{\rho=a}
  = -4\pi\epsilon h \cos \vartheta.
\]
Zugleich ist:
\[
\left(\frac{\partial V}{\partial l}\right)_{-0}
  = \left(\frac{\partial V_i}{\partial x}\right)_{\rho=a}
  = 0,
\]
und es kommt somit
\[
\left(\frac{\partial V}{\partial l}\right)_{+0} -
\left(\frac{\partial V}{\partial l}\right)_{-0}
  = -4\pi\epsilon h \cos\vartheta,
\]
welches die in §~29 unter~(108) gegebene Gleichung ist.

Was ferner die Differentialcoefficienten zweiter Ordnung nach
den Coordinaten anbetrifft, so erkennt man sofort, dass innerhalb
und ausserhalb bis dicht an die Fläche hinan die Gleichungen
$\Delta V_i = 0$ und $\Delta V_e = 0$ gelten.


\Section{33.}{Betrachtung einer beliebig gekrümmten Fläche, in
welcher die Dichtigkeit des Agens nicht
constant zu sein braucht.}

Wir wenden uns nun zur Betrachtung des allgemeinen Falles,
\Emphasis{wo die Fläche welche das Agens enthält, beliebig gekrümmt
und die Vertheilung des Agens ungleichförmig
ist}; indessen wollen wir nicht alle für die einfacheren Fälle gemachten
Entwickelungen auch hier durchführen, sondern uns darauf
beschränken, den in §~29 und im vorigen~§ gefundenen, durch
die Gleichung~(103) ausgedrückten Satz allgemein zu beweisen.
Wir können denselben folgendermaassen aussprechen. In irgend
einem Puncte~$P$ der Fläche sei eine Normale errichtet; in dieser
denken wir uns den Punct~$p$ beweglich und bezeichnen seinen Abstand
vom Fusspuncte~$P$ der Normale mit~$n$, wobei diese Grösse
an der einen Seite der Fläche als positiv und an der anderen als
negativ gerechnet wird. Dann ist:
\[
\tag{III.}
\left(\frac{\partial V}{\partial n}\right)_{+0} -
\left(\frac{\partial V}{\partial n}\right)_{-0}
  = -4\pi\epsilon h,
\]
%% -----File: 098.png---Folio 84-------
worin die Indices $+0$~und~$-0$ die Grenzwerthe andeuten sollen,
denen $\dfrac{dV}{dn}$ sich nähert, wenn der Punct~$p$ von der positiven oder
negativen Seite aus unendlich nahe an die Fläche hinanrückt, und
$h$ den Werth bedeutet, welchen die für einen beliebigen Punct mit
$h'$ bezeichnete Flächendichtigkeit in dem Puncte~$P$ hat, wo die
Normale errichtet ist.

Die Entwickelungen, welche für den Beweis dieses Satzes
nöthig sind, sind in vieler Beziehung den in §~24 enthaltenen ähnlich.
Wir legen wieder im Puncte~$P$ an die Fläche eine Tangentialebene,
und nehmen diese zur $xy$-Ebene unseres Coordinatensystemes,
und die Normale zur $z$-Axe, so dass $\dfrac{\partial V}{\partial n}$ und~$\dfrac{\partial V}{\partial z}$ gleichbedeutend
sind. Wir brauchen auch hier von der Fläche nur ein
sehr kleines aber endliches Stück um $P$ speciell zu betrachten.
Nennen wir nämlich die Potentialfunction dieses kleinen Stückes
für sich allein $V_1$ und die Potentialfunction der gesammten übrigen
Fläche~$V_2$, so dass
\[
V = V_1 + V_2
\]
ist, so sind für $\dfrac{\partial V_2}{\partial n}$ die in der vorigen Gleichung enthaltenen Grenzwerthe
unter einander gleich, da dieser Differentialcoefficient im
Puncte~$P$ keine Unterbrechung der Stetigkeit erleiden kann. Es
ist also:
\[
\left(\frac{\partial V_2}{\partial n}\right)_{+0} -
\left(\frac{\partial V_2}{\partial n}\right)_{-0} = 0,
\]
und wenn daher bewiesen werden kann, dass die Gleichung:
\[
\tag{114}
\left(\frac{\partial V_1}{\partial n}\right)_{+0} -
\left(\frac{\partial V_1}{\partial n}\right)_{-0}
  = -4\pi\epsilon h
\]
gilt, so ist damit auch die Gleichung~(III.) bewiesen.

Wenn für ein Flächenelement $d\omega$ bei dem Puncte $(\xi, \eta, \zeta)$,
wo die Dichtigkeit~$h'$ stattfindet, der Abstand vom Puncte~$p$ mit $r$
bezeichnet wird, indem
\[
r = \sqrt{\xi^2 + \eta^2 + (\zeta-z)^2}
\]
ist, so hat man:
%% -----File: 099.png---Folio 85-------
\[
\tag{115}
V_1 = \epsilon \int \frac{h'}{r}\, d\omega,
\]
worin die Integration über das betrachtete kleine Flächenstück auszudehnen
ist. Hierin wollen wir statt $h'$ den gleichbedeutenden
Ausdruck:
\[
h\gamma + \left(\frac{h'}{\gamma} - h\right)\gamma
\]
schreiben, worin~$\gamma$, wie in §~24, den Cosinus des Winkels bedeutet,
welchen die auf $d\omega$ errichtete Normale mit der $z$-Axe bildet, eine
Grösse, die bei $P$ selbst gleich~$1$ und in der Nähe von $P$ wenig
von $1$ abweichend ist. Dadurch kommt:
\[
V_1 = \epsilon h \int \frac{\gamma}{r}\, d\omega
    + \epsilon \int \left(\frac{h'}{\gamma} - h\right) \frac{\gamma}{r}\, d\omega,
\]
woraus wir durch Differentiation erhalten:
\[
\frac{\partial V_1}{\partial z}
  = \epsilon h \int \frac{(\zeta-z)\gamma}{r^3}\, d\omega
  + \epsilon \int \left(\frac{h'}{\gamma} - h\right) \frac{(\zeta-z)\gamma}{r^3}\, d\omega.
\]
Ferner ist, wenn die Cosinus der Winkel, welche die vorher erwähnte
Normale auf $d\omega$ mit der $x$-~und $y$-Axe und mit dem Leitstrahl~$r$
bildet, $\alpha$,~$\beta$ und~$i$ heissen:
\begin{align*}
i &= \frac{\xi\alpha + \eta\beta + (\zeta-z)\gamma}{r}\\
\frac{(\zeta-z)\gamma}{r} &= i - \frac{\xi\alpha + \eta\beta}{r},
\end{align*}
und die vorige Gleichung geht daher über in:
{\small%
\[
\tag{116}
\frac{\partial V_1}{\partial z}
  = \epsilon h \int \frac{i}{r^2}\, d\omega
  + \epsilon h \int \frac{-\xi\alpha - \eta\beta}{r^3}\, d\omega
  + \epsilon \int \left(\frac{h'}{\gamma} - h\right) \frac{(\zeta-z)\gamma}{r^3}\, d\omega.
\]}%
Die drei hierin vorkommenden Integrale wollen wir zur Abkürzung
durch die Buchstaben $E$,~$F$ und~$G$ bezeichnen, so dass die Gleichung
lautet:
\[
\tag{116a.}
\frac{\partial V_1}{\partial z}
  = \epsilon h\, E + \epsilon h\, F + \epsilon\, G.
\]
%% -----File: 100.png---Folio 86-------
Die beiden letzten dieser Integrale erlauben eine andere Behandlung,
als das erste, weil in ihnen die zu integrirenden Functionen
Factoren enthalten, welche beim Puncte~$P$ gleich Null werden, was
in dem ersten nicht der Fall ist. Wir wollen daher das Integral~$E$
gesondert und dann die Integrale $F$~und~$G$ gemeinsam betrachten.


\Section{34.}{Verhalten der Grösse $E$.}

Wir führen in $E$ statt des Flächenelementes $d\omega$, wie in §~24,
das Element~$d\sigma$ des körperlichen Winkels ein, und erhalten:
\[
E = \int ± d\sigma.
\]
Um die Wahl des Vorzeichens einfach ausdrücken zu können, wollen
wir die beiden Seiten der Fläche, nach welchen die Normale~$n$ positiv
und negativ gerechnet wird, kurz die positive und negative
Seite der Fläche nennen. Dann ist, wenn der von $p$ nach $d\omega$ gezogene
Leitstrahl, indem er wächst, die Fläche von der negativen
zur positiven Seite durchschneidet, $d\sigma$ mit dem Pluszeichen zu nehmen,
im anderen Falle mit dem Minuszeichen.

Wenn daher p sich in dem \Emphasis{negativen} Theile der Normale~$n$
befindet, so gilt für den ersten Durchschnitt irgend einer Elementarpyramide
mit der Fläche das Pluszeichen, für den zweiten,
falls die Fläche so gekrümmt ist, dass zwei Durchschnitte vorkommen,
das Minuszeichen u.~s.~f. Daraus folgt, wie man leicht sieht,
dass das ganze Integral \Emphasis{den körperlichen Winkel darstellt,
unter welchem der Umfang des betrachteten Flächenstückes
von $p$ aus erscheint}, und zwar ist von den beiden
körperlichen Winkeln, in welche der ganze Winkelraum durch die
von $p$ aus durch den Umfang gelegte Kegelfläche getheilt wird,
derjenige zu nehmen, in welchem der Fusspunct~$P$ der Normale
liegt.

Befindet sich $p$ in dem \Emphasis{positiven} Theile der Normale, so ist
bei jeder Elementarpyramide für den ersten Durchschnitt das Minuszeichen,
für den zweiten das Pluszeichen u.~s.~f.\ anzuwenden, wodurch
das ganze Integral eine \Emphasis{negative} Grösse wird. Der absolute
Werth dieser Grösse stellt wieder den körperlichen Winkel dar,
unter welchem der Umfang des Flächenstückes von $p$ aus erscheint,
und zwar ebenfalls denjenigen der beiden in Betracht kommenden
%% -----File: 101.png---Folio 87-------
Winkel, in welchem der Fusspunct~$P$ liegt. Aus dem letzteren
Umstande folgt, dass in diesem Falle der körperliche Winkel nach
der entgegengesetzten Seite zu nehmen ist, als im vorigen. Denkt
man sich also zwei Lagen von $p$ zu beiden Seiten des Fusspunctes~$P$,
aber beide unendlich nahe demselben, und somit auch unter
einander unendlich nahe, so erhält man für diese beiden Lagen
zwei körperliche Winkel, welche sich zu $4\pi$ ergänzen. Demnach
können wir, wenn wir für den Fall, wo der Punct~$p$ an der negativen
Seite liegt, den körperlichen Winkel mit $\sigma_1$ bezeichnen,
schreiben:
\begin{align*}
E_{-0} &= \sigma_1\\
E_{+0} &= -(4\pi-\sigma_1).
\end{align*}

Bilden wir nun die Differenz $E_{+0} - E_{-0}$, so hebt sich darin
die einmal mit dem $+$~Zeichen und einmal mit dem $-$~Zeichen vorkommende
Grösse~$\sigma_1$ auf, und es bleibt:
\[
\tag{117}
E_{+0} - E_{-0} = -4\pi.
\]


\Section{35.}{Verhalten der Grössen $F$~und~$G$.}

Wir betrachten nun die beiden anderen in der Gleichung~(116)
vorkommenden Integrale $F$~und~$G$. Diese lauten:
\[
\tag{118}
\left\{
\begin{aligned}
F &= \int \frac{-\xi\alpha - \eta\beta}{r^3}\, d\omega\\
G &= \int \left( \frac{h'}{\gamma} - h \right) \frac{\zeta-z}{r^3}\, \gamma\, d\omega.
\end{aligned}
\right.
\]
Es soll nun bewiesen werden, dass diese Integrationen bestimmt
ausführbar sind und dass, wenn $z$ von einem kleinen negativen
Werthe durch Null zu einem positiven übergeht, die Integrale dabei
keine sprungweise Aenderung erleiden.

In dem ersten können wir, wie in §~24, setzen:
\[
\alpha = - \frac{\partial \zeta}{\partial \xi}\, \gamma;\quad
\beta  = - \frac{\partial \zeta}{\partial \eta}\, \gamma,
\]
wodurch es übergeht in:
%% -----File: 102.png---Folio 88-------
\[
F = \int \frac{\dfrac{\partial \zeta}{\partial \xi}\, \xi
             + \dfrac{\partial \zeta}{\partial \eta}\, \eta}{r^3}\, \gamma\, d\omega
\]
Ferner wollen wir in der $xy$-Ebene statt der rechtwinkligen Coordinaten
$\xi$~und~$\eta$ um denselben Anfangspunct die Polarcoordinaten
$u$~und~$\varphi$ einführen, dann ist:
\[
\xi = u \cos{\varphi},\quad \eta = u \sin{\varphi}
\]
und somit:
\[
\frac{\partial \xi}{\partial u} = \cos{\varphi};\quad
\frac{\partial \eta}{\partial u} = \sin{\varphi},
\]
und wenn wir mittelst dieser Gleichungen $\cos{\varphi}$ und~$\sin{\varphi}$ aus den
vorigen eliminiren:
\[
\xi  = \frac{\partial \xi}{\partial u}\, u;\quad
\eta = \frac{\partial \eta}{\partial u}\, u.
\]
Dadurch nimmt der in $F$ vorkommende Zähler eine einfachere Form
an, nämlich:
\[
\frac{\partial \zeta}{\partial \xi}\, \xi +
\frac{\partial \zeta}{\partial \eta}\, \eta
  = \left( \frac{\partial \zeta}{\partial \xi}
         · \frac{\partial \xi}{\partial u}
         + \frac{\partial \zeta}{\partial \eta}
         · \frac{\partial \eta}{\partial u} \right) u
  = \frac{\partial \zeta}{\partial u}\, u.
\]
Endlich können wir in beiden Integralen für das Product $\gamma\, d\omega$,
welches die Projection des Elementes~$d\omega$ auf die $xy$-Ebene darstellt,
ein Element dieser Ebene setzen, und dann die Integration
über die Projection des betrachteten Flächenstückes auf die Ebene
ausführen. Das Element der Ebene, in Polarcoordinaten ausgedrückt,
ist $u\, du\, d\varphi$, und die Gleichungen~(118) gehen somit über in:
\[
\tag{119}
\left\{
\begin{aligned}
F &= \iint \frac{\partial \zeta}{\partial u} · \frac{u^2}{r^3}\, du\, d\varphi \\
G &= \iint \left( \frac{h'}{\gamma} - h \right) \frac{(\zeta - z)u}{r^3}\, du\, d\varphi.
\end{aligned}
\right.
\]

Nehmen wir nun zunächst an, dass die Fläche an der betrachteten
Stelle nur eine \Emphasis{endliche Krümmung} habe, und dass
auch die Dichtigkeit~$h$ sich in der Nähe derselben nur allmälig
ändere, dass also \Emphasis{ihre Differentialcoefficienten endliche
%% -----File: 103.png---Folio 89-------
Grössen} seien, so können wir, da die $xy$-Ebene im Puncte~$P$
Tangentialebene ist, setzen:
\[
\tag{120}
\left\{
\begin{aligned}
&\zeta = mu^2\\
&\frac{\partial \zeta}{\partial u} = m'u\\
&\frac{h'}{\gamma} - h = nu,
\end{aligned}
\right.
\]
worin $m$,~$m'$ und~$n$ Functionen von $u$~und~$\varphi$ sind, welche für kleine
Werthe von $u$ nicht unendlich gross werden. Durch Einsetzung der
beiden letzten Formeln in die Ausdrücke~(119) gehen diese über in:
\[
\tag{121}
\left\{
\begin{aligned}
F &= \iint m'\, \frac{u^3}{r^3}\, du\, d\varphi\\
G &= \iint n\, \frac{(\zeta-z)u^2}{r^3}\, du\, d\varphi.
\end{aligned}\right.
\]
Bedenkt man hierbei, dass
\[
r = \sqrt{u^2 + (\zeta-z)^2}
\]
ist, so sieht man leicht, dass die zu integrirenden Functionen für keine
Werthe von $u$~und~$z$ unendlich gross werden können, und dass somit
die Integrationen bestimmt ausführbar sind.

Um noch zu zeigen, dass die Ausdrücke beim Durchgange von
$z$ durch Null keine sprungweise Aenderung erleiden, wollen wir die
Grösse~$\dfrac{1}{r^3}$ in eine Reihe entwickeln. Die Formel von $r$ lautet,
wenn man darin für $\zeta$ seinen in~(120) gegebenen Werth setzt:
\[
r = \sqrt{u^2 + z^2 - 2mzu^2 + m^2 u^4}.
\]
Hierin wollen wir die Grösse~$t$ mit der Bedeutung
\[
\tag{122}
t = \sqrt{u^2 + z^2}
\]
einführen, dann kommt:
\begin{align*}
r &= \sqrt{t^2 - 2mzu^2 + m^2 u^4}\\
  &= t \sqrt{1 - 2m\, \frac{zu^2}{t^2} + m^2 \frac{u^4}{t^2}}
\end{align*}
%% -----File: 104.png---Folio 90-------
und daraus folgt weiter:
\[
\frac{1}{r^3} = \frac{1}{t^3} \left( 1 + 3m\, \frac{zu^2}{t^2} - \frac{3}{2}m^2\, \frac{u^4}{t^2} + \text{etc.} \right).
\]
Wenn man diese Reihe, welche stark convergirt, weil $u$ nur kleine
Werthe haben kann, in die Ausdrücke~(121) einsetzt, und im letzteren
derselben auch im Zähler für $\zeta$ seinen Werth aus~(120) setzt,
so kann man schreiben:
\[
\tag{123}
\left\{
\begin{aligned}
F &=  \iint m' \frac{u^3}{t^3}\,  du\, d\varphi
    + \iint 3mm'\, \frac{zu^5}{t^5}\, du\, d\varphi - \text{etc.}\\
G &= - \iint n \frac{zu^2}{t^3}\, du\, d\varphi
    + \iint mn\, \frac{u^4}{t^3}\, du\, d\varphi - \text{etc.}
\end{aligned}
\right.
\]

Auf diese Weise ist jede der Grössen $F$~und~$G$ in eine Reihe
von Gliedern zerlegt, von denen das erste unter den Integralzeichen
einen Bruch enthält, der im Zähler in Bezug auf $z$~und~$u$ von
demselben Grade ist, wie im Nenner in Bezug auf~$t$, während die
folgenden Glieder Brüche enthalten, die im Zähler von höherem
Grade als im Nenner sind. Diese letzteren Glieder lassen sich kurz
abmachen. Wenn man von einem derselben den Differentialcoefficienten
nach $z$ bilden will, so kann man unter den Integralzeichen
differentiiren, wodurch dort ein Bruch entsteht, dessen Zähler noch
von gleichem oder höherem Grade als der Nenner ist, und da ein
solcher Bruch für keine Werthe von $z$~und~$u$ unendlich gross werden
kann, so muss auch das Integral für alle Werthe von $z$ endlich
bleiben. Da somit der Differentialcoefficient des betrachteten
Gliedes endlich bleibt, so kann das Glied selbst beim Durchgange
von $z$ durch Null keine sprungweise Aenderung erleiden. Es bleibt
also in jedem der beiden obigen Ausdrücke nur das erste Glied besonders
zu behandeln, um auch an ihm dieselbe Eigenschaft nachzuweisen.
Wir wollen diese Grössen mit $F'$~und~$G'$ bezeichnen,
indem wir setzen:
\[
\tag{124}
\left\{
\begin{aligned}
F' &=  \iint m' \frac{u^3}{(u^2 + z^2)^{\tfrac{3}{2}}}\,  du\, d\varphi\\
G' &= - \iint n \frac{zu^2}{(u^2 + z^2)^{\tfrac{3}{2}}}\, du\, d\varphi.
\end{aligned}
\right.
\]
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Statt der ersten dieser beiden Grössen wollen wir noch eine andere
bilden. Wir bezeichnen den Werth, welchen $F'$ für $z = 0$ annimmt,
mit~$A$, nämlich:
\[
A = \iint m'\, du\, d\varphi
\]
und bilden dann die Differenz:
\[
\tag{125}
F' - A = -\iint m'\, \frac{(u^2+z^2)^{\tfrac{3}{2}} - u^3}{(u^2+z^2)^{\tfrac{3}{2}}}\, du\, d\varphi.
\]

Von den beiden Grössen $F'-A$ und~$G'$ lässt sich nun leicht
beweisen, \Emphasis{dass sie, wenn $z$ unendlich klein und Null wird,
ebenfalls unendlich klein und Null werden müssen}. Setzt
man nämlich in den unter den Integralzeichen stehenden Brüchen
für $z$ einen unendlich kleinen Werth, so werden die Brüche für
alle endlichen Werthe von $u$ unendlich klein, und nur für unendlich
kleine Werthe von $u$ nehmen sie endliche Werthe an, die man
leicht näher bestimmen kann. Der erste Bruch:
\[
\frac{(u^2 + z^2)^{\tfrac{3}{2}} - u^3}{(u^2 + z^2)^{\tfrac{3}{2}}}
\]
geht, wenn $u$ bis Null abnimmt, in den Grenzwerth~$1$ über. Der
zweite Bruch:
\[
\frac{zu^2}{(u^2+z^2)^{\tfrac{3}{2}}}
\]
zeigt ein etwas complicirteres Verhalten. Wenn $u$ soweit abnimmt,
dass es ein unendlich Kleines von derselben Ordnung wie $z$ wird,
so wird dadurch der Bruch endlich, und wenn $u$ noch weiter abnimmt,
so dass es ein unendlich Kleines von höherer Ordnung als
$z$ wird, so wird der Bruch wieder unendlich klein. Sei nämlich $\delta$
eine unendlich kleine Grösse, und setzen wir:
\[
z = a\delta,\quad u = b\delta,
\]
worin $a$~und~$b$ endliche Coefficienten sind, so geht dadurch der
vorige Bruch über in:
\[
\frac{a\delta · b^2\delta^2}
     {(b^2\delta^2 + a^2\delta^2)^{\tfrac{3}{2}}}
  = \frac{ab^2}{(b^2 + a^2)^{\tfrac{3}{2}}};
\]
%% -----File: 106.png---Folio 92-------
setzen wir dagegen:
\[
z = a\delta;\quad u = b\delta^2,
\]
so geht der Bruch über in:
\[
\frac{a\delta \mathbin{.} b^2 \delta^4}{(a^2 \delta^2)^{\tfrac{3}{2}}}
  = \frac{b^2}{a^2}\, \delta^2.
\]
Das Wesentliche aber, worauf es für unsere Betrachtung ankommt,
gilt für den einen Bruch so gut, wie für den anderen, nämlich
dass das Intervall von~$u$, innerhalb dessen der Bruch einen endlichen
Werth hat, nur unendlich klein ist, und dass ferner, wenn
man sich denkt, dass der schon unendlich kleine Werth von $z$ noch
immer kleiner bis Null werde, dann auch einerseits jenes Intervall
von~$u$, innerhalb dessen der Bruch endlich ist, und andererseits die
ausserhalb dieses Intervalles stattfindenden unendlich kleinen Werthe
des Bruches immer kleiner bis Null werden. Daraus folgt, dass,
wenn man die in $F'-A$ und~$G'$ angedeutete Integration nach $u$
von $u=0$ bis zu einem beliebigen endlichen Werthe von $u$ ausführt,
man dadurch Grössen erhalten muss, die mit $z$ zugleich unendlich
klein und Null werden.

Man kann dieses letztere Resultat auch noch auf eine andere
Art beweisen, welche vielleicht noch klarer ist. Betrachten wir
zuerst die Grösse $F'-A$, so ist darin der vorher besprochene Bruch
mit dem Factor~$m'$ behaftet, welcher von $u$ abhängt. Wenn nun
die Integration nach $u$ zwischen irgend zwei Grenzen ausgeführt
werden soll, so kann man sicher sein, dass das dadurch entstehende
Integral seinem Werthe nach zwischen denjenigen beiden Integralen
liegt, welche man erhält, wenn man statt der veränderlichen Grösse~$m'$
ein Mal den grössten Werth, welchen sie zwischen jenen beiden
Grenzen von $u$ hat, und das andere Mal den kleinsten Werth setzt,
und dann die Integration ausführt. Wenn man daher findet, dass
diese beiden letzten Integrale unendlich klein oder Null werden,
so muss man schliessen, dass dasselbe auch mit jenem ursprünglich
gegebenen Integrale der Fall ist. Ebenso verhält es sich mit der
Grösse~$G'$ in Bezug auf den Factor~$n$. Nun lässt sich aber in beiden
Ausdrücken, wenn man für $m'$~und~$n$ constante Werthe setzt,
die Integration nach $u$ sofort wirklich ausführen. Bezeichnen wir
die constanten Werthe zum Unterschiede mit $m'_1$~und~$n_1$ und integriren
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von $u = 0$ bis $u = U$, wo $U$ irgend einen endlichen Werth
bedeuten soll, so kommt:
\begin{align*}
& m'_1 \int_{0}^{U} \frac{(u^2 + z^2)^{\tfrac{3}{2}} - u^3}{(u^2 + z^2)^{\tfrac{3}{2}}}\, du
  = m'_1 \left( U - \frac{U^2 + 2z^2}{\sqrt{U^2 + z^2}} + 2 \sqrt{z^2} \right)\\
%
& n_1 \int_{0}^{U} \frac{zu^2}{(u^2 + z^2)^{\tfrac{3}{2}}}\, du \\
&\quad
  = n_1 \left[ - \frac{zU}{\sqrt{U^2 + z^2}}
              + z\log{(U + \sqrt{U^2 + z^2})} - z \log{\sqrt{z^2}} \right].
\end{align*}
Man sieht sogleich aus der Form dieser Ausdrücke, dass sie mit $z$
zugleich unendlich klein und Null werden, und zwar für alle beliebigen
Werthe der constanten Factoren $m'_1$~und~$n_1$, und somit
auch für die oben erwähnten grössten und kleinsten Werthe. Demnach
muss dasselbe Resultat auch gültig bleiben, wenn statt der
constanten Werthe wieder die veränderlichen Factoren $m'$~und~$n$
eingeführt werden, und daraus folgt weiter, dass auch die ganzen
Grössen $F'-A$ und~$G'$ mit $z$ zugleich unendlich klein und Null
werden müssen, und dass daher die Grössen $F'$~und~$G'$ beim Durchgange
von $z$ durch Null keine sprungweise Aenderung erleiden
können.

Da dasselbe, was hier von $F'$~und~$G'$ gefunden ist, sich dem
oben Gesagten nach auch auf die vollständigen in~(123) gegebenen
Ausdrücke von $F$~und~$G$ ausdehnen lässt, so können wir schreiben:
\[
\tag{126}
\left\{
\begin{aligned}
F_{+0} - F_{-0} &= 0\\
G_{+0} - G_{-0} &= 0.
\end{aligned}
\right.
\]

Gehen wir nun zu der Gleichung~(116a.)\ zurück, und berücksichtigen
dabei die Gleichung~(117), so erhalten wir:
\[
\left( \frac{\partial V_1}{\partial z} \right)_{+0} -
\left( \frac{\partial V_1}{\partial z} \right)_{-0}
  = \epsilon h (E_{+0} - E_{-0}) = - 4 \pi \epsilon h.
\]
Da die $z$-Axe in der Richtung der Normale genommen ist, so
%% -----File: 108.png---Folio 94-------
kann man statt des Differentialcoefficienten nach $z$ auch den nach
$n$ schreiben, also:
\[
\left( \frac{\partial V_1}{\partial n} \right)_{+0} -
\left( \frac{\partial V_1}{\partial n} \right)_{-0} = - 4\pi \epsilon h.
\]
Hieraus ergieht sich nach dem, was in §~33 gesagt ist, sofort auch
die zu beweisende Gleichung~(III.):
\[
\left( \frac{\partial V}{\partial n} \right)_{+0} -
\left( \frac{\partial V}{\partial n} \right)_{-0} = - 4\pi \epsilon h.
\]


\Section{36.}{Specieller Fall, wenn an der betreffenden Stelle die
Krümmung der Fläche unendlich gross ist, oder die Dichtigkeit
sich unendlich schnell ändert.}

Bei dem vorigen Beweise wurde vorausgesetzt, dass die Krümmung
der Fläche an der betreffenden Stelle endlich sei, und auch
$h$ sich in der Nähe dieser Stelle nur allmälig ändere. Wir wollen
nun diese Voraussetzung fallen lassen, und statt der Gleichungen~(120)
schreiben:
\[
\tag{127}
\left\{
\begin{aligned}
& \zeta = mu^{1+\mu}\\
& \frac{\partial \zeta}{\partial u} = m'u^{\mu}\\
& \frac{h'}{\gamma} - h = nu^{\nu},
\end{aligned}
\right.
\]
worin $m$,~$m'$ und~$n$ dieselbe Bedeutung haben, wie früher, und $\mu$
und~$\nu$ irgend welche positive Grössen sind. Wenn $\mu < 1$ ist, so
wird der Differentialcoefficient $\smash[b]{\dfrac{\partial^2 \zeta}{\partial u^2}}$, und mit ihm die Krümmung
der Fläche für $u = 0$ unendlich gross. Ist $\nu < 1$, so wird $\dfrac{\;\partial \dfrac{h'}{\gamma}\;}{\partial u}$
und daher im Allgemeinen auch $\dfrac{\partial h'}{\partial u}$ für $u = 0$ unendlich gross.
Dessenungeachtet lässt sich beweisen, dass die Gleichung~(III.) gültig
bleibt, so lange die Grössen $\mu$~und~$\nu$ nur angebbare positive
Werthe haben.
%% -----File: 109.png---Folio 95-------

Wir können dabei wieder, nachdem wir die Grössen $F$~und~$G$
in Reihen entwickelt haben, unsere Aufmerksamkeit auf das erste
Glied jeder Reihe beschränken, denn man erkennt leicht, dass, wenn
sich für dieses Glied die fraglichen Eigenschaften nachweisen lassen,
(nämlich dass die Integration bestimmt ausführbar ist, und das Integral
beim Durchgange von $z$ durch Null keine sprungweise Aenderung
erleidet), dann dieser Nachweis bei den höheren Gliedern
um so weniger Schwierigkeiten haben kann. Wir erhalten daher
statt~(124) die Ausdrücke:
\[
\tag{128}
\left\{
\begin{aligned}
F' &=  \iint m'\, \frac{u^{2+\mu}}{(u^2 + z^2)^{\tfrac{3}{2}}}\,  du\, d\phi \\
G' &= - \iint n\, \frac{zu^{1+\nu}}{(u^2 + z^2)^{\tfrac{3}{2}}}\, du\, d\phi.
\end{aligned}
\right.
\]
In den hier vorkommenden Brüchen sind, wenn $\mu$~und~$\nu$ kleiner
als $1$ sind, die Zähler von niedrigerem Grade als die Nenner, und
die Brüche bleiben daher nicht für alle Werthe von $z$~und~$u$ endlich.
Indessen lässt sich diese Schwierigkeit durch die schon in
§~25 angewandte Art der Umformung beseitigen. Führen wir nämlich
statt der Veränderlichen~$u$ die beiden Veränderlichen $u'$~und~$u''$
ein mit der Bedeutung:
\[
u' - u^{\mu} \text{ und } u'' = u^{\nu},
\]
so kommt:
\[
\tag{129}
\left\{
\begin{aligned}
F' &= \iint \frac{m'}{\mu} · \frac{u'^{\tfrac{3}{\mu}}}{(u'^{\tfrac{2}{\mu}} + z^2)^{\tfrac{3}{2}}}\, du'\, d\phi\\
G' &= -\iint \frac{n}{\nu} · \frac{zu''^{\tfrac{2}{\nu}}}{(u''^{\tfrac{2}{\nu}} + z^2)^{\tfrac{3}{2}}}\, du''\, d\phi.
\end{aligned}
\right.
\]
Bei dieser Form der Ausdrücke bleiben die zu integrirenden Functionen
für alle Werthe von $z$ und von $u'$~und~$u''$ endlich, und es
lassen sich auf diese Ausdrücke dieselben Betrachtungen anwenden,
wie auf die Ausdrücke~(124) im vorigen~§, und man erhält daher
wieder als Resultat die Gleichung~(III.).

Diese Gleichung hört erst dann auf gültig zu sein, wenn die
%% -----File: 110.png---Folio 96-------
Gleichungen~(127) für keine angebbaren positiven Werthe von $\mu$
und~$\nu$ anwendbar sind. Dabei ist aber zu bemerken, dass die
meisten Fälle dieser Art schon von selbst von dem durch die Gleichung~(III.)
ausgedrückten Satze ausgeschlossen sind. Bildet die
Fläche an der betreffenden Stelle eine scharfe Spitze oder Kante,
so dass es dort keine bestimmte Tangentialebene giebt, so giebt
es auch keine bestimmte Normale, und der Differentialcoefficient
$\dfrac{\partial V}{\partial n}$ hat daher keinen Sinn. Erleidet ferner die Dichtigkeit~$h'$ gerade
an der betreffenden Stelle eine sprungweise Aenderung, so
hat $h$ keinen bestimmten Werth und die Gleichung verliert dadurch
ihre Bedeutung. Es bleiben also nur solche Fälle übrig, wie zu
Ende des §~25 einer als Beispiel angeführt ist, welche aber zu speciell
sind, um sich hier einer besonderen Betrachtung zu verlohnen.


\Section{37.}{Potentialfunction einer gleichförmig mit Agens
bedeckten geraden Linie.}

An den in den §§~27 bis~36 betrachteten Fall, wo das Agens
sich auf einer Fläche befindet, schliesst sich, bei geometrischem Fortschreiten
der practisch freilich weniger wichtige Fall an, wo das
Agens über eine Linie stetig verbreitet ist, so dass sich auf einem
endlichen Linienstücke eine endliche Menge des Agens befindet.

Der einfachste Fall dieser Art ist der, wo ein Stück einer
\Emphasis{geraden} Linie so mit dem Agens bedeckt ist, \Emphasis{dass sich auf
gleichen Längenabschnitten gleich viel davon befindet},
und da dieser Fall die hier in Betracht kommende Eigenschaft der
Potentialfunction besonders bequem erkennen lässt, so möge er zuerst
behandelt werden.

Die mit dem Agens bedeckte Gerade möge als $z$-Axe eines
rechtwinkligen Coordinatensystemes genommen werden. Ein Element
derselben heisse $dz'$ und die darauf befindliche Menge des
Agens werde mit $g\, dz'$ bezeichnet, worin $g$ die als constant vorausgesetzte
Liniendichtigkeit bedeutet. Die dem Anfangs- und Endpuncte
der Geraden entsprechenden Werthe von $z'$ sollen $a$ und~$b$
heissen. Der Punct~$p$ mit den Coordinaten $x$,~$y$,~$z$, für welchen
die Potentialfunction zu bestimmen ist, soll eine solche Lage haben,
dass der Werth von $z$ zwischen $a$~und~$b$ liegt.
%% -----File: 111.png---Folio 97-------

Die für die Potentialfunction geltende Gleichung ist:
\[
V = \epsilon g \int_{a}^{b} \frac{dz'}{\sqrt{x^2 + y^2 + (z'-z)^2}},
\]
oder, wenn wir den Abstand des Punctes~$p$ von der Geraden mit $\rho$
bezeichnen, und demgemäss setzen:
\[
\rho = \sqrt{x^2 + y^2}
\]
so kommt:
\[
\tag{130}
V = \epsilon g \int_{a}^{b} \frac{dz'}{\sqrt{\rho^2 + (z'-z)^2}}.
\]
Hierin lässt sich die Integration ausführen, und giebt:
\[
V = \epsilon g
    \log \frac{b - z + \sqrt{\rho^2 + (b-z)^2}}
              {a - z + \sqrt{\rho^2 + (a-z)^2}}.
\]
Multipliciren wir den unter dem \DPtypo{Lagarithmuszeichen}{Logarithmuszeichen} stehenden
Bruch in Zähler und Nenner mit $z - a + \sqrt{\rho^2 + (z-a)^2}$, so wird
der Nenner einfach~$\rho^2$, und der Ausdruck lässt sich dann so
schreiben:
\[
\tag{131}
\begin{aligned}
V = -2 \epsilon g \log \rho
  &+ \epsilon g \log \left[ b - z + \sqrt{\rho^2 + (b-z)^2} \right] \\
  &+ \epsilon g \log \left[ z - a + \sqrt{\rho^2 + (z-a)^2} \right].
\end{aligned}
\]
Setzt man hierin wieder für $\rho$ seinen Werth $\sqrt{x^2 + y^2}$, so hat
man $V$ als Function von $x$,~$y$,~$z$ und kann nach jeder der drei
Coordinaten differentiiren.

Von besonderem Interesse sind die Werthe, welche die Potentialfunction
$V$ und ihr nach $\rho$ genommener Differentialcoefficient
annehmen, wenn $\rho$ unendlich klein und Null wird, wenn also der
betrachtete Punct sich der mit Agens bedeckten Linie unendlich
nähert und sie erreicht. Dividirt man die vorige Gleichung durch
$\log \rho$, und lässt dann $\rho$ bis Null abnehmen, so verschwinden die
beiden letzten Glieder an der rechten Seite, weil der Nenner $\log \rho$
unendlich gross wird, während die Zähler endlich bleiben, und es
kommt somit, wenn man den auf $\rho = 0$ bezüglichen Grenzwerth
durch den beigesetzten Index~$0$ andeutet:
%% -----File: 112.png---Folio 98-------
\[
\tag{132}
\left( \frac{V}{\log \rho} \right)_0 = -2 \epsilon g.
\]
Differentiirt man ferner die obige Gleichung nach~$\rho$, multiplicirt
sie darauf mit $\rho$ und lässt dann $\rho$ zu Null werden, so verschwinden
wieder die beiden letzten Glieder, und es bleibt:
\[
\tag{133}
\left( \rho\, \frac{\partial V}{\partial \rho}\right)_0 = -2 \epsilon g.
\]
Diese Gleichungen sind für die Potentialfunction einer nur auf einer
Linie befindlichen Menge des Agens characteristisch.


\Section{38.}{Beweis der characteristischen Gleichungen für eine
gekrümmte und ungleichförmig mit Agens
bedeckte Linie.}

Wir wollen nun statt der geraden Linie, auf welcher die Dichtigkeit
constant ist, eine beliebig gekrümmte Linie mit veränderlicher
Dichtigkeit betrachten, wobei wir nur voraussetzen wollen,
dass die Krümmung überall endlich sei, und die Dichtigkeit sich
nur stetig ändere. Bei der Behandlung dieses allgemeinen Falles
wollen wir uns aber darauf beschränken, zu beweisen, dass auch
für ihn die obigen characteristischen Gleichungen gelten.

In irgend einem zur Betrachtung ausgewählten Puncte der mit
dem Agens bedeckten Linie denken wir uns die Tangente an dieselbe
gelegt, und nehmen diese als $z$-Axe und zwei beliebige durch
den Berührungspunct gehende, auf ihr und unter einander senkrechte
Gerade als $x$-~und $y$-Axe eines Coordinatensystems. Den
Punct~$p$ denken wir uns im positiven Arme der $x$-Axe liegend, so
dass die Coordinate~$x$ zugleich der senkrechte Abstand des Punctes
von der Linie ist.

Ist nun $ds$ irgend ein Element der Linie mit den Coordinaten
$x'$,~$y'$,~$z'$ und wird die darauf befindliche Menge des Agens mit
$g'\, ds$ bezeichnet, so ist die Potentialfunction:
\[
V = \epsilon \int \frac{g'\, ds}{\sqrt{(x-x')^2 + y'^2 + z'^2}},
\]
woraus folgt:
\[
\frac{\partial V}{\partial x}
  = - \epsilon \int \frac{g'(x-x')\, ds}{[(x-x')^2 + y'^2 + z'^2]^{\tfrac{3}{2}}}.
\]
%% -----File: 113.png---Folio 99-------
Diese Ausdrücke sollen nun soweit berechnet werden, dass die
Werthe von $\dfrac{V}{\log x}$ und $x\, \dfrac{\partial V}{\partial x}$ für $x = 0$ bestimmt werden können.

Dabei braucht die Integration nur für ein sehr kleines Stück
der Linie zu beiden Seiten des Anfangspunctes der Coordinaten
ausgeführt zu werden, denn für die Potentialfunction der entfernteren
Theile versteht es sich von selbst, dass sie und ihr Differentialcoefficient
nach $x$ endlich bleiben, und dass somit die Producte
derselben mit $\dfrac{1}{\log x}$ und~$x$ für $x = 0$ verschwinden.

Um die Ausdrücke für unsere Betrachtung geeignet zu machen,
müssen sie umgeformt werden. Sei $dz'$ die Projection des Elementes~$ds$
auf die $z$-Axe und~$\gamma$ der Cosinus des Winkels, welchen $ds$
mit der $z$-Axe bildet; dann ist:
\[
ds = \frac{1}{\gamma}\, dz'.
\]
Nach Einführung dieses Werthes für $ds$ betrachten wir die Grösse
$\dfrac{g'}{\gamma}$. Die Dichtigkeit im Anfangspuncte der Coordinaten sei mit $g$
bezeichnet. Da ferner der mit $\gamma$ bezeichnete Cosinus im Anfangspuncte
der Coordinaten, wo die Linie die $z$-Axe berührt, gleich~$1$
ist, so hat der ganze Bruch $\dfrac{g'}{\gamma}$, welcher als Function von $z'$ angesehen
werden kann, für $z'= 0$ den Werth~$g$, und für andere
Werthe von $z'$ kann man setzen:
\[
\frac{g'}{\gamma} = g + lz',
\]
worin $l$ eine Function von $z'$ ist, welche für kleine Werthe von $z'$
nicht unendlich gross wird. Die Gleichung für $V$ lautet dann:
\[
V = \epsilon \int \frac{(g + lz')\, dz'}{\sqrt{(x-x')^2 + y'^2 + z'^2}}.
\]
Nun kann man ferner, weil die Linie im Anfangspuncte der Coordinaten
die $z$-Axe berührt, setzen:
\[
x' = mz'^2;\quad y'=nz'^2,
\]
worin $m$ und~$n$ ebenfalls endliche Functionen von $z'$ sind. Indem
%% -----File: 114.png---Folio 100-------
wir diese Werthe anwenden, und zugleich, ähnlich wie in §~35,
das Zeichen~$t$ mit der Bedeutung
\[
t = \sqrt{x^2 + z'^2}
\]
einführen, erhalten wir:
\[
V = \epsilon\int\frac{(g + lz')\, dz'}
                        {t\sqrt{1 - 2m\,\frac{xz'^2}{t^2} + (m^2 + n^2)\, \frac{z'^4}{t^2}}},
\]
worin wir den unter dem Integralzeichen stehenden Ausdruck folgendermaassen
in eine Reihe entwickeln können:
\[
V = \epsilon\int
    \left( g\,  \frac{1}{t} + l\, \frac{z'}{t}
         + gm\, \frac{xz'^2}{t^3} + lm\, \frac{xz'^3}{t^3} - \text{etc.}\right) dz'.
\]

Integriren wir nun zunächst das erste Glied der Reihe von
irgend einem kleinen negativen Werthe von~$z'$, welcher $-a$ heissen
möge, bis zu einem kleinen positiven Werthe, welcher $b$ heissen
möge, so erhalten wir, ähnlich wie in §~37:
\begin{align*}
\epsilon g \int_{-a}^b \frac{dz'}{\sqrt{x^2 + z'^2}} =
\epsilon g \Bigl[ -2\log x
  &+ \log(a + \sqrt{x^2 + a^2}) \\
  &+ \log(b + \sqrt{x^2 + b^2}) \Bigr].
\end{align*}
Wenn wir diese Gleichung durch $\log x$ dividiren, und dann $x$ gleich
Null werden lassen, so verschwinden die beiden letzten Glieder an
der rechten Seite, und es kommt:
\[
\epsilon g \left( \frac{1}{\log x} \int_{-a}^b \frac{dz'}{\sqrt{x^2 + z'^2}} \right)
  = -2 \epsilon g.
\]
Was nun die übrigen Glieder der in dem Ausdrucke von $V$ unter
dem Integralzeichen stehenden Reihe anbetrifft, so sind diese alle
in Bezug auf $x$,~$z'$ und~$t$ von höherer Ordnung, als das erste, und
man sieht sofort, dass ihre Integrale nicht unendlich gross werden
können, und dass somit die Producte derselben mit $\dfrac{1}{\log x}$ für $x = 0$
verschwinden müssen. Man erhält also im Ganzen:
%% -----File: 115.png---Folio 101-------
\[
\tag{134}
\left( \frac{V}{\log x} \right)_0 = -2 \epsilon g.
\]

In gleicher Weise ist auch der Differentialcoefficient von $V$
zu behandeln. Durch Differentiation des obigen in eine Reihe entwickelten
Ausdruckes von $V$ erhalten wir:
\begin{align*}
\frac{\partial V}{\partial x}
  = \epsilon \int \left( -g\, \frac{x}{t^3} - l\, \frac{xz'}{t^3}\right.
  &+ gm\, \frac{z'^2}{t^3} - 3gm\, \frac{x^2z'^2}{t^5} \\
  &+ \left.
     lm\, \frac{z'^3}{t^3} - 3lm\, \frac{x^2z'^3}{t^5} + \text{etc.} \right) dz'.
\end{align*}
Die Integration des ersten unter dem Integralzeichen stehenden
Gliedes giebt:
\[
-\epsilon g \int_{-a}^{b} \frac{x\, dz'}{(x^2 + z'^2)^{\tfrac{3}{2}}}
  = -\frac{\epsilon g}{x}
     \left( \frac{a}{\sqrt{x^2 + a^2}} + \frac{b}{\sqrt{x^2 + b^2}} \right).
\]
Wenn man diese Gleichung mit $x$ multiplicirt und dann $x$ gleich
Null werden lässt, so geht sie über in:
\[
-\epsilon g \left( x \int_{-a}^{b} \frac{x\, dz'}{(x^2 + z'^2)^{\tfrac{3}{2}}} \right)_0
  = -2 \epsilon g.
\]
Alle übrigen unter dem Integralzeichen stehenden Glieder geben,
wenn sie integrirt und mit $x$ multiplicirt werden, Grössen, welche
für $x = 0$ verschwinden, und man erhält daher im Ganzen:
\[
\tag{135}
\left( x\, \frac{\partial V}{\partial x} \right)_0 = -2 \epsilon g.
\]

Da nun die $x$-Axe irgend eine durch den zur Betrachtung
ausgewählten Punct der Linie gehende, auf der Linie senkrechte
Gerade ist, und der Punct~$p$ der Voraussetzung nach im positiven
Arm der $x$-Axe liegt, so bedeutet $x$ den senkrechten Abstand dieses
Punctes von der Linie, und kann daher, in Uebereinstimmung
mit der im vorigen~§ angewandten Bezeichnung, auch durch $\rho$ dargestellt
werden, wodurch (134)~und~(135) übergehen in:
\[
\tag{IV.}
\left( \frac{V}{\log \rho} \right)_0
  = \left( \rho\, \frac{\partial V}{\partial \rho} \right)_0
  = - 2 \epsilon g.
\]
%% -----File: 116.png---Folio 102-------

Es gelten also für den in diesem~§ betrachteten allgemeineren
Fall dieselben Gleichungen, wie die, welche im vorigen~§ für einen
specielleren Fall abgeleitet und dort unter (132)~und~(133) angeführt
wurden.


\Section{39.}{Characteristische Gleichungen für eine in einem Puncte
concentrirt gedachte Menge des Agens und Zusammenstellung
der verschiedenen characteristischen
Gleichungen.}

Wenn man sich eine endliche Menge des Agens in einem
Puncte concentrirt denkt, so ist die Form ihrer Potentialfunction
so einfach, dass es kaum nöthig ist, darüber etwas Weiteres zu
sagen. Indessen der Vollständigkeit wegen mögen auch für diesen
Fall noch die Gleichungen in die Form gebracht werden, in welcher
sie den in den bisher betrachteten Fällen gefundenen characteristischen
Gleichungen entsprechen, damit man die Art, wie diese Gleichungen
sich stufenweise ändern, wenn das Agens entweder stetig
durch einen Raum verbreitet, oder in eine Fläche, oder in eine
Linie, oder endlich in einen Punct zusammengedrängt ist, deutlich
übersehen kann.

Wenn sich in einem gegebenen Puncte die Menge~$q$ des Agens
befindet, und der Abstand des betrachteten Punctes~$p$ von jenem gegebenen
Puncte mit $\frakr$ bezeichnet wird, so ist die Potentialfunction:
\[
V = \epsilon\frac{q}{\frakr},
\]
woraus folgt:
\[
\frac{\partial V}{\partial \frakr} = -\epsilon\, \frac{q}{\frakr^2}.
\]
Hieraus ergiebt sich, dass man setzen kann:
\[
\tag{V.}
\frakr V = -\frakr^2\, \frac{\partial V}{\partial \frakr}
  = \epsilon q.
\]
Diese Gleichungen bleiben auch, wenn $\frakr$ gleich Null wird, unverändert
gültig, und dann entsprechen sie den früher gefundenen
characteristischen Gleichungen.

Der Uebersichtlichkeit wegen mögen diese Gleichungen hier
noch einmal zusammengestellt werden. Es sind die folgenden:
%% -----File: 117.png---Folio 103-------
\begin{align*}
\tag{II.}
& \Delta V = -4\pi\epsilon k\\
%
\tag{III.}
& \left(\frac{\partial V}{\partial n}\right)_{+0}
- \left(\frac{\partial V}{\partial n}\right)_{-0} = -4\pi\epsilon h\\
%
\tag{IV.}
& \left(\frac{V}{\log \rho}\right)_0
  = \left(\rho\, \frac{\partial V}{\partial \rho}\right)_0 = -2\epsilon g\\
%
\tag{Va.}
& (\frakr V)_0 = \left(\frakr^2\, \frac{\partial V}{\partial \frakr}\right)_0
  = \epsilon q.
\end{align*}


\Section{40.}{Satz von \Person{Green}.}

Um noch einige weitere Eigenschaften der Potentialfunction
entwickeln zu können, muss zunächst ein geometrischer Satz mitgetheilt
werden, welcher von \Person{Green} in seiner berühmten auf die
Potentialfunction bezüglichen Abhandlung aufgestellt ist. Die diesen
Satz ausdrückenden Gleichungen mögen im Folgenden abgeleitet
werden.

Es sei ein vollständig begrenzter Raum gegeben, dessen Element
wir mit $d\tau$ bezeichnen wollen. Ferner seien $U$ und~$V$ irgend
zwei Functionen der Raumcoordinaten, von welchen wir vorläufig
annehmen wollen, dass sie selbst und ihre Differentialcoefficienten
erster und zweiter Ordnung in dem ganzen Raume überall endlich
bleiben. Dann betrachten wir zunächst folgendes Integral:
\[
\int \frac{\partial U}{\partial x}\, \frac{\partial V}{\partial x}\, d\tau,
\]
worin die Integration über den ganzen gegebenen Raum auszuführen
ist. Dieses Integral lässt sich gemäss der Gleichung
\[
\frac{\partial}{\partial x} \left(U\, \frac{\partial V}{\partial x}\right)
  = \frac{\partial U}{\partial x}\, \frac{\partial V}{\partial x}
 + U\, \frac{\partial^2 V}{\partial x^2}
\]
folgendermaassen in zwei Integrale zerlegen:
\[
\tag{136}
\int \frac{\partial U}{\partial x}\, \frac{\partial V}{\partial x}\, d\tau
  = \int \frac{\partial}{\partial x} \left(U\, \frac{\partial V}{\partial x}\right) d\tau
  - \int U\, \frac{\partial^2 V}{\partial x^2}\, d\tau.
\]
%% -----File: 118.png---Folio 104-------

Das erste hierin an der rechten Seite stehende Integral lässt
sich in ein anderes umformen. Wir schreiben dazu statt $d\tau$ das
Product $dx\, dy\, dz$ und führen dann die Integration nach $x$ aus.
Dabei haben wir zur Bestimmung der Grenzwerthe von $x$ diejenigen
Puncte zu betrachten, in welchen eine zwei bestimmten Werthen
von $y$ und~$z$ entsprechende, der $x$-Axe parallele Gerade die Oberfläche
des gegebenen Raumes durchschneidet. Solche Durchschnitte
müssen wenigstens zwei vorkommen, es können aber je nach der
Gestalt der Oberfläche auch vier, sechs etc.\ vorkommen. Die betreffenden
Werthe von $x$ wollen wir mit $x_1$ und~$x_2$, dann weiter,
wenn mehr als zwei Durchschnitte vorkommen, mit $x_3$ und~$x_4$ u.~s.~f.\
bezeichnen, und durch dieselben Indices wollen wir auch die Werthe,
welche irgend welche Functionen der Coordinaten an den betreffenden
Durchschnittspuncten haben, characterisiren. Dann können wir
schreiben:
\begin{align*}
\tag{137}
\iiint \frac{\partial}{\partial x}\left(U\, \frac{\partial V}{\partial x}\right) dx\, dy\, dz
  & = \iint \left[-\left(U\, \frac{\partial V}{\partial x}\right)_1\right.\\
  & + \left.\left(U\, \frac{\partial V}{\partial x}\right)_2 - \text{etc.} \right] dy\, dz.
\end{align*}
Das Product $dy\, dz$ stellt den Querschnitt eines längs der mit der
$x$-Axe parallelen Geraden gedachten unendlich schmalen Prismas
dar. Schneidet dieses aus der Oberfläche die Flächenelemente $d\omega_1$
und~$d\omega_2$ und, falls noch weitere Durchschnitte vorkommen, die
Flächenelemente $d\omega_3$ und~$d\omega_4$ u.~s.~f.\ aus, so bestehen für diese
Flächenelemente einfache Gleichungen. Betrachten wir zunächst
den ersten Durchschnitt, so ist $dy\, dz$ gleich dem Producte aus $d\omega_1$
und dem Cosinus des Winkels der auf diesem Flächenelemente nach
Innen zu errichteten Normale mit der $x$-Richtung. Dieser Cosinus
ist aber gleich dem Differentialcoefficienten $\dfrac{\partial x}{\partial n}$, und man kann daher
schreiben:
\[
dy\, dz = \left(\frac{\partial x}{\partial n}\right)_1 d\omega_1.
\]
Für den zweiten Durchschnitt gilt eine entsprechende Gleichung,
nur dass hier das Minuszeichen angewandt werden muss, weil hier
die der $x$-Axe parallele Gerade, indem sie wächst, die Oberfläche
%% -----File: 119.png---Folio 105-------
nicht von Aussen nach Innen, sondern von Innen nach Aussen
durchschneidet. Es kommt also:
\[
dy\, dz = -\left( \frac{\partial x}{\partial n} \right)_2 d\omega_2.
\]
Ebenso hat man, wenn noch weitere Durchschnitte vorkommen, zu
setzen:
\begin{align*}
dy\, dz &=  \left( \frac{\partial x}{\partial n} \right)_3 d\omega_3\\
dy\, dz &= -\left( \frac{\partial x}{\partial n} \right)_4 d\omega_4
\end{align*}
u.~s.~f. Demgemäss erhält man die Gleichung:
\begin{multline*}
\left[ - \left( U\, \frac{\partial V}{\partial x} \right)_1
       + \left( U\, \frac{\partial V}{\partial x} \right)_2 - \text{etc.} \right] dy\, dz \\
  = - \left[ \left( U\, \frac{\partial V}{\partial x}\, \frac{\partial x}{\partial n} \right)_1 d\omega_1
           + \left( U\, \frac{\partial V}{\partial x}\, \frac{\partial x}{\partial n} \right)_2 d\omega_2
           + \text{etc.} \right].
\end{multline*}
Denkt man sich nun für alle der $x$-Axe parallelen Elementarprismen,
welche den Raum durchschneiden, solche Gleichungen gebildet,
so bilden die sämmtlichen Flächenelemente, welche in allen
diesen Gleichungen an der rechten Seite vorkommen, gerade die
ganze Oberfläche des gegebenen Raumes. Man kann also schreiben:
\[
\iint \left[ - \left( U\, \frac{\partial V}{\partial x} \right)_1
             + \left( U\, \frac{\partial V}{\partial x} \right)_2
             - \text{etc.} \right] dy\, dz
  = - \int U\, \frac{\partial V}{\partial x}\, \frac{\partial x}{\partial n}\, d\omega,
\]
worin die an der rechten Seite angedeutete Integration sich auf
die ganze Oberfläche erstrecken soll. Hierdurch geht die Gleichung~(137)
über in:
\[
\tag{138}
\iiint \frac{\partial}{\partial x} \left( U\, \frac{\partial V}{\partial x} \right) dx\, dy\, dz
  = - \int U\, \frac{\partial V}{\partial x}\, \frac{\partial x}{\partial n}\, d\omega
\]
und demgemäss die Gleichung~(136) in:
\[
\tag{139}
\int \frac{\partial U}{\partial x}\, \frac{\partial V}{\partial x}\, d\tau
  = - \int U\, \frac{\partial V}{\partial x}\, \frac{\partial x}{\partial n}\, d\omega
    - \int U\, \frac{\partial^2 V}{\partial x^2}\, d\tau.
\]
%% -----File: 120.png---Folio 106-------

Eine ganz entsprechende Gleichung, wie diese für die $x$-Richtung
ist, lässt sich natürlich auch für die $y$-~und $z$-Richtung bilden,
und durch Addition aller drei Gleichungen erhalten wir eine
neue Gleichung. Um diese und andere ähnliche Gleichungen bequem
schreiben zu können, wollen wir ein Summenzeichen von folgender
Bedeutung einführen. Wenn ein auf die $x$-Richtung bezüglicher
Ausdruck hingeschrieben und davor das Summenzeichen gesetzt
ist, so soll das eine Summe aus den drei auf die drei Coordinatenrichtungen
bezüglichen Ausdrücken von derselben Form bedeuten,
so dass man \zB\ hat:
\[
\tag{140}
\sum \frac{\partial U}{\partial x}\, \frac{\partial V}{\partial x}
   = \frac{\partial U}{\partial x}\, \frac{\partial V}{\partial x}
   + \frac{\partial U}{\partial y}\, \frac{\partial V}{\partial y}
   + \frac{\partial U}{\partial z}\, \frac{\partial V}{\partial z}.
\]
Unter Anwendung dieses Summenzeichens kann man die durch die
erwähnte Addition entstehende Gleichung folgendermaassen schreiben:
\[
\tag{141}
\int \sum \frac{\partial U}{\partial x}\, \frac{\partial V}{\partial x}\, d\tau
  = - \int U \sum \frac{\partial V}{\partial x}\, \frac{\partial x}{\partial n}\, d\omega
    - \int \sum \frac{\partial^2 V}{\partial x^2}\, d\tau.
\]

Für die erste hier an der rechten Seite stehende Summe kann
man einen einfacheren Ausdruck setzen. Es ist nämlich:
\[
\sum \frac{\partial V}{\partial x}\, \frac{\partial x}{\partial n}
   = \frac{\partial V}{\partial x}\, \frac{\partial x}{\partial n}
   + \frac{\partial V}{\partial y}\, \frac{\partial y}{\partial n}
   + \frac{\partial V}{\partial z}\, \frac{\partial z}{\partial n}
  = \frac{\partial V}{\partial n},
\]
und für die zweite an der rechten Seite stehende Summe ist im
Obigen schon das Zeichen $\delta V$ eingeführt. Dadurch geht die Gleichung~(141)
über in:
\[
\tag{142}
\int \sum \frac{\partial U}{\partial x}\, \frac{\partial V}{\partial x}\, d\tau
  = - \int U\, \frac{\partial V}{\partial n}\, d\omega - \int U\, \Delta V\, d\tau.
\]
Neben dieser Gleichung muss natürlich auch die folgende, durch
blosse Vertauschung von $U$ und~$V$ aus ihr entstehende Gleichung
gelten:
\[
\tag{143}
\int \sum \frac{\partial U}{\partial x}\, \frac{\partial V}{\partial x}\, d\tau
  = - \int V\, \frac{\partial U}{\partial n}\, d\omega - \int V\, \Delta U\, d\tau,
\]
und aus der Verbindung dieser beiden Gleichungen ergiebt sich
%% -----File: 121.png---Folio 107-------
\[
\tag{144}
\int U\, \frac{\partial V}{\partial n}\, d\omega
  + \int U\, \Delta V\, d\tau
  = \int V\, \frac{\partial U}{\partial n}\, d\omega + \int V\, \Delta U\, d\tau.
\]
Diese drei Gleichungen (142),~(143) und~(144) drücken den \Person{Green}'schen
Satz aus.


\Section{41.}{Erweiterung der vorstehenden Gleichungen.}

Bei der im vorigen~§ gegebenen Ableitung der den \Person{Green}'schen
Satz ausdrückenden Gleichungen wurde vorausgesetzt, dass
die Functionen $U$~und~$V$ ihre Differentialcoefficienten erster und
zweiter Ordnung in dem gegebenen Raume überall endlich seien.
Die Gleichungen können aber unter Umständen auch gültig bleiben,
wenn unendliche Werthe der Functionen und ihrer Differentialcoefficienten
in dem Raume vorkommen, nur muss dann durch besondere
Betrachtungen nachgewiesen werden, dass die in den Gleichungen
vorkommenden Integrale bestimmte endliche Werthe behalten.
Unter den in dieser Beziehung vorkommenden Fällen ist
für uns der wichtigste der, wenn eine der Functionen die Potentialfunction
eines in dem Raume befindlichen, nach dem umgekehrten
Quadrate der Entfernung abstossend und anziehend wirkenden Agens
enthält, und über die Vertheilung dieses Agens keine beschränkende
Bedingung gemacht ist, so dass auch Anhäufungen endlicher Mengen
in Flächen, Linien und Puncten vorkommen können.

Es möge gleich der äusserste Fall, nämlich die Anhäufung
einer endlichen Menge des Agens in einem Puncte angenommen
werden. Es sei also ein in dem gegebenen Raume gelegener Punct~$p'$
mit den Coordinaten $x'$,~$y'$,~$z'$ gegeben, welcher die Menge~$q$ des
Agens enthalte, und indem wir annehmen, dass $V$ nur die Potentialfunction
dieses Agens sei, wollen wir setzen:
\[
\tag{145}
V = \epsilon \frac{q}{r},
\]
worin $r$ den Abstand irgend eines Punctes~$p$ mit den Coordinaten
$x$,~$y$,~$z$ vom Puncte~$p'$ bedeutet, so dass man hat:
\[
\tag{146}
r = \sqrt{(x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2},
\]
woraus folgt:
%% -----File: 122.png---Folio 108-------
\begin{align*}
\frac{\partial\dfrac{1}{r}}{\partial x} &= -\frac{x-x'}{r^3}\\[2ex]
\frac{\partial^2\dfrac{1}{r}}{\partial x^2} &= -\frac{1}{r^3} + 3\frac{(x-x')^2}{r^5}.
\end{align*}
In diesem Falle erhält man bei unendlicher Annäherung an den
Punct~$p'$ für die Function~$V$ und ihre ersten und zweiten Ableitungen
unendlich grosse Werthe von erster, zweiter und dritter
Ordnung, und es fragt sich, wie unter diesen Umständen die in
(142),~(143) und~(144) vorkommenden Integrale sich verhalten.

Die Integrale, welche nur die Function~$V$ selbst oder ihre
ersten Ableitungen enthalten, lassen sich kurz abmachen. Für diese
genügt es, Polarcoordinaten um den Punct~$p'$ einzuführen, um zu
bewirken, dass unter den Integralzeichen Alles endlich bleibt, wodurch
es selbstverständlich wird, dass auch die Integrale bestimmte
endliche Werthe haben.

Es handelt sich also nur noch um das Integral
\[
\int U\, \Delta V\, d\tau.
\]
Dieses lässt sich nach Einsetzung des in~(145) gegebenen Werthes
von $V$ so schreiben:
\[
\epsilon q \int U
  \Biggl( \frac{\partial^2\dfrac{1}{r}}{\partial x^2}
       + \frac{\partial^2\dfrac{1}{r}}{\partial y^2}
       + \frac{\partial^2\dfrac{1}{r}}{\partial z^2} \Biggr) d\tau
\]
und hiervon wollen wir zunächst nur den Theil
\[
\epsilon q \int U \frac{\partial^2\dfrac{1}{r}}{\partial x^2} d\tau
\]
betrachten. Gemäss Gleichung~(146) ist:
\[
\frac{\partial^2\dfrac{1}{r}}{\partial x^2} =
\frac{\partial^2\dfrac{1}{r}}{\partial x'^2}
\]
und man kann daher setzen:
%% -----File: 123.png---Folio 109-------
\[
\epsilon q \int U\, \frac{\partial^2 \dfrac{1}{r}}{\partial x^2}\,  d\tau =
\epsilon q \int U\, \frac{\partial^2 \dfrac{1}{r}}{\partial x'^2}\, d\tau.
\]
Da nun die Function~$U$ von den Coordinaten $x'$,~$y'$,~$z'$\DPtypo{,}{} des Punctes~$p'$
unabhängig ist, so kann man die vorige Gleichung auch so schreiben:
\[
\epsilon q \int U\, \frac{\partial^2 \dfrac{1}{r}}{\partial x^2}\, d\tau =
\epsilon q \int \frac{\partial^2 }{\partial x'^2} \left(\dfrac{U}{r}\right) d\tau
\]
und da ferner das Raumelement sich durch das Product $dx\, dy\, dz$
ersetzen lässt und somit die Integration nach Grössen auszuführen
ist, welche ebenfalls von $x'$,~$y'$,~$z'$ unabhängig sind, so kann man
die Differentiation auch ausserhalb des Integralzeichens andeuten
und somit schreiben:
\[
\epsilon q \int U\, \frac{\partial^2 \dfrac{1}{r}}{\partial x^2}\, d\tau
  = \epsilon q \frac{\partial^2 }{\partial x'^2} \int \frac{U}{r}\, d\tau.
\]

Denkt man sich nun die entsprechenden Gleichungen auch für
die beiden anderen Coordinatenrichtungen gebildet und alle drei
Gleichungen addirt, so kommt:
\[
\tag{147}
\int U\, \Delta V\, d\tau
  = \epsilon q
    \left(\frac{\partial^2 }{\partial x'^2}
        + \frac{\partial^2 }{\partial y'^2}
        + \frac{\partial^2 }{\partial z'^2}\right) \int \frac{U}{r}\, d\tau.
\]

Die hierin an der rechten Seite stehende Grösse können wir
nun nach der in §~16 angeführten und in den darauf folgenden~§§
bewiesenen Gleichung~(II.) leicht bestimmen. Indem wir dort
die Potentialfunction eines durch einen Raum stetig verbreiteten
Agens durch den Ausdruck
\[
\epsilon \int \frac{k'}{r}\, d\tau
\]
bestimmt hatten, worin $k'$ eine Function der Coordinaten $x'$,~$y'$,~$z'$
des Raumelementes~$d\tau$, nämlich die beim Puncte $(x', y', z')$ stattfindende
Dichtigkeit bedeutete, haben wir die Gleichung
\[
\Delta \left( \epsilon \int \frac{k'}{r}\, d\tau \right)
  = \DPtypo{=}{-} 4 \pi \epsilon k
\]
%% -----File: 124.png---Folio 110-------
bewiesen, welche wir unter Forthebung von~$\epsilon$, so schreiben können:
\[
\left(\frac{\partial^2 }{\partial x^2}
    + \frac{\partial^2 }{\partial y^2}
    + \frac{\partial^2 }{\partial z^2}\right) \int \frac{k'}{r}\, d\tau
  = -4 \pi k.
\]
Hierin bedeutet $k$ die Dichtigkeit am Puncte $(x, y, z)$. Natürlich
kann man unter gegenseitiger Vertauschung von $x$,~$y$,~$z$ und $x'$,~$y'$,~$z'$
auch ebensogut schreiben:
\[
\left(\frac{\partial^2 }{\partial x'^2}
    + \frac{\partial^2 }{\partial y'^2}
    + \frac{\partial^2 }{\partial z'^2}\right) \int \frac{k}{r}\, d\tau
  = -4 \pi k',
\]
und wenn man hierin $U$ an die Stelle von $k$ setzt, so erhält man:
\[
\tag{148}
\left(\frac{\partial^2 }{\partial x'^2}
    + \frac{\partial^2 }{\partial y'^2}
    + \frac{\partial^2 }{\partial z'^2}\right) \int \frac{U}{r}\, d\tau = -4 \pi U',
\]
Hierdurch geht~(147) über in:
\[
\tag{149}
\int U\, \Delta V\, d\tau = -4 \pi \epsilon q U',
\]
worin $U'$ den Werth der Function~$U$ an dem Puncte~$p'$, wo die
Menge~$q$ des Agens sich befindet, bedeutet.

Den so gewonnenen Ausdruck wollen wir nun vergleichen mit
demjenigen, welchen man erhalten würde, wenn das Agens, von
welchem $V$ die Potentialfunction ist, nicht in einem Puncte concentrirt,
sondern stetig durch den Raum verbreitet wäre. Dann
könnte man gemäss Gleichung~(II.) $\Delta V$ durch $-4\pi\epsilon k$ ersetzen,
und zugleich könnte man für das Product~$k\, d\tau$, welches die in dem
Raumelemente~$d\tau$ enthaltene Menge des Agens darstellt, $dq$~schreiben.
Dadurch würde man erhalten:
\[
\int U\, \Delta V\, d\tau = -4\pi\epsilon \int U\, dq.
\]
Diese Gleichung stimmt mit~(149) in der Weise überein, dass sie
die allgemeinere Form hat, und (149) als speciellen Fall umfasst.
Wendet man sie nämlich auf eine im Puncte~$p'$ concentrirte Menge
des Agens an, so hat für alle Elemente~$dq$ dieses Agens die Function~$U$
einen und denselben Werth~$U'$ und man kann daher setzen:
%% -----File: 125.png---Folio 111-------
\[
\int U\, dq = U' \int dq = U'q,
\]
wodurch die vorige Gleichung in~(149) übergeht.

Da nun für die beiden extremen Fälle, wo das Agens stetig
durch den Raum verbreitet, und wo es in einem Puncte concentrirt
ist, eine und dieselbe Gleichung gilt, so kann man es als selbstverständlich
betrachten, dass diese Gleichung auch für die Fälle,
wo das Agens auf Linien und Flächen zusammengedrängt ist, gültig
bleibt. In der That braucht man sich in diesen Fällen nur die
auf den einzelnen Linien- oder Flächenelementen befindlichen unendlich
kleinen Mengen des Agens in Puncten concentrirt zu denken,
um sofort wieder zu derselben Gleichung zu gelangen. Man kann
daher die Gleichung
\[
\tag{150}
\int U\, \Delta V\, d\tau = -4\pi\epsilon \int U\, dq
\]
für jede Vertheilung des Agens als gültig betrachten, mag es stetig
durch den Raum verbreitet oder auf Flächen, Linien oder Puncte
zusammengedrängt sein.

Nachdem wir gesehen haben, wie das Integral $\ds\int U\, \Delta v\, d\tau$ sich
gestaltet, wenn $V$ die Potentialfunction eines in dem gegebenen
Raume befindlichen Agens ist, wollen wir annehmen, $V$~sei von der
allgemeineren Gestalt
\[
\tag{151}
V = v + \epsilon \int \frac{dq}{r},
\]
worin das letzte Glied an der rechten Seite die genannte Potentialfunction
ist, und $v$ irgend eine andere Function darstellt, welche
aber die Bedingung erfüllt, \Emphasis{dass sie und ihre ersten und zweiten
Ableitungen an keiner Stelle des gegebenen Raumes
unendlich gross werden}. Sollte \zB\ $V$ die Potentialfunction
von Agens, welches sich ausserhalb des gegebenen Raumes befindet,
enthalten, so würde diese in $v$ mit einzubegreifen sein. Die Potentialfunction
von Agens, welches sich innerhalb des gegebenen
Raumes befindet, erfüllt in dem Falle, wo das Agens stetig durch
den Raum verbreitet ist, auch noch die für $v$ gestellten Bedingungen,
und eine solche Potentialfunction kann daher, sofern sie in $V$ vorkommt,
nach Belieben in $v$ oder in das letzte Glied einbegriffen
%% -----File: 126.png---Folio 112-------
werden. Ist dagegen von dem innerhalb des Raumes befindlichen
Agens ein Theil auf Flächen, Linien und Puncte zusammengedrängt,
so muss dessen Potentialfunction durch das letzte Glied dargestellt
werden. Indem wir nun für $V$ diese allgemeinere in~(151) gegebene
Form annehmen, haben wir statt~(150) zu setzen:
\[
\tag{152}
\int U\, \Delta V\, d\tau = \int U\, \Delta v\, d\tau - 4\pi\epsilon \int U\, dq.
\]

Alles, was im Vorstehenden über die Function~$V$ gesagt ist,
lässt sich auch auf die Function~$U$ anwenden. Denken wir uns,
$U$~enthalte die Potentialfunction von Agens, welches sich innerhalb
des gegebenen Raumes befinde und ganz oder zum Theil auf Flächen,
Linien oder Puncte zusammengedrängt sei, und dessen Element zum
Unterschiede von dem bei der Betrachtung von $V$ angenommenen
Agens mit $d\frakq$ bezeichnet werden möge, und ausserdem sei in $U$
eine Function~$u$ enthalten, welche die Bedingung erfüllt, dass sie
und ihre ersten und zweiten Ableitungen in dem gegebenen Raume
nirgends unendlich gross werden, und schreiben wir demgemäss $U$
in der allgemeineren Form:
\[
\tag{153}
U = u + \epsilon \int \frac{d\frakq}{r},
\]
so erhalten wir:
\[
\tag{154}
\int V\, \Delta U\, d\tau = \int V\, \Delta u\, d\tau - 4\pi\epsilon \int V\, d\frakq.
\]

Es können auch beide Functionen $U$~und~$V$ gleichzeitig die
in (151) und (153) gegebenen allgemeineren Formen haben; nur
wollen wir in diesem Falle annehmen, dass die Puncte des gegebenen
Raumes, in welchen sie unendlich oder unstetig werden, nicht
gerade zusammenfallen. Setzen wir dann in die am Schlusse des
vorigen~§ angeführten Gleichungen die unter (152)~und~(154) gegebenen
Ausdrücke ein, so kommt:
{\small%
\begin{align*}
\tag{155}
\int \sum \frac{\partial U}{\partial x}\, \frac{\partial V}{\partial x}\, d\tau
  &= -\int U\, \frac{\partial V}{\partial n}\, d\omega
    - \int U\, \Delta v\, d\tau + 4\pi\epsilon \int U\, dq.\\
%
\tag{156}
\int \sum \frac{\partial U}{\partial x}\, \frac{\partial V}{\partial x}\, d\tau
  &= -\int V\, \frac{\partial U}{\partial n}\, d\omega
    - \int V\, \Delta u\, d\tau + 4\pi\epsilon \int V\, d\frakq.
\end{align*}}%
%% -----File: 127.png---Folio 113-------
\begin{align*}
\tag{157}
\int U\, \frac{\partial V}{\partial n}\, d\omega
  &+ \int U\, \Delta v\, d\tau - 4\pi\epsilon\int U\, dq\\
  &= \int V\, \frac{\partial U}{\partial n}\, d\omega
   + \int V\, \Delta u\, d\tau - 4\pi\epsilon\int U\, d\frakq.
\end{align*}

Die Grösse~$\epsilon$, deren Einführung in diese Gleichungen nur den
Zweck hatte, dem letzten Gliede der in (151)~und~(153) gegebenen
Ausdrücke von $V$~und~$U$ ganz die von uns für die Potentialfunction
angewandte Form zu geben, kann, wenn es der Einfachheit
wegen zweckmässig scheint, gleich~$1$ gesetzt werden. Damit dann
jenes Glied doch noch die Form einer Potentialfunction behalte,
braucht man nur anzunehmen, die Einheit, nach welcher das Agens
gemessen wird, sei so gewählt, dass zwei Einheiten des Agens in
der Einheit der Entfernung die Einheit der Kraft auf einander
ausüben.


\Section{42.}{Satz über den nach der Normale einer geschlossenen
Fläche genommenen Differentialcoefficienten der
Potentialfunction.}

Indem wir nun zu Anwendungen der vorstehenden Gleichungen
schreiten, wollen wir zunächst für die Grösse~$U$ die einfachste Annahme
machen, dass sie constant und zwar gleich~$1$ sei. Dann ist:
\[
\frac{\partial U}{\partial x} = 0;\quad
\frac{\partial U}{\partial y} = 0;\quad
\frac{\partial U}{\partial z} = 0,
\]
und die Gleichung~(155) geht somit für diesen Fall über in:
\[
\tag{158}
\int \frac{\partial V}{\partial n}\, d\omega
  + \int \Delta v\, d\tau - 4\pi\epsilon\int dq = 0.
\]
Ferner wollen wir uns denken, $V$ sei die Potentialfunction eines
irgend wie, theils innerhalb, theils ausserhalb des gegebenen Raumes
vertheilten Agens. Indem wir dann $V$ in der unter~(151) gegebenen
Form schreiben, nämlich:
\[
V = v + \epsilon \int \frac{dq}{r},
\]
wollen wir unter $v$ die Potentialfunction des ausserhalb des gegebenen
Raumes befindlichen Agens verstehen, während die Potentialfunction
alles innerhalb des Raumes befindlichen Agens durch
%% -----File: 128.png---Folio 114-------
das letzte Glied dargestellt werden soll. Unter diesen Umständen
ist in dem gegebenen Raume überall $\Delta v = 0$, und das Integral $\ds\int dq$
stellt die ganze in dem gegebenen Raume enthaltene Menge des
Agens dar, welche wir mit $Q$ bezeichnen wollen. Dadurch geht
die Gleichung~(158) über in:
\[
\tag{159}
\int \frac{\partial V}{\partial n}\, d\omega = 4\pi\epsilon Q.
\]
Diese Gleichung ist der Ausdruck einer sehr einfachen Beziehung
zwischen dem nach der Normale einer geschlossenen Fläche genommenen
Differentialcoefficienten der Potentialfunction, für dessen
negativen Werth man auch die Normalkraft setzen kann, und der
von der Fläche eingeschlossenen Menge des Agens.

Sollte auf der Fläche selbst eine endliche Menge des Agens
befindlich sein, so würde der Differentialcoefficient $\dfrac{\partial V}{\partial n}$ für zwei
einander unendlich nahe liegende Puncte ausserhalb und innerhalb
der Fläche verschiedene Werthe haben, und man könnte alsdann
in der vorstehenden Gleichung sowohl den äusseren, als auch den
inneren Differentialcoefficienten in Anwendung bringen. Im ersteren
Falle würde die auf der Fläche befindliche Menge des Agens in~$Q$
mit einbegriffen sein, im letzteren Falle nicht.


\Section{43.}{Bestimmung der Potentialfunction eines durch eine
Fläche von dem betreffenden Raume getrennten Agens.}

Es sei eine geschlossene Fläche gegeben und entweder ausserhalb
derselben Agens in beliebiger Vertheilung vorhanden, für welches
die innere Potentialfunction bestimmt werden soll, oder innerhalb
Agens vorhanden, für welches die äussere Potentialfunction
bestimmt werden soll. Auf der Fläche selbst kann sich in beiden
Fällen ebenfalls eine endliche Menge des Agens befinden.

Es möge nun zuerst der Fall zur Betrachtung ausgewählt
werden, wo das Agens sich ausserhalb der Fläche befindet, und die
Potentialfunction in dem von ihr eingeschlossenen Raume bestimmt
werden soll.

Wir nehmen dann diese Potentialfunction als die in der Gleichung~(157)
enthaltene Function~$V$. Dann fällt in dem unter~(151)
%% -----File: 129.png---Folio 115-------
gegebenen allgemeinen Ausdrucke von $V$ das Integral mit $dq$ fort,
so dass $V$ und~$v$ gleichbedeutend werden. Zugleich gilt für den
ganzen von der Fläche eingeschlossenen Raum die Gleichung $\Delta V = 0$.
Demnach geht die Gleichung~(157) über in:
\[
\tag{160}
\int U\, \frac{\partial V}{\partial n}\, d\omega =
\int V\, \frac{\partial U}{\partial n}\, d\omega
  + \int V\, \Delta u\, d\tau - 4 \pi \epsilon \int V\, d\frakq.
\]

Ferner möge, um den Werth von $V$ für irgend einen in diesem
Raume gelegenen Punct~$p'$ mit den Coordinaten $x'$,~$y'$,~$z'$ zu
bestimmen, gesetzt werden:
\[
U = \frac{1}{r}
\]
worin $r$ den Abstand des Punctes $(x, y, z)$, auf welchen $U$ sich bezieht,
von jenem Puncte~$p'$ bedeutet. Aus der Vergleichung dieses
Ausdruckes von $U$ mit dem unter~(153) gegebenen allgemeinen
Ausdrucke ergiebt sich, dass man $u = 0$ setzen und das Integral
mit $d\frakq$ auf eine im Puncte~$p'$ concentrirte Menge~$\dfrac{1}{\epsilon}$ von Agens
beziehen muss. Demnach fällt in der obigen Gleichung~(160) das
vorletzte Glied fort, und im letzten ist zu setzen:
\[
\epsilon \int V\, d\frakq = V' \epsilon \int d\frakq = V'
\]
worin $V'$ den Werth von $V$ im Puncte~$p'$ bedeutet. Die Gleichung
lautet dann also:
\[
\int \frac{1}{r}\, \frac{\partial V}{\partial n}\, d\omega
  = \int V\, \frac{\partial\dfrac{1}{r}}{\partial n}\, d\omega - 4 \pi V',
\]
woraus folgt:
\[
\tag{161}
V' = \frac{1}{4\pi}
  \int \Biggl( V\, \frac{\partial\dfrac{1}{r}}{\DPtypo{d}{\partial} n}
       - \frac{1}{r}\, \frac{\partial V}{\partial n} \Biggr) d\omega.
\]
Mittelst dieser Gleichung kann man, wenn in allen Puncten der
gegebenen Fläche der Werth der Potentialfunction und ihres nach
der Normale genommenen Differentialcoefficienten bekannt ist, auch
für jeden Punct des von der Fläche eingeschlossenen Raumes den
Werth der Potentialfunction berechnen, ohne dass man dazu die
Vertheilung des Agens zu kennen braucht.
%% -----File: 130.png---Folio 116-------

Es möge nun der andere Fall betrachtet werden, wo das Agens
von der Fläche eingeschlossen ist, und die Potentialfunction in dem
äusseren Raume bestimmt werden soll. Damit dieser äussere Raum
allseitig begrenzt sei, wie es zur Anwendung unserer Gleichungen
nöthig ist, denken wir uns um irgend einen im Endlichen liegenden
Punct, \zB\ um den Anfangspunct der Coordinaten, eine Kugelfläche
mit dem unendlich grossen Radius~$R$ geschlagen, und betrachten
nun den zwischen der gegebenen Fläche und der unendlich
grossen Kugelfläche liegenden Raum als denjenigen, innerhalb dessen
die Potentialfunction bestimmt werden soll.

Dann können wir ebenso verfahren, wie vorher. Wir nehmen
die Potentialfunction als die in den Gleichungen vorkommende
Function~$V$, und um den Werth derselben für irgend einen Punct~$p'$
zu bestimmen, bezeichnen wir den Abstand des Punctes $(x, y, z)$
von jenem Puncte mit $r$ und setzen dann $U=\dfrac{1}{r}$. Dadurch erhalten
wir zur Berechnung von $V'$ wieder die Gleichung~(161),
bei deren Behandlung wir aber einige besondere Umstände berücksichtigen
müssen. Erstens ist bei der Bildung der nach der Normale
genommenen Differentialcoefficienten jetzt die Seite der Normale,
welche von der gegebenen geschlossenen Fläche nach Aussen
geht, als positiv zu rechnen, weil diese für den betrachteten \DPtypo{Raume}{Raum}
nach Innen geht. Auch ist, wenn auf der Fläche selbst sich eine
endliche Menge des Agens befindet, unter $\dfrac{\partial V}{\partial n}$ jetzt der äussere
Differentialcoefficient zu verstehen. Ferner muss das Flächenintegral
sich jetzt nicht blos auf die gegebene Fläche, sondern auch auf die
unendlich grosse Kugelfläche erstrecken.

Dieser letztere Umstand bringt aber keinen Unterschied in dem
Werthe des Integrals hervor. Da nämlich der Radius~$R$ unendlich
gross sein soll, so können gegen ihn alle endlichen Entfernungen
vernachlässigt werden. Demnach kann man für einen auf der
Kugelfläche gelegenen Punct für $\dfrac{1}{r}$ und~$V$ die Werthe setzen, welche
man erhalten würde, wenn der Punct~$p'$ und das ganze von der
gegebenen Fläche eingeschlossene Agens, dessen Menge wir mit $Q$
bezeichnen wollen, sich im Mittelpuncte der Kugelfläche befände,
nämlich:
\[
\frac{1}{r} = \frac{1}{R} \text{ und } V = \epsilon\frac{Q}{R},
\]
%% -----File: 131.png---Folio 117-------
und entsprechend erhält man für die Differentialcoefficienten, wenn
man zugleich berücksichtigt, dass die Normale die Richtung des
nach Innen gehenden Radius hat:
\[
\frac{\partial\dfrac{1}{r}}{\partial n} = \frac{1}{R^2} \text{ und }
\frac{\partial V}{\partial n} = \epsilon \frac{Q}{R^2}.
\]
Ferner können wir das Flächenelement der Kugelfläche anders ausdrücken,
indem wir das Element~$d\sigma$ des körperlichen Winkels am
Mittelpuncte einführen und dann setzen $d\omega = R^2\, d\sigma$. Durch Einsetzung
dieser Werthe geht das in~(161) vorkommende Integral,
soweit es sich auf die Kugelfläche bezieht, über in:
\[
\int \left(\epsilon\frac{Q}{R}\, \frac{1}{R^2}
  - \frac{1}{R}\, \epsilon\frac{Q}{R^2}\right) R^2\, d\sigma
  = \epsilon \int \left(\frac{Q}{R} - \frac{Q}{R}\right) d\sigma.
\]
Hierin ist jedes der beiden in der Klammer stehenden Glieder
unendlich klein, und das Integral würde daher schon aus diesem
Grunde verschwinden, selbst wenn auch nicht noch der andere
Grund hinzukäme, dass die beiden Glieder sich gegenseitig aufheben.
Demnach können wir bei der Ausführung der in~(161) angedeuteten
Integration von der Kugelfläche absehen, und brauchen,
wie im vorigen Falle, nur die gegebene Fläche zu berücksichtigen.


\Section{44.}{Betrachtung des Falles, wo nur die Potentialfunction
selbst in der Fläche gegeben ist.}

Es sei wiederum, wie im vorigen~§, eine geschlossene Fläche
gegeben, und angenommen, dass sich entweder ausserhalb oder innerhalb
derselben Agens in beliebiger Vertheilung befinde. Es möge
aber jetzt nicht der Werth der Potentialfunction und ihres nach
der Normale genommenen Differentialcoefficienten, sondern nur der
Werth der Potentialfunction selbst für jeden Punct der Fläche gegeben
sein. Es fragt sich, was sich in diesem Falle über die im
resp.\ inneren oder äusseren Raum geltenden Werthe der Potentialfunction
schliessen lässt.

Zu dieser Betrachtung wollen wir die im vorigen~§ für $U$ angenommene
Form~$\dfrac{1}{r}$ noch durch Hinzufügung eines zweiten Gliedes
%% -----File: 132.png---Folio 118-------
vervollständigen, indem wir setzen:
\[
\tag{162}
U = u + \frac{1}{r},
\]
worin $u$ eine Function der Coordinaten bedeutet, welche folgende
Eigenschaften haben soll. In der gegebenen Fläche soll $u$ überall
den Werth~$-\dfrac{1}{r}$ haben. In dem ganzen betrachteten resp.\ inneren
oder äusseren Raume soll überall die Gleichung $\Delta u = 0$ gelten.
Endlich soll bei der Betrachtung des äusseren Raumes noch die
Bedingung gestellt werden, dass in unendlichen Entfernungen die
Producte $Ru$ und $R^2\, \dfrac{\partial u}{\partial R}$, worin $R$ den Abstand des betrachteten
unendlich entfernten Punctes von einem im Endlichen gelegenen
Puncte, \zB\ dem Anfangspuncte der Coordinaten, bedeutet, nicht
unendlich gross werden.

Indem man diese Form von $U$ auf die Gleichung~(160) anwendet,
und im Uebrigen so verfährt, wie im vorigen~§, erhält
man statt der Gleichung~(161) die folgende:
\[
V' = \frac{1}{4\pi} \int
  \Biggr( V \frac{\partial \left( u + \dfrac{1}{r} \right)}{\partial n}
  - \left( u + \frac{1}{r} \right) \frac{\partial V}{\partial n} \Biggr) d\omega,
\]
worin auch vom ersten Differentialcoefficienten nach $n$ das von $\dfrac{\partial V}{\partial n}$
schon oben Gesagte gilt, dass er an der nach dem betrachteten
Raume hin liegenden Seite der Fläche zu nehmen ist, und worin
die Integration wieder nur über die gegebene Fläche ausgeführt zu
werden braucht, weil für die unendlich grosse Kugelfläche, nach
Ersetzung von $d\omega$ durch $R^2\, d\sigma$, in beiden unter dem Integralzeichen
befindlichen Gliedern der Factor von $d\sigma$ unendlich klein wird.
Da nun aber nach unserer Voraussetzung in allen Puncten der gegebenen
Fläche die Summe $u + \dfrac{1}{r}$ den Werth Null hat, so fällt das
zweite unter dem Integralzeichen stehende Glied fort, und es bleibt:
\[
\tag{163}
V' = \frac{1}{4\pi} \int V \frac{\partial \left( u + \dfrac{1}{r} \right)}{\DPtypo{dn}{\partial n}}\, d\omega.
\]
%% -----File: 133.png---Folio 119-------

Mit Hülfe dieser Gleichung würde man, wenn die Function~$u$
bekannt wäre, aus den Werthen, welche $V$ in der gegebenen Fläche
hat, auch für jeden Punct des resp.\ inneren oder äusseren Raumes
den Werth von $V$ berechnen können. Ist die Function~$u$ nicht bekannt,
lässt sich aber nachweisen, \Emphasis{dass es stets eine und auch
nur Eine Function~$u$ giebt, welche den obigen Bedingungen
genügt}, so kann man aus der Gleichung zwar nicht ohne
Weiteres die Werthe von $V$ berechnen, aber man kann aus ihr
schliessen, dass sie vollkommen bestimmt sind, und man erhält dann
also folgenden wichtigen Satz: \Emphasis{durch die Werthe, welche die
Potentialfunction in der gegebenen Fläche hat, sind auch
die Werthe der Potentialfunction in allen Puncten des
resp.\ inneren oder äusseren Raumes vollständig bestimmt}.

Befindet sich das Agens nur auf der Fläche selbst, so gilt der
vorstehende Satz für den inneren und äusseren Raum gleichzeitig,
und man kann ihn dann so aussprechen: \Emphasis{wenn für ein auf einer
geschlossenen Fläche befindliches Agens die Potentialfunction
auf der Fläche selbst gegeben ist, so ist sie dadurch
auch im ganzen inneren und äusseren Raume bestimmt}.

Ferner ist für den Fall, wo es sich um die Potentialfunction
in dem äusseren Raume handelt, noch zu bemerken, dass statt Einer
geschlossenen Fläche, welche Agens umgiebt, auch deren mehrere
gegeben sein können, was aber als so selbstverständlich anzusehen
ist, dass es nicht nöthig sein wird, darauf noch ferner besonders
hinzuweisen.

Es kommt nun darauf an, den oben erwähnten Nachweis von
der eindeutigen Existenz der Function~$u$ zu führen.


\Section{45.}{\Person{Green's} Nachweis von der eindeutigen Existenz
der Function~$u$.}

\Person{Green}, welcher die Function~$u$ zuerst eingeführt hat, stellt,
um sich von ihrer Existenz zu überzeugen, eine eigenthümliche, auf
die Electricität bezügliche Betrachtung an.

Man nehme an, die gegebene Fläche sei für Electricität vollkommen
leitend, und stehe mit der Erde in leitender Verbindung,
was man sich durch einen unendlich dünnen Draht bewirkt denken
kann. Ferner nehme man an, im Puncte~$p'$ sei die Menge~$\dfrac{1}{\epsilon}$ von
%% -----File: 134.png---Folio 120-------
positiver Electricität concentrirt. Diese Electricität wird durch Influenz
bewirken, dass positive Electricität von der Fläche in die
Erde abströmt, und die Fläche eine negative Ladung annimmt,
welche sich so über dieselbe vertheilen muss, dass die gesammte
Potentialfunction der in $p'$ und der auf der Fläche befindlichen
Electricität auf der ganzen Fläche constant ist, und zwar, wie in
der Erde, den Werth Null hat. Verstehen wir nun unter $u$ die
Potentialfunction der auf der Fläche befindlichen Electricität für
sich allein, und bedenken, dass die Potentialfunction der in $p'$ befindlichen
Electricitätsmenge durch $\dfrac{1}{r}$ dargestellt wird, so erhalten
wir für alle Puncte der Fläche die Gleichung:
\[
u + \frac{1}{r} = 0.
\]
Dadurch ist die erste Bedingung, dass $u$ in der Fläche überall den
Werth~$-\dfrac{1}{r}$ haben soll, erfüllt. Ferner sieht man sofort, dass die
so bestimmte Function~$u$ sowohl für den inneren als auch für den
äusseren Raum der Bedingung $\Delta u=0$ genügt, und dass in unendlichen
Entfernungen weder $Ru$ noch $R^2\, \dfrac{du}{dR}$ unendlich gross werden.

Giebt man es also als sicher zu, dass unter den genannten
Umständen immer ein vollkommen bestimmter Gleichgewichtszustand
der Electricität auf der Fläche entstehen muss, so ist damit auch
die Existenz einer bestimmten Function~$u$, welche allen gestellten
Bedingungen genügt, bewiesen. Es ist sogar für weitere Schlüsse
bequem, dass die Function~$u$ auf diese Weise eine so einfache physicalische
Bedeutung gewonnen hat. Aber als ein streng mathematischer
Beweis dafür, dass immer eine und nur Eine Function
existirt, welche den Bedingungen entspricht, kann diese \Person{Green}'sche
Betrachtung nicht wohl gelten.

Es ist daher dieser Gegenstand später noch von \Person{Gauss}, \Person{Thomson}
und \Person{Lejeune-Dirichlet} behandelt und die Art, wie Letzterer
ihn zum Abschluss zu bringen gesucht hat, möge im folgenden~§
nach den von \Person{Grube} veröffentlichten \Person{Dirichlet}'schen Vorlesungen
mitgetheilt werden, obwohl auch gegen diese Entwickelung Einwendungen
in Bezug auf ihre mathematische Strenge erhoben sind.
%% -----File: 135.png---Folio 121-------


\Section{46.}{\Person{Dirichlet}'sche Verallgemeinerung des vorstehenden
Satzes und Beweis derselben.}

\Person{Dirichlet} hat dem Satze folgende allgemeinere Form gegeben.

\Emphasis{Es giebt für einen beliebigen begrenzten Raum immer
eine und nur Eine Function~$u$ von $x$,~$y$,~$z$, die selbst und
deren Differentialcoefficienten erster Ordnung stetig
sind, die innerhalb jenes ganzen Raumes die Gleichung
$\Delta u = 0$ erfüllt, und die endlich in jedem Puncte der Oberfläche
einen vorgeschriebenen Werth hat.}

Diesen erweiterten Satz nennt man jetzt häufig das \Emphasis{\Person{Dirichlet}'sche
Princip}, indessen darf dabei der Antheil, welchen \Person{Gauss}
und besonders \Person{Green} an der Aufstellung desselben gehabt haben,
nicht ausser Acht gelassen werden.

Der von \Person{Dirichlet} geführte Beweis ist folgender.

Man nehme zuerst eine allgemeinere Function~$U$ an, welche
von den drei oben gestellten Bedingungen nur den beiden zu genügen
braucht, dass sie und ihre Differentialcoefficienten erster Ordnung
stetig sind, und dass sie in jedem Puncte der Oberfläche den
vorgeschriebenen Werth hat, und bilde mit dieser Function folgende
Grösse:
\[
\tag{164}
W = \int \left[
    \left( \frac{\partial U}{\partial x} \right)^2
  + \left( \frac{\partial U}{\partial y} \right)^2
  + \left( \frac{\partial U}{\partial z} \right)^2 \right] d\tau.
\]
Da es nun offenbar unendlich viele Functionen~$U$ geben muss,
welche den beiden genannten Bedingungen genügen, so wird man
unter Anwendung derselben auch für $W$ unendlich viele Werthe
erhalten. Alle diese Werthe müssen positiv sein, da der unter dem
Integralzeichen befindliche Ausdruck wesentlich positiv ist. Demnach
muss für irgend eine der Functionen~$U$ die Grösse~$W$ ein Minimum
werden, und diese specielle Function, welche ausser den oben
genannten Bedingungen noch der Bedingung genügt, dass sie $W$
zum Minimum macht, möge mit $u$ bezeichnet werden. Es lässt sich
nun beweisen, dass diese Function die Gleichung $\Delta u = 0$ erfüllt.

Wir können nämlich zwischen der speciellen Function~$u$ und
irgend einer anderen der unendlich vielen Functionen~$U$ folgende
Gleichung bilden:
%% -----File: 136.png---Folio 122-------
\[
U = u + hs,
\]
worin $h$ eine beliebige Constante ist und $s$ eine Function bedeutet,
welche den beiden Bedingungen zu genügen hat, dass sie und ihre
Differentialcoefficienten erster Ordnung stetig sind, und dass sie in
allen Puncten der Oberfläche den Werth Null hat. Aus der vorigen
Gleichung ergiebt sich:
\begin{align*}
\frac{\partial U}{\partial x} &= \frac{\partial u}{\partial x} + h\, \frac{\partial s}{\partial x} \\
\frac{\partial U}{\partial y} &= \frac{\partial u}{\partial y} + h\, \frac{\partial s}{\partial y} \\
\frac{\partial U}{\partial z} &= \frac{\partial u}{\partial z} + h\, \frac{\partial s}{\partial z}.
\end{align*}
Durch Quadrirung und Addition dieser Gleichungen und nachherige
Integration erhalten wir, wenn wir zur Abkürzung wieder das in
§~40 eingeführte Summenzeichen anwenden:
{\footnotesize%[** TN: Wide display]
\[
\int \sum \left( \frac{\partial U}{\partial x} \right)^2 d\tau
  = \int \sum \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)^2 d\tau
  + 2h  \int \sum \frac{\partial u}{\partial x}\, \frac{\partial s}{\partial x}\, d\tau
  + h^2 \int \sum \left( \frac{\partial s}{\partial x} \right)^2 d\tau.
\]}%
Da nun nach der Bedingung, dass $u$ diejenige der Functionen~$U$
sein soll, für welche $W$ das Minimum wird, die Differenz
\[
\int \sum \left( \frac{\partial U}{\partial x} \right)^2 d\tau -
\int \sum \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)^2 d\tau
\]
nicht negativ sein kann, so kann nach der vorstehenden Gleichung
auch die Summe
\[
2h \int \sum \frac{\partial u}{\partial x}\, \frac{\partial s}{\partial x}\, d\tau
  + h^2 \int \sum \left( \frac{\partial s}{\partial x} \right)^2 d\tau
\]
nicht negativ sein. Diese Bedingung aber kann für beliebige Werthe
von $h$ nur dadurch erfüllt sein, dass
\[
\tag{165}
\int \sum \frac{\partial u}{\partial x}\, \frac{\partial s}{\partial x}\, d\tau = 0,
\]
denn, wenn dieses Integral einen angebbaren Werth hätte, so könnte
man das Vorzeichen und die Grösse von $h$ so wählen, dass das
erste Glied der vorstehenden Summe negativ und dem absoluten
%% -----File: 137.png---Folio 123-------
Werthe nach grösser als das zweite Glied wäre, wodurch die ganze
Summe negativ werden würde.

Nun lässt sich nach dem \Person{Green}'schen Satze für die Functionen
$u$~und~$s$ folgende Gleichung bilden:
\[
\tag{165a.}
\int \sum \frac{\partial u}{\partial x}\, \frac{\partial s}{\partial x}\, d\tau
  = - \int s\, \frac{\partial u}{\partial n}\, d\omega - \int s\, \Delta u\, d\tau.
\]
Das hierin an der linken Seite stehende Integral ist dem oben gesagten
nach gleich Null. Ferner ist auch das erste an der rechten
Seite stehende Integral gleich Null, weil $s$ an der Oberfläche überall
den Werth Null hat. Demnach geht die Gleichung über in
\[
\tag{166}
\int s\, \Delta u\, d\tau = 0.
\]
Da nun $s$ im Innern des gegebenen Raumes eine beliebige, nur an
die Bedingung der Stetigkeit gebundene Function ist, so kann diese
Gleichung nur dadurch allgemein erfüllt werden, dass $\Delta u$ überall
in dem Raume gleich Null ist, denn, wenn dieses nicht der Fall
wäre, so könnte man $s$ so annehmen, dass es überall mit $\Delta u$ gleiches
Vorzeichen hätte, so dass das Product $s\, \Delta u$ überall positiv wäre
und das Integral daher nicht Null werden könnte. Demnach genügt
die specielle Function~$u$, welche $W$ zum Minimum macht,
neben den beiden für die allgemeine Function~$U$ gestellten Bedingungen
auch noch der dritten, dass $\Delta u = 0$, und da es, wie
schon gesagt, unter den Functionen~$U$ immer eine geben muss,
welche $W$ zum Minimum macht, so muss es auch immer eine Function
geben, welche den drei in dem Satze gestellten Bedingungen
genügt.

Es bleibt nun noch zu beweisen, dass es nur Eine solche Function
giebt.

Zunächst ist durch eine Umkehrung der vorigen Betrachtungen
leicht ersichtlich, dass jede Function~$U$, welche die Bedingung
$\Delta U = 0$ erfüllen würde, auch $W$ zu einem Minimum machen müsste,
und es braucht also nur noch bewiesen zu werden, dass ausser jener
bestimmten Function $u$ keine andere der Functionen~$U$ die Grösse~$W$
zu einem Minimum macht.

Angenommen nun, es gebe ausser $u$ noch eine zweite Function
$u+s$, welche $W$ zu einem Minimum mache, so wollen wir andere
Functionen~$U$, welche von $u+s$ nur wenig abweichen, durch $u+hs$
%% -----File: 138.png---Folio 124-------
darstellen, worin $h$ eine Constante sein soll, die sich nur wenig von
$1$ unterscheidet. Es würde dann die Differenz
\[
\int \sum \left( \frac{\partial(u + hs)}{\partial x} \right)^2 d\tau
  - \int \sum \left( \frac{\partial(u + s)}{\DPtypo{dx}{\partial x}} \right)^2 d\tau
\]
nicht negativ werden dürfen.

Indem wir nun, wie oben, die Differentialcoefficienten der Summen
$u+hs$ und~$u+s$ in die betreffenden Summen von Differentialcoefficienten
zerlegen, und dabei die Gleichung~(165), welche für
jede Function~$s$ gelten muss, berücksichtigen, erhalten wir:
\begin{align*}
\int \sum \left( \frac{\partial(u + hs)}{\partial x} \right)^2 d\tau
  &= \int \sum \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)^2
     + h^2 \int \sum \left( \frac{\partial s}{\partial x} \right)^2 d\tau \\
%
\int \sum \left( \frac{\partial(u + s)}{\partial x}\right)^2 d\tau
  &= \int \sum \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)^2
     + \int \sum \left( \frac{\partial s}{\partial x} \right)^2 d\tau
\end{align*}
und die vorige Differenz, welche nicht negativ sein darf, geht daher
über in:
\[
(h^2 - 1) \int \sum \left( \frac{\partial s}{\partial x} \right)^2 d\tau.
\]
Da nun $h^2$ eben so wohl kleiner, wie grösser als $1$ sein kann, so
kann der Factor $h^2-1$ negativ werden, und somit muss, wenn
das Product nicht negativ werden soll, der andere Factor Null sein,
und wir erhalten daher, wenn wir die angedeutete Summe jetzt
vollständig ausschreiben:
\[
\tag{167}
\int \left[ \left( \frac{\partial s}{\partial x} \right)^2
          + \left( \frac{\partial s}{\partial y} \right)^2
          + \left( \frac{\partial s}{\partial z} \right)^2 \right] d\tau = 0.
\]
Diese Gleichung kann nur dadurch erfüllt sein, dass für den ganzen
Raum ist:
\[
\frac{\partial s}{\partial x} = 0;\quad
\frac{\partial s}{\partial y} = 0;\quad
\frac{\partial s}{\partial z} = 0,
\]
und demgemäss muss $s$ constant sein. Da ferner an der Oberfläche,
gemäss den für die Function~$s$ gestellten Bedingungen, $s=0$ sein
muss, so kann $s$ auch im Innern nur den Werth Null haben, und
%% -----File: 139.png---Folio 125-------
die Function $u+s$ ist daher mit $u$ identisch. Folglich ist $u$ die
einzige Function, welche $W$ zu einem Minimum macht und demgemäss
den drei in dem Satze gestellten Bedingungen genügt.

Den vorstehend mitgetheilten Beweis, welcher sich auf den
allgemeineren Fall, wo die Function~$u$ an jedem Puncte der Oberfläche
irgend einen vorgeschriebenen Werth haben soll, bezieht,
kann man natürlich auch auf den specielleren Fall, wo die Function
den bestimmten Werth~$-\dfrac{1}{r}$ haben soll, anwenden. Auch
für den Fall, wo der äussere Raum betrachtet wird, und wo also
zu der gegebenen Fläche noch die unendlich grosse Kugelfläche
hinzukommt, reichen die für die \Person{Green}'sche Function und ihre
Ableitung nach $R$ in Bezug auf unendliche Entfernungen gestellten
Bedingungen aus, um das Flächenintegral in~(165a.)\ zum Verschwinden
zu bringen und so den \Person{Dirichlet}'schen Beweis anwendbar
zu machen.


\Section{47.}{Flächenbelegung, deren Potentialfunction in der Fläche
selbst vorgeschriebene Werthe hat.}

Für eine geschlossene Fläche \Emphasis{giebt es stets eine und nur
Eine Vertheilung von Agens auf der Fläche selbst, deren
Potentialfunction in jedem Puncte der Fläche einen vorgeschriebenen
Werth hat}.

In §~44 haben wir gesehen, dass für den Fall, wo das Agens
sich nur auf der Fläche befindet, durch die in der Fläche geltenden
Werthe der Potentialfunction, auch die Potentialfunction im
inneren und äusseren Raume vollkommen bestimmt ist. Ist aber
die Potentialfunction in beiden Räumen bestimmt, so sind es auch
ihre innerhalb und ausserhalb der Fläche nach der Normale genommenen
Differentialcoefficienten. Bezeichnen wir nun, indem wir
die Normale nach einer bestimmten Seite, \zB\ nach Aussen hin,
als positiv rechnen, den äusseren Differentialcoefficienten dicht an
der Fläche mit $\left( \dfrac{\partial V}{\partial n} \right)_{+0}$ und den inneren Differentialcoefficienten
dicht an der Fläche mit $\left( \dfrac{\partial V}{\partial n} \right)_{-0}$, so gilt für die Flächendichtigkeit~$h$
%% -----File: 140.png---Folio 126-------
die in §~33 unter~(III.) gegebene Gleichung, welche wir in
folgender Form schreiben können:
\[
h = -\frac{1}{4\pi \epsilon}
  \left[ \left( \frac{\partial V}{\partial n} \right)_{+0}
       - \left( \frac{\partial V}{\partial n} \right)_{-0} \right].
\]
Somit ist die Flächendichtigkeit, welche der gestellten Bedingung
genügt, vollständig bestimmt, und dadurch der Satz bewiesen.

Natürlich kann dieser Satz, welcher im Vorigen nur für Eine
geschlossene Fläche ausgesprochen ist, auch sofort auf beliebig viele
geschlossene Flächen ausgedehnt werden.


\Section{48.}{Ersetzung des durch einen Raum verbreiteten Agens
durch Agens, welches sich nur auf der Grenzfläche des
Raumes befindet.}

Es sei eine Quantität Agens gegeben, welche durch den von
einer geschlossenen Fläche umgrenzten Raum beliebig verbreitet
ist, und sich auch zum Theil auf der Oberfläche befinden kann.
\Emphasis{Dann giebt es stets eine und nur Eine Vertheilung von
Agens auf der Fläche allein, welche im ganzen äusseren
Raume dieselbe Potentialfunction hat, wie das gegebene
Agens.} Ebenso giebt es in dem Falle, wo das Agens sich ausserhalb
der Fläche befindet, \Emphasis{eine und nur Eine Vertheilung auf
der Fläche allein, welche im ganzen inneren Raume dieselbe
Potentialfunction hat, wie das gegebene Agens.}

Da es nach dem vorigen~§ immer eine und nur Eine Vertheilung
von Agens auf der Fläche giebt, deren Potentialfunction in
jedem Puncte der Fläche einen vorgeschriebenen Werth hat, so
muss es auch eine und nur Eine Vertheilung auf der Fläche geben,
deren Potentialfunction in allen Puncten der Fläche gleich der Potentialfunction
des gegebenen Agens ist. Wenn aber die beiden
Potentialfunctionen an der Fläche überall einander gleich sind, so
müssen sie auch in dem ganzen resp.\ äusseren oder inneren Raume
einander gleich sein.
%% -----File: 141.png---Folio 127-------


\Section{49.}{Bestimmung einer Function~$V$, welche die Gleichung
$\Delta V = - 4\pi \epsilon k$ erfüllt.}

Im Obigen wurde als eine der wichtigsten Eigenschaften der
Potentialfunction die für sie stattfindende Gültigkeit der partiellen
Differentialgleichung $\Delta V = - 4\pi \epsilon k$ bewiesen, worin $k$ die
Dichtigkeit des betreffenden Agens bedeutet, welche natürlich für
die Stellen, wo sich kein Agens befindet, gleich Null zu setzen
ist. Es möge nun noch eine umgekehrte Betrachtung angestellt
werden.

Es werde nämlich für irgend eine Function~$V$ der Raumcoordinaten,
von der vorausgesetzt werden soll, dass sie und ihre ersten
und zweiten Ableitungen nirgends unendlich gross werden, die Annahme
gemacht, dass die Gleichung
\[
\Delta V = - 4\pi \epsilon k
\]
gültig sei, worin $k$ irgend eine Function der Coordinaten bedeuten
soll, welche innerhalb eines ganz im Endlichen liegenden Raumes
beliebige endliche Werthe haben kann, ausserhalb dieses Raumes
aber bis in's Unendliche überall Null ist. Ferner möge noch die
Bedingung hinzugefügt werden, dass in unendlich grosser Entfernung~$R$
vom Anfangspuncte der Coordinaten sowohl $V$ als auch
das Product $R\, \dfrac{\partial V}{\partial R}$ unendlich klein werden. Dann lässt sich beweisen,
\Emphasis{dass durch diese Bedingungen die Function~$V$ vollkommen
bestimmt ist, indem sie durch die Potentialfunction
eines Agens, welches die Raumdichtigkeit~$k$ hat,
dargestellt wird}.

Wir benutzen dazu die \Person{Green}'sche Gleichung~(157), welche
nach den über $V$ gemachten Annahmen eine vereinfachte Form
erhält. Betrachtet man nämlich die unter~(151) gegebene allgemeine
Form von~$V$, so sieht man, dass darin für den gegenwärtigen
Fall das Integral mit $dq$ fortgelassen und $v$ mit $V$ als gleichbedeutend
angesehen werden kann, weil $V$ die dort für $v$ gestellten
Bedingungen erfüllt. Ferner ist für~$\Delta v$, welches nach dem ebengesagten
mit $\Delta V$ gleichbedeutend ist, der oben gegebene Werth
$-4\pi \epsilon k$ zu setzen. Dadurch geht die Gleichung über in:
%% -----File: 142.png---Folio 128-------
\begin{align*}
\tag{168}
\int U\, \frac{\partial V}{\partial n}\, d\omega - 4\pi \epsilon \int Uk\, d\tau
  &= \int V\, \frac{\partial U}{\partial n}\, d\omega \\
  &+ \int V\, \Delta u\, d\tau - 4\pi \epsilon \int V\, d\frakq.
\end{align*}

Um nun den Werth~$V'$, welchen die Function~$V$ an einem
beliebig gewählten Puncte~$p'$ mit den Coordinaten $x'$,~$y'$,~$z'$ hat,
zu bestimmen, nehmen wir für $U$ dieselbe Form an, wie in §~43,
nämlich:
\[
U = \frac{1}{r},
\]
worin $r$ den Abstand des Punctes~$p$ mit den Coordinaten $x$,~$y$,~$z$
von jenem Puncte~$p'$ bedeutet. Dann folgt, wie in §~43 auseinander
gesetzt wurde, dass man zu setzen hat:
\[
u = 0 \text{ und } \epsilon \int V\, d\frakq = V',
\]
und die Gleichung~(168) geht daher über in:
\[
\int \frac{1}{r}\, \frac{\partial V}{\partial n}\, d\omega
  - 4\pi\epsilon \int \frac{k}{r}\, d\tau
  = \int V \frac{\partial \dfrac{1}{r}}{\partial n}\, d\omega - 4\pi V',
\]
oder anders geordnet:
\[
\tag{169}
V' = \epsilon \int \frac{k}{r}\, d\tau
  + \frac{1}{4\pi} \int
    \Biggl( V\frac{\partial \dfrac{1}{r}}{\partial n}
           -\frac{1}{r}\, \frac{\partial V}{\partial n} \Biggr) d\omega.
\]

Diese Gleichung wollen wir auf den ganzen Raum, welcher
von einer um den Anfangspunct der Coordinaten mit dem unendlich
grossen Radius~$R$ geschlagenen Kugelfläche eingeschlossen ist,
anwenden. Dann bezieht sich das in ihr vorkommende Flächenintegral
auf die unendlich grosse Kugelfläche. In diesem Integrale
können wir, wie es in §~43 geschah, das Flächenelement~$d\omega$ durch
$R^2\, d\sigma$ ersetzen, worin $d\sigma$ das Element des körperlichen Winkels
bedeutet, ferner für $\dfrac{1}{r}$ und $\dfrac{\partial \dfrac{1}{r}}{\partial n}$ ihre Werthe $\dfrac{1}{R}$ und~$\dfrac{1}{R^2}$ setzen und
%% -----File: 143.png---Folio 129-------
endlich $\dfrac{\partial V}{\partial n}$ in $-\dfrac{\partial V}{\partial R}$ umformen. Dadurch nimmt das Integral folgende
Form an:
\[
\int \left( V + R \frac{\partial V}{\partial R} \right) d\sigma.
\]
Da nun gemäss der über $V$ gemachten Annahme die beiden hier
in Klammer stehenden Glieder unendlich klein sind, so verschwindet
das ganze Integral, und die Gleichung~(169) geht über in:
\[
\tag{170}
V' = \epsilon \int \frac{k}{r}\, d\tau.
\]
Hierdurch ist die Behauptung, dass die Function~$V$, von welcher
$V'$ den auf den Punct $(x', y', z')$ bezüglichen Werth bedeutet, vollkommen
bestimmt ist, und durch die Potentialfunction eines Agens
mit der Dichtigkeit~$k$ dargestellt wird, bewiesen.


\Section{50.}{Ausnahmestellen und deren Absonderung.}

Im vorigen~§ wurde von der Function~$V$ vorausgesetzt, dass
sie und ihre ersten und zweiten Ableitungen nirgends unendlich
gross seien, und dass überall die Gleichung $\Delta V = - 4 \pi \epsilon k$ erfüllt
sei. Wir wollen nun die Betrachtung in der Weise erweitern,
dass wir Ausnahmestellen zulassen, nämlich Flächen, Linien und
Puncte, in welchen $\Delta V$ der obigen Gleichung nicht genügt und
überhaupt keinen endlichen Werth hat, für welche dagegen die
anderen früher besprochenen und in §~39 übersichtlich zusammengestellten
characteristischen Gleichungen in Kraft treten, nämlich
für Flächen die Gleichung~(III.), für Linien die Gleichungen~(IV.)
und für Puncte die Gleichungen~(Va.).

Um beim Vorhandensein solcher Ausnahmestellen doch die
Gleichung (169) anwenden zu können, umgeben wir die Stellen mit
Flächen, durch welche sie vom übrigen Raume abgesondert werden.

Wenn als Ausnahmestelle eine Fläche gegeben ist, so legen
wir neben dieselbe zu beiden Seiten zwei unendlich nahe parallele
Flächen und verbinden deren Ränder durch eine unendlich schmale
Fläche, welche so gestaltet ist, dass sie von jeder auf dem Rande
%% -----File: 144.png---Folio 130-------
der gegebenen Fläche senkrecht stehenden Ebene in einem unendlich
kleinen Halbkreise geschnitten wird. Die beiden parallelen
Flächen und die Randfläche zusammen bilden unsere Absonderungsfläche.
Sollte die gegebene Fläche geschlossen sein, so würde natürlich
die Randfläche fortfallen.

Wenn als Ausnahmestelle eine Linie gegeben ist, so construiren
wir die Absonderungsfläche in folgender Weise. Um jeden Punct
der Linie denken wir uns in einer auf der Linie senkrechten Ebene
einen Kreis mit dem unendlich kleinen Radius~$\rho$ geschlagen. Diese
sämmtlichen Kreise bilden zusammen eine cylinderartige Fläche,
welche wir uns an den Enden durch zwei um die Endpuncte der
Linie geschlagene Halbkugeln mit dem Radius~$\rho$ geschlossen denken.
Sollte die Linie geschlossen sein, so würden die Endflächen
fortfallen.

Wenn als Ausnahmestelle ein Punct gegeben ist, so nehmen
wir als Absonderungsfläche einfach eine um den Punct geschlagene
unendlich kleine Kugelfläche.

Nachdem auf diese Weisen alle Ausnahmestellen von Flächen
umgeben sind, können wir die Gleichung~(169), nämlich:
\[
V' = \epsilon \int \frac{k}{r}\, d\tau
  + \frac{1}{4\pi} \int
  \Biggl( V\, \frac{\partial \dfrac{1}{r}}{\partial n}
        -\frac{1}{r}\, \frac{\partial V}{\partial n} \Biggr) d\omega,
\]
auf denjenigen Raum anwenden, welcher von dem ganzen, innerhalb
der unendlich grossen Kugelfläche liegenden Raume nach Ausschluss
der von den Absonderungsflächen begrenzten unendlich kleinen
Räume übrig bleibt. Dabei ist zu bemerken, dass es für das
erste an der rechten Seite stehende Integral nur einen unendlich
kleinen Unterschied macht, ob die Integration jene von den Absonderungsflächen
begrenzten unendlich kleinen Räume mit umfasst,
oder nicht, da die Grösse~$k$ der Voraussetzung nach auch in diesen
Räumen endlich bleibt. Bei dem zweiten Integrale dagegen entsteht
dadurch, dass die Integration ausser der unendlich grossen
Kugelfläche, welche nur einen verschwindend kleinen Integralwerth
giebt, noch die Absonderungsflächen zu umfassen hat, ein wesentlicher
Unterschied.
%% -----File: 145.png---Folio 131-------


\Section{51.}{Bestimmung der Function~$V$ unter Berücksichtigung
der Absonderungsflächen.}

Indem wir nun dazu schreiten, die auf die verschiedenen Absonderungsflächen
bezüglichen Theile des in~(169) vorkommenden
Flächenintegrals zu bestimmen, wählen wir zunächst eine solche
Absonderungsfläche zur Betrachtung aus, welche eine Fläche einschliesst.
Dabei können wir die Randfläche gegen diejenigen beiden
Flächen, welche der gegebenen Fläche parallel sind, als unendlich
klein vernachlässigen. Um das auf die letzteren beiden Flächen
bezügliche Integral zu bilden, fassen wir immer zwei Flächenelemente
zusammen, welche sich gegenüberliegen und eben so gross sind, wie
das zwischen ihnen liegende Flächenelement~$d\omega$ der gegebenen
Fläche. Dann können wir den Theil des in~(169) vorkommenden
Flächenintegrals, welcher sich auf diese Absonderungsfläche bezieht,
so schreiben:
\[
\int \left[ \Biggl( V\, \frac{\partial \dfrac{1}{r}}{\partial n}
          - \frac{1}{r}\, \frac{\partial V}{\partial n} \Biggr)_1
          + \Biggl( V\, \frac{\partial \dfrac{1}{r}}{\partial n}
          - \frac{1}{r}\, \frac{\partial V}{\partial n} \Biggr)_2 \right] d\omega,
\]
worin die Indices $1$~und~$2$ andeuten sollen, dass von dem in Klammer
stehenden Ausdrucke die in den beiden parallelen Flächen geltenden
Werthe zu nehmen sind. Die Integration ist dann einfach
über die gegebene Fläche auszudehnen.

Nun ist aber, weil die beiden parallelen Flächen unter einander
und der gegebenen Fläche unendlich nahe sind, zu setzen:
\[
\frac{1}{r_2} = \frac{1}{r_1} = \frac{1}{r} \text{ und } V_2 = V_1 = V,
\]
worin die Buchstaben ohne Index sich auf die gegebene Fläche beziehen.
Man kann daher das vorige Integral auch so schreiben:
\[
\int \left\{ V \Biggl[
    \Biggl(\frac{\partial \dfrac{1}{r}}{\partial n}\Biggr)_1
  + \Biggl(\frac{\partial \dfrac{1}{r}}{\partial n}\Biggr)_2 \Biggr]
  - \frac{1}{r} \Biggl[ \Biggl( \frac{\partial V}{\partial n} \Biggr)_1
    + \Biggl( \frac{\partial V}{\partial n} \Biggr)_2 \Biggr] \right\} d\omega.
\]

Was nun die Differentialcoefficienten nach $n$ anbetrifft, so ist
zu bemerken, dass im vorstehenden Ausdrucke die Normale nach
%% -----File: 146.png---Folio 132-------
der Seite als positiv zu rechnen ist, welche in Bezug auf den betrachteten
Raum nach Innen geht, was für die beiden parallelen
Flächen nach entgegengesetzten Richtungen stattfindet. Um nun
aber mit unserer früheren, bei Flächen angewandten Bezeichnungsweise
in Uebereinstimmung zu kommen, wollen wir die Normale
auf der gegebenen Fläche, welche zugleich Normale auf den beiden
parallelen Flächen ist, nach einer bestimmten Richtung als positiv
rechnen, nämlich von der parallelen Fläche, auf welche sich der
Index~$1$ bezieht, nach der parallelen Fläche hin, auf welche sich
der Index~$2$ bezieht, und zugleich wollen wir die beiden Werthe,
welche der nach der Normale genommene Differentialcoefficient an
den beiden Seiten der gegebenen Fläche in ihrer unmittelbaren
Nähe hat, durch die Indices $+0$~und~$-0$ von einander unterscheiden.
Dann ist zu setzen:
\begin{gather*}
\Biggl( \frac{\partial \dfrac{1}{r}}{\partial n} \Biggr)_2
  =   \Biggl( \frac{\partial \dfrac{1}{r} }{\partial n} \Biggr)_{+0};\quad
\Biggl( \frac{\partial \dfrac{1}{r}}{\partial n} \Biggr)_1
  = - \Biggl( \frac{\partial \dfrac{1}{r} }{\partial n} \Biggr)_{-0} \\
%
\left( \frac{\partial V}{\partial n}\right)_2
  =   \left( \frac{\partial V}{\partial n} \right)_{+0};\quad
\left( \frac{\partial V}{\partial n} \right)_1
  = - \left( \frac{\partial V}{\partial n} \right)_{-0},
\end{gather*}
wodurch der vorige Ausdruck übergeht in:
\[
\int \left\{ V \Biggl[
    \Biggl(\frac{\partial \dfrac{1}{r}}{\partial n}\Biggr)_{+0}
  - \Biggl(\frac{\partial \dfrac{1}{r}}{\partial n}\Biggr)_{-0} \Biggr]
  - \frac{1}{r}\left[
    \left(\frac{\partial V}{\partial n}\right)_{+0}
  - \left(\frac{\partial V}{\partial n}\right)_{-0} \right] \right\} d\omega.
\]
Nun erleidet aber der Differentialcoefficient $\dfrac{\partial \dfrac{1}{r}}{\partial n}$ beim Durchgange
durch die gegebene Fläche keine sprungweise Aenderung, und die
beiden Werthe $\Biggl( \dfrac{\partial \dfrac{1}{r}}{\partial n} \Biggr)_{+0}$ und $\Biggl( \dfrac{\partial \dfrac{1}{r}}{\partial n} \Biggr)_{-0}$ können daher nur unendlich
wenig von einander verschieden sein, so dass ihre Differenz, welche
sich in der ersten eckigen Klammer befindet, zu vernachlässigen
ist. Für die in der zweiten eckigen Klammer stehende Differenz
können wir nach~(III.) setzen: $-4\pi\epsilon h$. Demnach nimmt der auf
%% -----File: 147.png---Folio 133-------
diese Absonderungsfläche bezügliche Theil des in~(169) vorkommenden
Flächenintegrals folgende einfache Form an:
\[
4\pi\epsilon \int \frac{h}{r}\, d\omega.
\]

Sollten mehrere Ausnahmeflächen vorhanden sein, so könnte
man doch den vorstehenden Ausdruck für sie alle zusammen beibehalten,
wenn man nur festsetzte, dass das Integral sich auf alle
gegebenen Flächen erstrecken soll.

Wir wählen nun weiter eine solche Absonderungsfläche, welche
eine Linie einschliesst, zur Betrachtung aus. Dabei können wir
uns auf die cylinderartige Fläche beschränken, indem die halbkugelförmigen
Endflächen unendlich klein von höherer Ordnung sind.
Um ein Element der cylinderartigen Fläche auszudrücken, wollen
wir in der durch irgend einen Punct der Linie gelegten Normalebene,
welche die cylinderartige Fläche in einem unendlich kleinen
Kreise mit dem Radius~$\rho$ schneidet, den Winkel eines vom Mittelpuncte
ausgehenden Leitstrahles mit einer durch den Mittelpunct
gehenden festen Geraden mit $\phi$ bezeichnen, so dass das Element
des Kreises durch $\rho\, d\phi$ dargestellt wird. Ferner wollen wir uns
neben der ersten Normalebene noch eine zweite um $ds$ von ihr entfernte
gelegt denken, welche mit ihr zusammen einen unendlich
schmalen Streifen aus der cylinderartigen Fläche ausschneidet. Dann
können wir ein Element dieses Streifens durch $\rho\, d\phi\, ds$ darstellen,
und diesen Ausdruck statt $d\omega$ in Anwendung bringen. Da ferner
der Radius~$\rho$ auf der Oberfläche senkrecht ist, so können wir die
Differentialcoefficienten nach $n$ auch durch Differentialcoefficienten
nach $\rho$ ersetzen. Dadurch nimmt der auf diese Absonderungsfläche
bezügliche Theil des in~(169) vorkommenden Flächenintegrales folgende
Form an:
\[
\iint \Biggl( V\, \frac{\partial \dfrac{1}{r}}{\partial \rho}
  - \frac{1}{r}\, \frac{\partial V}{\partial \rho} \Biggr) \rho\, d\phi\, ds,
\]
oder etwas umgeschrieben:
\[
\int ds \int \Biggl( \rho\, V\, \frac{\partial \dfrac{1}{r}}{\partial \rho}
  - \frac{1}{r}\, \rho\, \frac{\partial V}{\partial \rho} \Biggr) d\phi.
\]
%% -----File: 148.png---Folio 134-------

Was das erste hier in Klammer stehende Glied anbetrifft, so
ist der Factor~$\rho V$ für unendlich kleine Werthe von~$\rho$, gemäss~(IV.),
unendlich klein. Dazu kommt noch, dass bei je zwei Werthen von~$\phi$,
welche um $\pi$ von einander verschieden sind, und für welche
daher $\rho$ entgegengesetzte Richtungen hat, der Differentialcoefficient
$\dfrac{\partial \dfrac{1}{r}}{\partial \rho}$ bei unendlich nahe gleichen absoluten Werthen entgegengesetzte
Vorzeichen hat, während der andere Factor~$\rho V$ gleiche Vorzeichen
hat, woraus folgt, dass selbst dann, wenn $\rho V$ nicht schon
an sich unendlich klein wäre, das Verschwinden des Gliedes dadurch
eintreten würde, dass in dem von $0$ bis~$2\pi$ zu nehmenden
Integrale nach $\phi$ je zwei Elemente sich aufheben. In dem zweiten
Gliede kann man $\rho\, \dfrac{\partial V}{\partial \rho}$ gemäss~(IV.), durch $-2\epsilon g$ ersetzen, und
unter $r$ können wir statt des auf die Peripherie des unendlich kleinen
Kreises bezüglichen Werthes den auf den Mittelpunct bezüglichen
Werth setzen. Dadurch geht der Ausdruck über in:
\[
\int ds \frac{2\epsilon g}{r} \int d\phi
\]
und durch Ausführung der Integration nach $\phi$ in:
\[
4\pi\epsilon \int \frac{g\, ds}{r}.
\]

Eben diesen Ausdruck kann man auch beibehalten, wenn
mehrere Ausnahmelinien vorhanden sind, indem man festsetzt, dass
das Integral sich auf alle diese Linien beziehen soll.

Wählen wir endlich eine solche Absonderungsfläche zur Betrachtung
aus, welche einen Ausnahmepunct umgiebt, also eine mit
einem unendlich kleinen Radius, der $\frakr$ heissen möge, um diesen
Punct beschriebene Kugelfläche, so können wir darin das Flächenelement
$d\omega$ durch $\frakr^2\, d\sigma$ darstellen, worin $d\sigma$ das Element des
körperlichen Winkels bedeutet, und können ferner die Differentialcoefficienten
nach $n$ durch Differentialcoefficienten nach $\frakr$ ersetzen.
Der auf diese Fläche bezügliche Theil des in~(169) vorkommenden
Flächenintegrales lautet dann:
%% -----File: 149.png---Folio 135-------
\[
\int \Biggl( V\, \frac{\partial \dfrac{1}{r}}{\partial \frakr}
  - \frac{1}{r}\, \frac{\partial V}{\partial \frakr} \Biggr) \frakr^2 \,d\sigma.
\]

Hierin gilt vom ersten Gliede im Wesentlichen dasselbe, wie
im vorigen Falle. Das Product $\frakr^2 V$ ist, gemäss~(Va.), unendlich
klein, und selbst, wenn dieses nicht der Fall wäre, so würde das
über den ganzen körperlichen Winkelraum ausgeführte Integral
dadurch unendlich klein werden, dass $\dfrac{\partial \dfrac{1}{r}}{\partial \frakr}$ an je zwei aneinander
gegenüberliegenden Puncten der Kugelfläche bei \DPtypo{unenendlich}{unendlich} nahe
gleichen absoluten Werthen entgegengesetzte Vorzeichen hat. Im
zweiten Gliede ist $-\frakr^2\, \dfrac{\partial V}{\partial \frakr}$, gemäss~(Va.), durch $\epsilon q$ zu ersetzen,
und für $r$ kann statt des auf die Kugelfläche bezüglichen Werthes
der auf den Mittelpunct bezügliche Werth genommen werden, wodurch
der Ausdruck übergeht in:
\[
\epsilon \frac{q}{r} \int d\sigma
\]
oder nach Ausführung der Integration:
\[
4\pi \epsilon \frac{q}{r}.
\]

Sind mehrere Ausnahmepuncte vorhanden, so kann man die
auf sie bezüglichen Theile des Flächenintegrals zusammenfassen in:
\[
4\pi \epsilon \sum \frac{q}{r}.
\]

Kehren wir nun zu der Gleichung~(169) zurück, und setzen
für das darin angedeutete Flächenintegral die Summe der für die
drei Arten von Absonderungsflächen gefundenen Ausdrücke, so erhalten
wir statt der Gleichung~(170) die folgende:
\[
\tag{171}
V' = \epsilon \int \frac{k}{r}\, d\tau
   + \epsilon \int \frac{h}{r}\, d\omega
   + \epsilon \int \frac{g}{r}\, ds
   + \epsilon \sum \frac{q}{r}.
\]
Somit ist auch in diesem allgemeineren Falle, wo Ausnahmestellen
vorkommen, der im Puncte~$p'$ geltende Werth der Function~$V$ vollkommen
bestimmt, und aus der Form des Ausdruckes ist ersichtlich,
dass $V$ nichts anderes ist, als die Potentialfunction eines Agens,
%% -----File: 150.png---Folio 136-------
von welchem ein Theil durch den Raum mit der Raumdichtigkeit
$k$ verbreitet ist, während zugleich auf gegebenen Flächen endliche
Mengen mit der Flächendichtigkeit $h$, auf gegebenen Linien endliche
Mengen mit der Liniendichtigkeit $g$, und in gegebenen Puncten
endliche Mengen $q$,~$q_1$ etc.\ befindlich sind.

Sollte eine der gegebenen Linien in einer der gegebenen Flächen
liegen, so würde es für das Flächenintegral $\ds\int\frac{h}{r}\,d\omega$ nur einen
unendlich kleinen Unterschied machen, ob es den Theil der Fläche,
welcher von der für die Linie construirten Absonderungsfläche eingeschlossen
wäre, mit umfasste, oder nicht, und das Entsprechende
würde auch für den Fall gelten, wo einer der gegebenen Puncte
in einer der gegebenen Flächen oder Linien läge.

\ctb
%% -----File: 151.png---Folio 137-------


\Chapter{II. Das Potential}

\Section{52.}{Ausgangspuncte für die Auseinandersetzung.}


Um den Begriff des Potentials und die Rolle, welche es bei
physicalischen Untersuchungen spielt, erläutern zu können, muss ich
zwei Fundamentalsätze der Mechanik voraussetzen, nämlich 1)~\Emphasis{den
Satz von den virtuellen Bewegungen oder, wie man gewöhnlich
sagt, von den virtuellen Geschwindigkeiten}, und 2)~\Emphasis{das
\Person{d'Alembert}'sche Princip}. Es ist hier nicht der Ort dazu,
diese Sätze zu entwickeln und zu beweisen, sondern ich will sie
nur anführen, um die weiteren Betrachtungen daran anknüpfen zu
können. Dabei will ich sie aber in etwas vollständigerer Form aussprechen,
als es gewöhnlich geschieht, weil es für physicalische
Untersuchungen von Wichtigkeit ist, genau zu wissen, unter welchen
Bedingungen sie gültig sind, und welche Modificationen sie
erleiden, wenn die Bedingungen sich ändern.


\Section{53.}{Begriff der virtuellen Bewegungen und Unterscheidung
zweier Fälle.}


Es sei irgend ein System von beweglichen Puncten $p$,~$p_1$, $p_2$~etc.
gegeben, welche entweder ganz frei nach jeder beliebigen Richtung
beweglich oder durch gewisse Bedingungen in ihren Bewegungen
beschränkt seien. Solche beschränkenden Bedingungen können in
dem Systeme selbst liegen, wenn die Puncte irgend wie unter einander
in Verbindung stehen, so dass durch die Bewegung einiger
Puncte die Bewegung anderer ganz oder theilweise mit bestimmt
ist; oder sie können von aussen her gegeben sein, wie \zB\ wenn
ein Punct gezwungen ist, in einer gegebenen festen Fläche oder
Curve zu bleiben, oder ganz fest an einer Stelle zu verharren,
%% -----File: 152.png---Folio 138-------
wodurch dann natürlich auch die anderen Puncte, welche mit diesem
zusammenhängen, entsprechenden Beschränkungen in ihren
Bewegungen unterliegen.

In Bezug auf die beschränkenden Bedingungen findet noch
ein wesentlicher Unterschied statt. Wenn ein Punct gezwungen
ist, in einer festen Fläche zu bleiben, so kann er sich senkrecht
gegen die Fläche weder nach der einen, noch nach der anderen
Seite bewegen. Denkt man sich aber, der Punct befinde sich an
der Oberfläche eines festen, für ihn undurchdringlichen Körpers,
so kann er sich in der Richtung der Normale nach der einen Seite,
welche nach dem Innern des Körpers geht, nicht bewegen, während
nach der anderen Seite, welche nach aussen geht, seine Bewegung
frei ist. Ebenso verhält es sich mit der Electricität in einem leitenden
Körper, welcher von Nichtleitern umgeben ist, indem ein an
der Oberfläche befindliches Electricitätstheilchen sich wohl nach
dem Innern des Leiters, aber nicht nach Aussen bewegen kann.
Denkt man sich ferner zwei bewegliche Puncte, welche durch eine
starre Linie unter einander verbunden sind, so können sie sich
weder einander nähern, noch von einander entfernen; sind sie dagegen
durch einen biegsamen Faden verbunden, und nimmt man
an, sie seien schon so weit von einander entfernt, dass der Faden
gespannt sei, so können sie sich zwar nicht weiter von einander
entfernen, wohl aber einander nähern. Ich werde solche Bewegungshindernisse,
welche nach einer Richtung hin die Bewegung unmöglich
machen, nach der entgegengesetzten Richtung aber sie frei
lassen, \Emphasis{Bewegungshindernisse mit einseitigem Widerstande}
nennen; solche dagegen, bei denen jede zwei entgegengesetzte Richtungen
sich gleich verhalten, so dass, wenn nach der einen Seite
die Bewegung verhindert ist, sie auch nach der entgegengesetzten
Seite nicht geschehen kann, sollen, wo es zur Unterscheidung nöthig
ist, \Emphasis{Bewegungshindernisse mit beiderseitigem Widerstande}
genannt werden.

Es möge nun das gegebene System von der Lage aus, in welcher
es ursprünglich betrachtet wurde, eine unendlich kleine Bewegung
machen, so dass die einzelnen Puncte unendlich kleine
Wegstücke zurücklegen. Diese kleinen Wege dürfen dem Vorigen
nach nicht als für jeden Punct beliebig betrachtet werden, sondern
sie müssen so beschaffen sein, dass sie den beschränkenden Bedingungen,
welchen die Bewegungen der Puncte unterworfen sind,
genügen. Man hat daher ein solches System von unendlich kleinen
%% -----File: 153.png---Folio 139-------
Bewegungen, welche jenen Bedingungen nach möglich sind, indem
man ursprünglich vorzugsweise die verschiedenen Geschwindigkeiten
der gleichzeitigen Bewegungen in's Auge gefasst hat, ein System
von \Emphasis{virtuellen Geschwindigkeiten} genannt. Diese Bezeichnung
ist aber nicht ganz zweckmässig, weil durch die Geschwindigkeiten,
mit welchen die Puncte sich gleichzeitig bewegen, nur die verhältnissmässigen
\Emphasis{Längen} der kleinen Wege, nicht aber ihre \Emphasis{Richtungen},
welche ebenfalls in Betracht kommen müssen, bestimmt
werden. Ich glaube daher, dass es bezeichnender wäre, von \Emphasis{virtuellen
Bewegungen} zu sprechen, denn bei dem Worte Bewegung
denkt man sogleich an Grösse und Richtung, während das Wort
Geschwindigkeit, wenigstens im gewöhnlichen Sprachgebrauche, die
Richtung nicht mit in sich begreift.

In den meisten Fällen giebt es für dasselbe System von Puncten
unendlich viele Systeme von virtuellen Bewegungen. Wenn
alle vorkommenden Bewegungshindernisse solche mit beiderseitigem
Widerstande sind, so gehört zu jedem Systeme von virtuellen Bewegungen
auch das entgegengesetzte, indem die Puncte sich sowohl
nach der einen, als nach der anderen Seite bewegen können.
Kommen dagegen Bewegungshindernisse mit einseitigem Widerstande
vor, so giebt es Systeme von virtuellen Bewegungen, welche nur
nach der einen Seite, nicht aber nach der entgegengesetzten Seite
stattfinden können. Wir wollen die erste Art von virtuellen Bewegungen
\Emphasis{umkehrbare} und die letzte Art \Emphasis{nichtumkehrbare}
nennen.


\Section{54.}{Begriff der virtuellen Momente und Ausdruck des
betreffenden Satzes.}

Es sei nun weiter angenommen, dass auf die einzelnen beweglichen
Puncte Kräfte wirken. Wenn auf einen Punct mehrere
Kräfte wirken, so kann man diese entweder einzeln betrachten,
oder sie sich auch in eine Resultante zusammengesetzt denken.
Diese Kräfte werden mit den virtuellen Bewegungen in der Weise
verbunden, dass man jede virtuelle Bewegung mit der in die Richtung
der Bewegung fallenden Componente der auf den Punct wirkenden
Kraft multiplicirt, und die dadurch entstehenden Producte
werden die \Emphasis{virtuellen Momente} der Kräfte genannt. Es gehört
also zu jedem Systeme von virtuellen Bewegungen ein System von
%% -----File: 154.png---Folio 140-------
virtuellen Momenten. Die einzelnen Momente können positiv oder
negativ sein, jenachdem die betreffende Kraftcomponente nach der
Seite hin gerichtet ist, wohin die Bewegung geht, oder nach der
entgegengesetzten.

Mit Hülfe dieser virtuellen Momente kann man die Bedingungen,
welche erfüllt sein müssen, damit das System von Puncten unter
dem Einflusse der auf sie wirkenden Kräfte im Gleichgewichte sei,
auf einfache Weise durch folgenden Satz ausdrücken: \Emphasis{Es ist für
das Gleichgewicht nothwendig und hinreichend, dass für
alle vorkommenden Systeme von virtuellen Bewegungen
die Summe der virtuellen Momente Null oder negativ ist.}

Es versteht sich hiernach von selbst, dass für ein \Emphasis{umkehrbares}
System von virtuellen Bewegungen das erstere stattfinden
muss, dass die Summe der virtuellen Momente Null ist, denn hätte
sie einen angebbaren negativen Werth, so würde man für die ebenfalls
möglichen umgekehrten Bewegungen einen angebbaren positiven
Werth erhalten, was dem Satze widerspricht. Für solche
Fälle, wo \Emphasis{nur} umkehrbare virtuelle Bewegungen vorkommen, kann
man daher einfach sagen: \Emphasis{es muss für alle Systeme von virtuellen
Bewegungen die Summe der virtuellen Momente
Null sein}. Dieses ist die Form, in welcher man den Satz gewöhnlich
ausgesprochen findet, indem dabei die Fälle, wo nichtumkehrbare
virtuelle Bewegungen vorkommen, ausser Acht gelassen
sind.

Um den Satz mathematisch auszudrücken, seien $\delta s$,~$\delta s_1$, $\delta s_2$~etc.\
die kleinen Wege, welche die Puncte bei einem Systeme von virtuellen
Bewegungen zurücklegen; ferner $P$,~$P_1$, $P_2$~etc.\ die Kräfte,
welche auf die einzelnen Puncte wirken, wobei jetzt angenommen
sein möge, dass, wenn auf einen Punct mehrere Kräfte wirken,
diese schon in eine Resultante zusammengefasst seien, endlich seien
$\varphi$,~$\varphi_1$, $\varphi_2$~etc.\ die Winkel zwischen den Kräften und den entsprechenden
virtuellen Bewegungen. Dann werden die virtuellen Momente
durch die Producte $P \cos{\varphi}\mathbin{.}\delta s$, $P_1 \cos{\varphi_1}\mathbin{.}\delta s_1$, $P_2 \cos{\varphi_2}\mathbin{.}\delta s_2$ etc.\
dargestellt, und man erhält als Ausdruck des vorigen Satzes:
\[
% %[** TN: In original, \leq is printed "upside-down". Using modern symbol.]
P \cos{\varphi}\mathbin{.}\delta s
  + P_1 \cos{\varphi_1}\mathbin{.}\delta s_1
  + P_2 \cos{\varphi_2}\mathbin{.}\delta s_2 + \text{etc.} \leq 0
\]
oder kürzer:
\[
\tag{1}
\sum P \cos{\varphi}\mathbin{.}\delta s \leq 0,
\]
%% -----File: 155.png---Folio 141-------
worin für den Fall, dass nur umkehrbare virtuelle Bewegungen
vorkommen, nur das Zeichen ${}={}$ anzuwenden ist, für den Fall aber,
dass auch nichtumkehrbare Bewegungen vorkommen, beide Zeichen
${}={}$ und~${}<{}$ gelten.

Für die Anwendung ist es bequemer, dem vorigen Ausdrucke
eine etwas andere Gestalt zu geben. Bezeichnen wir die Veränderungen,
welche die Coordinaten $x$,~$y$,~$z$ des Punctes~$p$ durch die
kleine Bewegung~$\delta s$ erleiden, mit $\delta x$,~$\delta y$ und~$\delta z$, und zerlegen
wir die auf den Punct wirkende Kraft~$P$ in ihre drei in die Coordinatenrichtungen
fallenden Componenten $X$,~$Y$ und~$Z$, so ist, wie
sich leicht nachweisen lässt:
\[
P\cos{\varphi}\mathbin{.}\delta s = X\, \delta x + Y\, \delta y + Z\, \delta z,
\]
und entsprechende Gleichungen gelten auch für die anderen Puncte,
und man erhält daher statt~(1):
\[
\tag{2}
\sum (X\, \delta x + Y\, \delta y + Z\, \delta z) \leq 0.
\]


\Section{55.}{Ausdruck desselben Satzes unter Anwendung des
Begriffes der Arbeit.}

Die im vorigen Satze mit dem Namen \Emphasis{virtuelles Moment}
bezeichnete Grösse steht in innigem Zusammenhange mit einer anderen
Grösse, welche in der Mechanik eine bedeutende Rolle spielt.
Wenn ein Punct das Wegstückchen~$\delta s$ zurücklegt, und die in die
Richtung des Weges fallende Kraftcomponente $P \cos{\varphi}$ an allen
Puncten des kleinen Weges vollkommen gleich ist, so stellt das
Product $P \cos{\varphi}\mathbin{.}\delta s$ \Emphasis{die bei der Bewegung von der Kraft gethane
Arbeit} dar. Die hierbei gemachte Voraussetzung, dass
$P \cos{\varphi}$ seinen Werth während der Bewegung nicht ändere, ist
aber im Allgemeinen nicht streng erfüllt. Wenn die wirksame
Kraft an verschiedenen Stellen des Raumes nach Grösse und Richtung
verschieden ist, so ist sie auch auf den verschiedenen Theilen
des unendlich kleinen Weges nicht als vollkommen gleich zu betrachten;
und wenn ferner $\delta s$ nicht ein Stück einer geraden Linie,
sondern ein Stück einer Curve ist, so liegt auch darin ein Grund,
weshalb der Winkel~$\varphi$ zwischen Kraft und Weg und die davon abhängige
Kraftcomponente für die verschiedenen Theile des Weges etwas
verschieden sein muss, selbst wenn die Richtung der Kraft überall
dieselbe wäre. Der vollständige Ausdruck der Arbeit ist daher, wenn
man $P \cos{\phi}$ als Function von $s$ betrachtet, so zu schreiben:
%% -----File: 156.png---Folio 142-------
\[
P\cos{\varphi}\mathbin{.}\delta s
  + \frac{1}{2!} · \frac{d(P\cos{\varphi})}{ds}\, \delta s^2
  + \frac{1}{3!} · \frac{d^2(P\cos{\varphi})}{ds^2}\, \delta s^3
  + \text{etc.}
\]
Das erste Glied dieses Ausdruckes ist dasselbe, was im Vorigen das
virtuelle Moment der Kraft genannt wurde, und man sieht also,
dass die von der Kraft bei der kleinen Bewegung gethane Arbeit
sich von dem virtuellen Momente nur durch das Hinzukommen solcher
Grössen unterscheidet, welche in Bezug auf die Weglänge von
höherer als erster Ordnung sind.

Hiernach kann man den Gleichgewichtssatz auch folgendermaassen
aussprechen: \Emphasis{Für das Gleichgewicht ist es nothwendig
und hinreichend, dass für jedes System von virtuellen
Bewegungen die Summe der von allen Kräften gethanen
Arbeitsgrössen entweder ein unendlich Kleines von höherer
als erster Ordnung in Bezug auf die Weglängen, oder
negativ ist.}

Wenn alle virtuellen Bewegungen umkehrbar sind, so gilt nur
das Erstere, dass die Gesammtarbeit ein unendlich Kleines von
höherer Ordnung sein muss. Man kann dann bei dieser Art den
Gleichgewichtssatz auszusprechen noch eine weitere Angabe hinzufügen.
Daraus, dass die unendlich kleinen Grössen höherer Ordnung
positiv oder negativ sein können, entsteht der Unterschied
des stabilen und labilen Gleichgewichtes, und zwar in folgender
Weise. Ist für alle Systeme von virtuellen Bewegungen die Gesammtarbeit
aller Kräfte \Emphasis{negativ}, so ist das Gleichgewicht \Emphasis{stabil};
ist sie für alle Systeme \Emphasis{positiv}, so ist das Gleichgewicht
\Emphasis{labil}; ist sie endlich, was auch vorkommt, für einige Systeme
negativ und für andere positiv, so kann man das Gleichgewicht
weder vollkommen stabil, noch vollkommen labil nennen.


\Section{56.}{Das \Person{d'Alembert}'sche Princip.}

%[** TN: If text block width changes, d'Alembert'schen needs attention]
Aus dem Gleichgewichtssatze lässt sich mit Hülfe des \Person{d'Alembert}\-schen
Principes \Emphasis{der allgemeine Satz der Bewegung} ableiten.

Dabei müssen wir aber die beschränkenden Bedingungen, welchen
die Bewegungen der Puncte unterworfen sind, zum Theil etwas
anders betrachten, als vorher. Es wurde im Vorigen angenommen,
%% -----File: 157.png---Folio 143-------
dass auch Bewegungshindernisse mit einseitigem Widerstande vorkommen
können, von denen vorausgesetzt wurde, dass sie einem
beliebigen auf sie ausgeübten Drucke widerstehen, ohne dass dabei
die Kraft, mittelst deren sie diesen Widerstand leisten, in Betracht
gezogen wurde. Bei der Bewegung aber lässt sich die Sache häufig
nicht so einfach abmachen, denn wenn man \zB\ annehmen wollte,
dass ein Punct mit einer gewissen Geschwindigkeit gegen eine absolut
feste Wand flöge, so würde daraus eine plötzliche Vernichtung
der Bewegung folgen, wie sie in der Natur nicht vorkommt.
Wenn ein Körper gegen eine feste Wand fliegt, so findet eine
gegenseitige Einwirkung zwischen Wand und Körper statt, welche
von zwar sehr kurzer, aber doch endlicher Dauer ist; während dieser
Zeit erleiden die Bewegungen der Theile des Körpers gewisse
Aenderungen, welche ebenso, wie die sonstigen Bewegungsänderungen,
mit den zugehörigen Kräften in Rechnung gebracht werden
können. Durch dieses Verfahren, welches in anderen ähnlichen
Fällen ebenfalls angewandt werden kann, werden die in Betracht
zu ziehenden Kräfte vermehrt, aber dafür fallen die Bewegungshindernisse
mit einseitigem Widerstande als solche aus der Betrachtung
fort. Will man die Sache ganz vollständig und streng behandeln,
so muss man auch noch berücksichtigen, dass die Wand
nicht ganz in Ruhe bleibt, sondern ebenfalls etwas in Bewegung
geräth und dadurch einen Theil der lebendigen Kraft des Körpers
in sich aufnimmt. Man muss dann also die Wand und die übrigen
mit ihr in Verbindung stehenden Gegenstände auch als aus beweglichen
Theilen bestehende Körper betrachten und ihre Bewegungen
in die Gleichungen mit aufnehmen, so dass also nicht nur die
Kräfte vermehrt werden, sondern das zu betrachtende System von
beweglichen materiellen Puncten selbst vergrössert wird.

Es giebt freilich Fälle, wo eine Fläche, welche einseitig der
Bewegung widersteht, ohne erheblichen Fehler einfach als absolut
festes Bewegungshinderniss gelten kann; indessen kann man dieses
in den betreffenden Fällen zur Vereinfachung der Rechnung benutzen,
ohne dass es nöthig wäre, in der hier folgenden allgemeinen
Betrachtung darauf Rücksicht zu nehmen. Wir wollen daher
im Folgenden voraussetzen, dass keine Bewegungshindernisse mit
einseitigem Widerstande vorkommen, und dass somit \Emphasis{alle virtuellen
Bewegungen umkehrbar seien}.

Wir wenden uns nun wieder zu dem früher betrachteten
Systeme von beweglichen Puncten, worunter wir jetzt materielle
%% -----File: 158.png---Folio 144-------
Puncte mit den Massen $m$,~$m_1$, $m_2$~etc.\ verstehen, und deren Coordinaten,
welche der Reihe nach $x$,~$y$,~$z$; $x_1$,~$y_1$, $z_1$~etc.\ heissen
mögen, wir als Functionen der Zeit~$t$ betrachten. Wir bilden nun
für den ersten Punct, auf welchen eine Kraft wirkt, deren Componenten
$X$,~$Y$ und~$Z$ sind, folgende Grössen:
\[
X - m\, \frac{d^2 x}{dt^2};\quad
Y - m\, \frac{d^2 y}{dt^2};\quad
Z - m\, \frac{d^2 z}{dt^2},
\]
ebenso für den zweiten Punct die Grössen:
\[
X_1 - m_1\, \frac{d^2 x_1}{dt^2};\quad
Y_1 - m_1\, \frac{d^2 y_1}{dt^2};\quad
Z_1 - m_1\, \frac{d^2 z_1}{dt^2}
\]
u.~s.~w.\ Diese Grössen, welche man die Componenten der \Emphasis{verlorenen
Kräfte} nennt, müssen in dem Ausdrucke~(2) an die Stelle
der Componenten der gegebenen wirksamen Kräfte gesetzt werden.
Dadurch erhält man, da von den beiden Zeichen $=$ und~$<$ nur
das erstere anzuwenden ist, weil alle virtuellen Bewegungen als
umkehrbar angenommen werden, folgende Gleichung:
{\small%
\[
\tag{3}
\sum \left[ \left( X - m\, \frac{d^2x}{dt^2} \right) \delta x
          + \left( Y - m\, \frac{d^2y}{dt^2} \right) \delta y
          + \left( Z - m\, \frac{d^2z}{dt^2} \right) \delta z \right] = 0.
\]}%
Hierin bezieht sich das Summenzeichen auf alle Massen, welche an
der Bewegung theilnehmen, auch wenn darunter solche vorkommen,
auf die keine der gegebenen Kräfte direct einwirkt, während in
dem für das Gleichgewicht geltenden Ausdrucke~(2), wenn mehrere
Puncte untereinander in Verbindung sind, von denen einige unter
der Einwirkung der gegebenen Kräfte stehen und andere nicht,
nur die ersteren unter dem Summenzeichen enthalten sind.

Dieses ist die allgemeine Bewegungsgleichung, welche bekanntlich
in der Mechanik von grosser Wichtigkeit ist. Sie bleibt auch
gültig, wenn die beweglichen Massen nicht in Puncten concentrirt
sind, sondern Räume stetig ausfüllen, in welchem Falle die Summation
durch eine Integration zu ersetzen ist, was nach gewissen Umformungen
des Ausdruckes geschehen kann.
%% -----File: 159.png---Folio 145-------


\Section{57.}{Satz von der Aequivalenz von lebendiger Kraft und
Arbeit, und Bedingung, welche für seine Gültigkeit erfüllt
sein muss.}

Wir wollen nun die Gleichung~(3) dazu anwenden, \Emphasis{den Satz
von der Aequivalenz von lebendiger Kraft und mechanischer
Arbeit} abzuleiten.

Dazu müssen wir zunächst wieder über die beschränkenden
Bedingungen, welchen die Bewegungen der Puncte unterworfen sind,
sprechen. Bei den Betrachtungen über das Gleichgewicht konnte
es als von selbst verständlich angesehen werden, dass diese Bedingungen
der Art seien, dass durch sie allein keine Bewegung der
Puncte veranlasst werden könne. Wenn also \zB\ von einem der
Puncte angenommen wurde, dass er gezwungen sei, in einer gegebenen
Fläche zu bleiben, so wurde diese Fläche als fest und unveränderlich
vorausgesetzt, denn wenn die Fläche sich bewegte oder
mit der Zeit ihre Gestalt änderte, so würde dadurch allein schon
eine Bewegung des Punctes bedingt sein, so dass die zum Gleichgewichte
gehörige Ruhe nicht möglich wäre. Bei den Betrachtungen
über die Bewegung dagegen brauchen solche Fälle nicht ausgeschlossen
zu werden, denn man kann sehr wohl die Bewegung eines
Punctes betrachten, welcher sich in einer bewegten Fläche befindet
und deren Bewegung mitmacht, und ausserdem in der Fläche durch
die auf ihn wirkende Kraft noch besonders bewegt wird.

Mathematisch ist die Bedingung, dass ein Punct, dessen Coordinaten
$x$,~$y$,~$z$ heissen, in einer festen Fläche bleiben muss, darzustellen
durch eine Gleichung von der Form:
\[
F(x, y, z) = 0;
\]
dagegen die Bedingung, dass der Punct in einer Fläche bleiben
muss, die selbst beweglich oder mit der Zeit veränderlich ist, durch
eine Gleichung von der Form:
\[
F(x, y, z, t) = 0.
\]
In ähnlicher Weise kann man den Unterschied zwischen den beiden
Fällen, ob in den gegebenen Bedingungen, denen die Bewegungen
der Puncte unterworfen sind, schon der Grund zur Entstehung von
Bewegungen liegt oder nicht, allgemein dahin aussprechen, dass
%% -----File: 160.png---Folio 146-------
die Gleichungen, welche die Bedingungen darstellen, im ersteren
Falle ausser den Coordinaten der gegebenen Puncte noch die Zeit
oder andere von der Zeit abhängige Grössen, im letzteren Falle dagegen
nur die Coordinaten der Puncte als Veränderliche enthalten.

Diese beiden Fälle unterscheiden sich wesentlich durch die Art,
wie die wirklich stattfindende Bewegung mit den virtuellen Bewegungen
zusammenhängt. Wenn man aus Bedingungsgleichungen,
welche die Zeit enthalten, die virtuellen Bewegungen bestimmen
will, so muss man dieses für einen bestimmten Zeitmoment thun,
und die Zeit ist daher bei dieser Rechnung als eine constante Grösse
zu behandeln. Sei \zB\ eine solche Gleichung, welche die Coordinaten
einer Anzahl von Puncten und ausserdem die Zeit enthält,
in folgender Form gegeben:
\[
\tag{4}
F(x, y, z, x_1, y_1, z_1 \ldots\ldots t) = 0,
\]
so erhält man daraus für die virtuellen Bewegungen zur Zeit~$t$
folgende Gleichung:
\begin{align*}
\tag{5}
  & \frac{\partial F}{\partial x}\, \delta x
  + \frac{\partial F}{\partial y}\, \delta y
  + \frac{\partial F}{\partial z}\, \delta z \\
+ & \frac{\partial F}{\partial x_1}\, \delta x_1
  + \frac{\partial F}{\partial y_1}\, \delta y_1
  + \frac{\partial F}{\partial z_1}\, \delta z_1 + \ldots\ldots = 0,
\end{align*}
worin nur Differentialcoefficienten nach den Coordinaten der Puncte
vorkommen. Betrachtet man dagegen die Bewegungen, welche die
Puncte während der unendlich kleinen Zeit von $t$ bis~$t + dt$ wirklich
ausführen, und deren Projectionen auf die Coordinatenaxen
$dx$,~$dy$,~$dz$, $dx_1$,~$dy_1$, $dz_1$~etc.\ heissen mögen, so muss man für
diese eine Gleichung bilden, in welcher die Veränderung der Zeit
mit herücksichtigt ist, nämlich:
\begin{align*}
\tag{6}
  & \frac{\partial F}{\partial x}\, dx
  + \frac{\partial F}{\partial y}\, dy
  + \frac{\partial F}{\partial z}\, dz \\
+ & \frac{\partial F}{\partial x_1}\, dx_1
  + \frac{\partial F}{\partial y_1}\, dy_1
  + \frac{\partial F}{\partial z_1}\, dz_1 + \ldots\ldots
  + \frac{\partial F}{\partial t}\, dt= 0.
\end{align*}
Hieraus sieht man, dass in einem solchen Falle, wo die gegebenen
Bedingungsgleichungen die Zeit enthalten, die für $dx$,~$dy$,~$dz$,
$dx_1$,~$dy_1$, $dz_1$~etc.\ geltenden Gleichungen verschieden sind von den
für $\delta x$,~$\delta y$,~$\delta z$, $\delta x_1$,~$\delta y_1$, $\delta z_1$~etc.\ geltenden, und dass daher das
%% -----File: 161.png---Folio 147-------
System von Bewegungen, welche die Puncte während der kleinen
Zeit von $t$ bis~$t + dt$ wirklich ausführen, im Allgemeinen mit keinem
der Systeme von virtuellen Bewegungen, welche für die Zeit~$t$
gelten, identisch sein kann. Enthalten dagegen die gegebenen
Bedingungsgleichungen die Zeit nicht, so fällt in den für $dx$,~$dy$,~$dz$,
$dx_1$,~$dy_1$, $dz_1$~etc.\ geltenden Gleichungen das letzte Glied,
welches den Differentialcoefficienten nach $t$ als Factor hat, fort,
und dann stimmen diese Gleichungen mit den für $\delta x$,~$\delta y$,~$\delta z$, $\delta x_1$,~$\delta y_1$,
$\delta z_1$~etc.\ geltenden überein, und für diesen Fall muss daher
das System der wirklich stattfindenden Bewegungen eins der vielen
Systeme von virtuellen Bewegungen sein.

Auf den zuletzt genannten Fall bezieht sich nun unser Satz
von der Aequivalenz von lebendiger Kraft und mechanischer Arbeit,
und ich will die Voraussetzung, von welcher wir bei seiner Entwickelung
ausgehen müssen, und auf welcher daher auch seine Gültigkeit
beruht, hier noch einmal aussprechen. \Emphasis{Die Bedingungsgleichungen,
welchen die Bewegungen der Puncte unterworfen
sind, dürfen als Veränderliche nur die Coordinaten
der Puncte enthalten}; oder wie man es dem Vorigen
nach auch ausdrücken kann: in den gegebenen Bedingungen darf
nicht selbst schon der Grund zur Entstehung von Bewegungen
liegen, \dh\ es dürfen in ihnen nicht implicite Kräfte enthalten
sein, welche ebenso, wie die explicite gegebenen Kräfte, Bewegungen
hervorrufen und die vorhandenen Bewegungen beschleunigen oder
verzögern können.

Unter dieser Voraussetzung muss die obige Gleichung~(3),
welche für jedes System von virtuellen Bewegungen gilt, auch gültig
bleiben, wenn man statt der virtuellen Bewegungen die während
der Zeit~$dt$ wirklich ausgeführten Bewegungen setzt, welche ja
mit einem der Systeme von virtuellen Bewegungen zusammenfallen
müssen. Um bestimmt anzudeuten, dass sich die Bewegungen auf
die Zeit~$dt$ beziehen, wollen wir statt $dx$,~$dy$,~$dz$ vollständiger
schreiben:
\[
\frac{dx}{dt}\, dt,\quad
\frac{dy}{dt}\, dt,\quad
\frac{dz}{dt}\, dt.
\]
Durch Substitution dieser Grössen an die Stelle von $\delta x$,~$\delta y$,~$\delta z$
geht~(3) über in:
{\small%
\[
\sum \left[
   \left(X - m\, \frac{d^2x}{dt^2}\right) \frac{dx}{dt}
 + \left(Y - m\, \frac{d^2y}{dt^2}\right) \frac{dy}{dt}
 + \left(Z - m\, \frac{d^2z}{dt^2}\right) \frac{dz}{dt} \right] dt = 0,
\]}%
%% -----File: 162.png---Folio 148-------
wofür wir bei etwas anderer Zusammenfassung der Glieder schreiben
können:
\begin{align*}
\tag{7}
& \sum m\left( \frac{dx}{dt} · \frac{d^2x}{dt^2}
             + \frac{dy}{dt} · \frac{d^2y}{dt^2}
             + \frac{dz}{dt} · \frac{d^2z}{dt^2} \right) dt \\
= & \sum \left( X\, \frac{dx}{dt} + Y\, \frac{dy}{dt} + Z\, \frac{dz}{dt} \right) dt.
\end{align*}

Hierin können wir die linke Seite einfacher ausdrücken. Bezeichnen
wir die Geschwindigkeit des ersten Punctes zur Zeit~$t$ mit
$v$, so ist:
\[
v^2 = \left(\frac{dx}{dt}\right)^2
    + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2
    + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2
\]
und daraus folgt:
\[
\frac{d(v^2)}{dt}
  = 2\left( \frac{dx}{dt} · \frac{d^2x}{dt^2}
          + \frac{dy}{dt} · \frac{d^2y}{dt^2}
          + \frac{dz}{dt} · \frac{d^2z}{dt^2} \right),
\]
und die entsprechenden Gleichungen müssen auch für die Geschwindigkeiten
aller übrigen Puncte gelten. Durch Anwendung dieser
Gleichungen geht~(7) über in:
\[
\tag{8}
\frac{1}{2} \sum m\, \frac{d(v^2)}{dt}\, dt
  = \sum \left( X\, \frac{dx}{dt} + Y\, \frac{dy}{dt} + Z\, \frac{dz}{dt} \right) dt.
\]
Der hier auf der linken Seite stehende Ausdruck lässt sich sofort
integriren, und wir wollen dieses von irgend einer Anfangszeit~$t_0$
bis zur Zeit~$t$ ausführen, wobei wir die zur Anfangszeit stattfindenden
Geschwindigkeiten der Puncte mit $v_0$,~$(v_1)_0$, $(v_2)_0$~etc.\ bezeichnen.
Auf der rechten Seite können wir die Integration vorläufig
nur andeuten. Es kommt also:
\[
\tag{9}
\frac{1}{2} \sum mv^2 - \frac{1}{2} \sum mv_0^2
  = \int_{t_0}^{t} \left(X\, \frac{dx}{dt} + Y\, \frac{dy}{dt} + Z\, \frac{dz}{dt} \right) dt.
\]

Diese Gleichung enthält den gesuchten Satz, und es kommt
nur noch darauf an, die Bedeutung der auf beiden Seiten befindlichen
Ausdrücke näher anzugeben. Wenn eine Masse~$m$ sich mit
der Geschwindigkeit~$v$ bewegt, so nennen wir $\frac{1}{2} mv^2$ die lebendige
%% -----File: 163.png---Folio 149-------
Kraft der Masse\footnotemark;
  \footnotetext{Etwas abweichend von der früher üblichen Benennungsweise, nach
  welcher $mv^2$ die lebendige Kraft genannt wurde.}
demnach ist $\dfrac{1}{2}\sum mv^2$ die lebendige Kraft des
ganzen Systemes von Massen, und die linke Seite der Gleichung
bedeutet die Zunahme der lebendigen Kraft, welche während der
Zeit von $t_0$ bis~$t$ in dem Systeme stattgefunden hat. Was ferner
die rechte Seite anbetrifft, so ergiebt sich aus dem, was in §~55
gesagt ist, dass der Ausdruck:
\[
\left(X\, \frac{dx}{dt} + Y\, \frac{dy}{dt} + Z\, \frac{dz}{dt}\right) dt,
\]
wenn man von unendlich kleinen Grössen höherer Ordnung absieht,
die Arbeit bedeutet, welche die auf den ersten Punct wirkende
Kraft während der Zeit~$dt$ thut; und dementsprechend stellt die
rechte Seite der vorigen Gleichung die von allen in dem Systeme
wirksamen Kräften während der Zeit von $t_0$ bis~$t$ gethane Arbeit
dar. Folglich lässt sich die Bedeutung der Gleichung so aussprechen:
\Emphasis{die während irgend einer Zeit in dem Systeme
entstehende Vermehrung der lebendigen Kraft ist gleich
der während derselben Zeit von den wirksamen Kräften
gethanen Arbeit}.


\Section{58.}{Unterschied in Bezug auf die Ausführbarkeit des die
Arbeit darstellenden Integrals und Einführung
des Ergals.}

Wir sind sowohl beim Gleichgewichte als auch bei der Bewegung
zu Gleichungen gelangt, welche die \Emphasis{mechanische Arbeit}
enthalten, und müssen nun den Ausdruck, welcher die letztere darstellt,
etwas näher betrachten.

Bezeichnen wir die von $t_0$ bis~$t$ in dem Systeme gethane Arbeit
mit~$L$, so ist:
\[
\tag{10}
L = \int_{t_0}^{t} \sum
  \left(X\, \frac{dx}{dt} + Y\, \frac{dy}{dt} + Z\, \frac{dz}{dt}\right) dt.
\]
%% -----File: 164.png---Folio 150-------
Hierin sind die Kraftcomponenten $X$,~$Y$ und~$Z$ erstens von den
Coordinaten der beweglichen Puncte abhängig, denn die auf einen
Punct wirkende Kraft kann an verschiedenen Stellen des Raumes
verschieden sein; ferner können sie direct von der Zeit abhängen,
indem die wirksamen Kräfte mit der Zeit veränderlich sein können;
ausserdem können sie von dem augenblicklichen Bewegungszustande
des Systems abhängen, wie es \zB\ bei der vom Luftwiderstande
herrührenden Kraft der Fall ist, welche von der Geschwindigkeit
des bewegten Körpers abhängt. Da nun aber die Coordinaten der
Puncte und alle mit der Bewegung zusammenhängenden Grössen,
welche in den Kraftcomponenten vorkommen können, als Functionen
der Zeit anzusehen sind, so kann man auch die Kraftcomponenten
selbst als Functionen dieser einen Veränderlichen betrachten, und
daraus folgt weiter, dass der ganze zu integrirende Ausdruck
sich ebenfalls als Function der Zeit allein darstellen lassen muss.
Demnach ist die in unserer Gleichung vorgeschriebene Integration
immer möglich, sobald die Bewegung hinlänglich bekannt ist, um
die Zurückführung des Ausdruckes auf eine Function der Zeit wirklich
bewerkstelligen zu können, indem es sich dann nur noch darum
handelt, eine Function von Einer Veränderlichen nach dieser Veränderlichen
zu integriren.

Es giebt aber auch Fälle, wo diese Zurückführung nicht nothwendig
ist, sondern wo man das Integral in der Form
\[
%[** TN: \textstyle \sum in original]
\int \sum (X\, dx + Y\, dy + Z\, dz)
\]
schreiben und die Coordinaten als von einander unabhängige Veränderliche
betrachten kann, und die Integration doch ausführbar
bleibt. Dazu ist erforderlich, dass der unter dem Integralzeichen
stehende Ausdruck das vollständige Differential einer Function der
Coordinaten der Puncte ist. Die Bezeichnung dieser Function wollen
wir, wie es auch früher schon bei der Einführung des Zeichens~$U$
geschehen ist, so wählen, dass wir nicht die Function selbst, sondern
ihren negativen Werth durch einen Buchstaben darstellen,
welcher $\Omega$ sein mag. Dann können wir setzen:
\[
\tag{11}
\sum (X\, dx + Y\, dy + Z\, dz) = -d\Omega.
\]
Dadurch geht die Gleichung~(10) über in:
%% -----File: 165.png---Folio 151-------
\[
\tag{12}
L = -\int d\Omega = \Omega_0 - \Omega,
\]
worin $\Omega_0$ den Anfangswerth von $\Omega$ bedeuten soll.

Da nun die Grössen~$\Omega_0$ und~$\Omega$ nur Functionen der anfänglichen
und schliesslichen Coordinaten der Puncte sind, so folgt
daraus, dass in diesem Falle die bei irgend einer Bewegung gethane
Arbeit nur von der Anfangs- und Endlage der Puncte abhängt,
nicht aber von den Zwischenlagen des Systems und von der
Form der Wege, welche die einzelnen Puncte zurückgelegt haben,
was natürlich eine grosse Vereinfachung ist.

Die Grösse~$\Omega$, welche in so einfacher Weise zur Bestimmung
der Arbeit dient, möge nach dem griechischen Worte \textgreek{>'ergon} (Werk,
Arbeit) das \Emphasis{Ergal} genannt werden. Dann kann man die Bedeutung
der vorstehenden Gleichung so aussprechen: \Emphasis{Die bei irgend
einer Bewegung von allen dabei wirksamen Kräften gethane
Arbeit ist gleich der Abnahme des Ergals.}


\Section{59.}{Veränderter Ausdruck der Gleichgewichtsbedingung.}

Mit Hülfe des Ergals kann man dem in §~55 ausgesprochenen
Gleichgewichtssatze eine einfachere Form geben.

Es wurde dort gesagt, es sei für das Gleichgewicht nothwendig
und hinreichend, dass für jedes System von virtuellen Bewegungen
die Summe der von allen Kräften gethanen Arbeitsgrössen
entweder ein unendlich Kleines von höherer als erster
Ordnung in Bezug auf die Weglängen, oder negativ sei. Wenn
nun die in dem Systeme wirkenden Kräfte von der Art sind, dass
sie ein Ergal haben, so wird die Arbeit, jenachdem sie positiv oder
negativ ist, durch eine negative oder positive Aenderung, \dh\ eine
Ab- oder Zunahme des Ergals dargestellt. Demgemäss lautet dann
die Gleichgewichtsbedingung: \Emphasis{für jedes System von virtuellen
Bewegungen muss die Veränderung des Ergals entweder
ein unendlich Kleines von höherer Ordnung oder positiv
sein}.

Wenn alle virtuellen Bewegungen umkehrbar sind, so gilt nur
das Erstere, dass die Veränderung des Ergals ein unendlich Kleines
von höherer Ordnung sein muss, und daraus, dass diese sowohl
%% -----File: 166.png---Folio 152-------
positiv, als auch negativ sein kann, entsteht der Unterschied des
stabilen und labilen Gleichgewichtes. Wenn für alle Systeme von
virtuellen Bewegungen nur positive Veränderungen des Ergals möglich
sind, so ist der Werth des Ergals ein Minimum; wenn nur
negative Aenderungen vorkommen, so ist er ein Maximum; wenn
endlich bei einigen Systemen von virtuellen Bewegungen die Veränderungen
positiv und bei anderen negativ sind, so ist der Werth
des Ergals weder allgemein ein Minimum, noch allgemein ein Maximum.
Daran schliesst sich nun der beim Gleichgewichte vorkommende
Unterschied in folgender Weise an. Der Fall, wo das Ergal
ein \Emphasis{Minimum} ist, entspricht dem \Emphasis{stabilen}, der Fall, wo das Ergal
ein \Emphasis{Maximum} ist, dem \Emphasis{labilen} Gleichgewichte, während in
solchen Fällen, wo das Ergal weder allgemein ein Minimum, noch
allgemein ein Maximum ist, auch das Gleichgewicht weder vollständig
stabil, noch vollständig labil ist.


\clearpage%[** TN: Otherwise, underfull page gets incorrect running head]
\Section{60.}{Die Energie.}

Wir kehren nun zu der Gleichung~(9) zurück, und setzen darin
für den an der rechten Seite stehenden Ausdruck der Arbeit die
in~(12) gegebene Differenz. Zugleich wollen wir auch für die lebendige
Kraft ein besonderes Zeichen einführen, indem wir setzen:
\[
\tag{13}
T = \frac{1}{2} \sum mv^2.
\]
Dann lautet die Gleichung:
\[
T - T_0 = \Omega_0 - \Omega,
\]
oder anders geschrieben:
\[
\tag{14}
T + \Omega = T_0 + \Omega_0.
\]
Diese Gleichung drückt aus, dass die Summe aus lebendiger Kraft
und Ergal zu Ende der Bewegung denselben Werth hat, wie zu
Anfang, und da man die betrachtete Bewegung beliebig abgrenzen
und somit während ihres ganzen Verlaufes jeden Zeitpunct als Endpunct
wählen kann, so kann man allgemeiner sagen: \Emphasis{die Summe
aus lebendiger Kraft und Ergal ist während der Bewegung
constant}.
%% -----File: 167.png---Folio 153-------

Für diese Summe, welche natürlich bei der Behandlung der
Bewegungserscheinungen eine wichtige Rolle spielt, hat man einen
besonderen Namen eingeführt, indem man sie die \Emphasis{Energie} des
Systems genannt hat, wodurch der vorige Satz folgenden noch
kürzeren Ausdruck gewinnt: \Emphasis{die Energie bleibt bei der Bewegung
constant. Diesen Satz nennt man den Satz von der
Erhaltung der Energie}.


\Section{61.}{Ein Fall, in welchem die Kräfte ein Ergal haben.}

Zu den Fällen, wo ein Ergal existirt, gehört zunächst der
schon früher in §~5 behandelte Fall, \Emphasis{wo die Kräfte, welche
auf einen beweglichen Punct wirken, sich zerlegen lassen
in anziehende und abstossende Kräfte, welche von
festen Puncten des Raumes ausgehen und ihrer Stärke
nach irgend welche Functionen der Entfernung sind}.

Es seien $p'$,~$p'_1$, $p'_2$~etc.\ solche feste Puncte mit den Coordinaten
$x'$,~$y'$,~$z'$; $x'_1$,~$y'_1$, $z'_1$~etc.\ und von den beweglichen Puncten
sei vorläufig nur Einer~$p$ mit den Coordinaten $x$,~$y$,~$z$ zur Betrachtung
ausgewählt. Die Entfernung zwischen $p$~und~$p'$ heisse~$r'$, so
dass man hat:
\[
\tag{15}
r' = \sqrt{(x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2},
\]
und die Kraft, mit welcher $p'$ auf $p$ wirkt, werden durch $f(r')$
dargestellt, und sei abstossend oder anziehend, jenachdem diese
Function positiv oder negativ ist. Ebenso sei der Abstand zwischen
$p$~und~$p'_1$ mit $r'_1$ und die von $p'_1$ ausgehende Kraft mit $f_1(r'_1)$
bezeichnet u.~s.~f. Wenn man dann folgende neue Functionen
bildet:
\begin{align*}
F(r') &= -\int f(r')\, dr' \\
F_1(r'_1) &= -\int f_1(r'_1)\, dr'_1, \\
\text{etc.}\ &
\end{align*}
und darauf setzt:
\[
\tag{16}
%[** TN: \textstyle \sum in original here, below]
U = F(r') + F_1(r'_1) + \text{etc.} = \sum F(r'),
\]
%% -----File: 168.png---Folio 154-------
so ist $U$ die Kraftfunction für den Punct~$p$, und man hat:
\[
X = -\frac{\partial U}{\partial x},\quad
Y = -\frac{\partial U}{\partial y},\quad
Z = -\frac{\partial U}{\partial z}.
\]
In Folge dieser Gleichung kann man schreiben:
\[
X\, dx + Y\, dy + Z\, dz
  = -\left(\frac{\partial U}{\partial x}\, dx
         + \frac{\partial U}{\partial y}\, dy
         + \frac{\partial U}{\partial z}\, dz \right),
\]
und da $U$ eine Grösse ist, welche nur die Coordinaten $x$,~$y$,~$z$ als
Veränderliche enthält, so ist der hier rechts in Klammer stehende
Ausdruck ihr vollständiges Differential, welches kurz mit $dU$ bezeichnet
werden kann, und somit ist die geforderte Integration ohne
Weiteres ausführbar, indem man erhält:
\[
\tag{17}
\int (X\, dx + Y\, dy + Z\, dz) = -\int dU = -U + \text{Const.}
\]

Hat die Bewegung des Punctes~$p$ von einem gegebenen Anfangspuncte
aus stattgefunden, dessen Coordinaten $x_0$,~$y_0$,~$z_0$ heissen
mögen, und nennen wir den Werth, welchen die Function~$U$
an dieser Stelle hat,~$U_0$, so gilt für die Arbeit, welche bei der
Bewegung von dort aus bis zu dem Puncte $x$,~$y$,~$z$ von den wirksamen
Kräften gethan ist, die Gleichung:
\[
\tag{18}
L = U_0 - U.
\]
Daraus folgt, dass bei dieser Art von Kräften das oben Gesagte
gilt, dass nämlich, wenn der Anfangs- und Endpunct der Bewegung
gegeben sind, die Arbeit vollständig bestimmt ist, ohne dass man
den Weg, auf welchem der Punct von der einen Stelle zur anderen
gelangt ist, zu kennen braucht. Ja man kann noch mehr sagen:
es brauchen nur die beiden Niveauflächen, in welchen der Anfangs-
und Endpunct liegen, und welche bekanntlich bestimmten Werthen
der Function~$U$ entsprechen, gegeben zu sein, um die Arbeit vollständig
bestimmen zu können.

Die vorstehenden Betrachtungen können wir nun leicht auf
den Fall ausdehnen, wo nicht blos Ein beweglicher Punct~$p$, sondern
ein ganzes System beweglicher Puncte $p$,~$p_1$, $p_2$~etc.\ gegeben
ist, während die Kräfte, welche auf sie wirken, wie vorher, von
den festen Puncten $p'$,~$p'_1$, $p'_2$~etc.\ ausgehen. In diesem Falle
giebt es für jeden der beweglichen Puncte eine Kraftfunction der
%% -----File: 169.png---Folio 155-------
vorher besprochenen Art, und wenn man diese der Reihe nach mit
$U$,~$U_1$, $U_2$,~etc.\ bezeichnet, so kann man schreiben:
\begin{align*}
\sum (X\, dx + Y\, dy + Z\, dz)
  &= -dU - dU_1 - dU_2 - \text{etc.} \\
  &= -d(U + U_1 + U_2 + \text{etc.}).
\end{align*}
Die hier auf der rechten Seite in Klammer stehende Summe kann
man auch in folgender Weise bezeichnen:
\[
\tag{19}
U + U_1 + U_2 + \text{etc.} = \sum F(r'),
\]
worin aber das Summenzeichen eine weitere Bedeutung hat, als in
der Gleichung~(16), indem es nicht blos so viele Glieder umfasst,
als feste Puncte vorhanden sind, sondern so viele, als es Combinationen
von je einem beweglichen mit einem festen Puncte giebt.
Die obige Gleichung lautet demnach:
\[
\tag{20}
\sum (X\, dx + Y\, dy + Z\, dz) = -d\sum F(r').
\]
Der zu integrirende Ausdruck ist also auch für beliebig viele bewegliche
Puncte auf die Form eines vollständigen Differentials zurückgeführt
und die durch $\sum F(r')$ dargestellte Grösse ist somit das
Ergal.


\Section{62.}{Ein anderer Fall, in welchem die Kräfte ein Ergal
haben.}

Ein anderer Fall, welchen wir zu betrachten haben, ist der, \Emphasis{wo
die beweglichen Puncte unter einander selbst anziehende
oder abstossende Kräfte ausüben, welche ihrer Stärke
nach irgend welche Functionen der Entfernung sind}.

Der Abstand der beiden Puncte $p$~und~$p_1$, deren Coordinaten
$x$,~$y$,~$z$ und $x_1$,~$y_1$,~$z_1$ sind, heisse~$r$, so dass man hat:
\[
\tag{21}
r = \sqrt{(x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 + (z-z_1)^2},
\]
und die Kraft, welche sie auf einander ausüben, sei durch $\varphi(r)$ bezeichnet.
Diese Kraft wirkt auf beide Puncte mit gleicher Stärke
und in entgegengesetzter Richtung, und sie kommt daher in der
Formel für die Gesammtarbeit zweimal vor, erstens am Puncte~$p$,
wo ihre Componenten sind:
%% -----File: 170.png---Folio 156-------
\[
\varphi(r)\, \frac{x-x_1}{r};\quad
\varphi(r)\, \frac{y-y_1}{r};\quad
\varphi(r)\, \frac{z-z_1}{r},
\]
und zweitens am Puncte~$p_1$, wo ihre Componenten sind:
\[
\varphi(r)\, \frac{x_1-x}{r};\quad
\varphi(r)\, \frac{y_1-y}{r};\quad
\varphi(r)\, \frac{z_1-z}{r}.
\]
Nun hat man in Folge von~(21):
\[
\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x-x_1}{r} \text{ und }
\frac{\partial r}{\partial x_1} = \frac{x_1-x}{r}
\]
und man kann daher, wenn man noch die Function~$\Phi(r)$ mit der
Bedeutung:
\[
\Phi(r) = -\int\varphi(r)\, dr
\]
einführt, schreiben:
\begin{align*}
\varphi(r)\, \frac{x-x_1}{r}
  &= \varphi(r)\, \frac{\partial r}{\partial x}
   = - \frac{\partial \Phi(r)}{\partial x} \\
\varphi(r)\, \frac{x_1-x}{r}
  &= \varphi(r)\, \frac{\partial r}{\partial x_1}
   = -\frac{\partial \Phi(r)}{\partial x_1}.
\end{align*}
Entsprechende Gleichungen gelten auch für die Componenten nach
der $y$-~und $z$-Richtung, und die sechs Componenten der beiden
entgegengesetzten Kräfte werden daher durch folgende Differentialcoefficienten
dargestellt:
\begin{align*}
&- \frac{\partial \Phi(r)}{\partial x};\quad
 - \frac{\partial \Phi(r)}{\partial y};\quad
 - \frac{\partial \Phi(r)}{\partial z}; \\
&- \frac{\partial \Phi(r)}{\partial x_1};\quad
 - \frac{\partial \Phi(r)}{\partial y_1};\quad
 - \frac{\partial \Phi(r)}{\partial z_1}.
\end{align*}

Nimmt man nun aus der ganzen Summe:
\[
\sum (X\, dx + Y\, dy + Z\, dz)
\]
den Theil heraus, welcher sich auf diese beiden entgegengesetzten
Kräfte bezieht, so lautet derselbe:
\begin{align*}
&- \left(\frac{\partial \Phi(r)}{\partial x}\, dx
       + \frac{\partial \Phi(r)}{\partial y}\, dy
       + \frac{\partial \Phi(r)}{\partial z}\, dz \right. \\
&+ \left.\frac{\partial \Phi(r)}{\partial x_1}\, dx_1
       + \frac{\partial \Phi(r)}{\partial y_1}\, dy_1
       + \frac{\partial \Phi(r)}{\partial z_1}\, dz_1 \right),
\end{align*}
%% -----File: 171.png---Folio 157-------
und der hier in Klammer stehende Ausdruck ist, da $r$ nur von
den sechs Grössen $x$,~$y$,~$z$, $x_1$,~$y_1$,~$z_1$ abhängt, und daher auch
$\Phi(r)$ als eine Function dieser sechs Grössen zu betrachten ist, ein
vollständiges Differential, wofür man einfach $d\Phi(r)$ schreiben
kann.

Ebenso giebt jede zwischen zwei beweglichen Puncten wirkende
Kraft sechs Glieder, welche zusammen ein vollständiges
Differential bilden. Man kann daher, wenn nur solche Kräfte vorkommen,
welche die beweglichen Puncte unter einander ausüben,
schreiben:
\begin{align*}
\tag{22}
\sum(X\, dx + Y\, dy + Z\, dz)
  &= -d\Phi(r) - d\Phi_1(r_1) - \text{etc.} \\
  &= -d[\Phi(r) + \Phi_1(r_1) + \text{etc.}] \\
  &= -d\sum \Phi(r),
\end{align*}
worin die an der rechten Seite angedeutete Summe so viele Glieder
enthält, als sich aus den beweglichen Puncten Combinationen zu
je zweien bilden lassen. Es existirt somit auch für diesen Fall ein
Ergal, welches durch $\sum\Phi(r)$ dargestellt wird.

Nimmt man nun endlich den Fall an, dass die beiden betrachteten
Arten von Kräften gleichzeitig wirken, dass also \Emphasis{die beweglichen
Puncte Anziehungs- und Abstossungskräfte
sowohl von festen Centren aus erleiden, als auch unter
einander selbst ausüben}, so braucht man nur die beiden vorher
gewonnenen Resultate zu vereinigen. Man erhält dann:
\begin{align*}
\tag{23}
\sum(X\, dx + Y\, dy + Z\, dz)
  &= -d\sum F(r') - d\sum \Phi(r)\\
  &= -d\left[ \sum F(r') + \sum \Phi(r) \right],
\end{align*}
worin sich auf der rechten Seite die erste Summe auf alle Combinationen
je eines beweglichen Punctes mit einem festen Puncte,
und die zweite Summe auf alle Combinationen der beweglichen
Puncte unter einander zu je zweien bezieht. Der in der eckigen
Klammer stehende Ausdruck ist also das Ergal, so dass wir setzen
können:
\[
\tag{24}
\Omega = \sum F(r') + \sum \Phi(r).
\]
%% -----File: 172.png---Folio 158-------


\Section{63.}{Potential eines entweder in einzelnen Puncten concentrirten
oder durch einen Raum stetig verbreiteten
Agens auf ein anderes.}

Wir wollen nun die vorher gemachten Annahmen in derselben
Weise weiter specialisiren, wie wir es in §~6~und~7 gethan haben,
um von der allgemeinen Kraftfunction zur Potentialfunction zu
gelangen. Es soll nämlich angenommen werden, \Emphasis{dass sich in den
Puncten, welche auf einander wirken, gewisse Mengen
von Agentien befinden, welche die Wirkung ausüben und
erleiden, und dass ferner die Kräfte dem Quadrate der
Entfernung umgekehrt proportional seien}.

Die in den beweglichen Puncten $p$,~$p_1$, $p_2$~etc.\ befindlichen
Mengen seien $q$,~$q_1$, $q_2$~etc.,\footnote
  {Für die in den Puncten befindlichen Mengen der wirksamen Agentien
  sind andere Zeichen gewählt, als für die in denselben Puncten befindlichen
  materiellen Massen, welche mit $m$,~$m_1$, $m_2$~etc.\ bezeichnet wurden, weil nämlich
  die Agentien, welche die Kräfte ausüben, von den Massen, welche dadurch
  in Bewegung gesetzt werden, verschieden sein können. Denkt man
  sich \zB\ ein ponderables Molecül, welches mit Electricität geladen ist, so
  kann man sich vorstellen, dass durch die Kraft, welche die Electricität erleidet,
  nicht nur diese selbst, sondern auch das Molecül, an welchem sie haftet,
  in Bewegung gesetzt wird.}
und die in den festen Puncten $p'$,~$p'_1$,
$p'_2$~etc.\ befindlichen Mengen $q'$,~$q'_1$, $q'_2$~etc.\ Die Kraft, welche
die Mengen $q$~und~$q'$, welche um die Strecke~$r'$ von einander entfernt
sind, auf einander ausüben, wird durch
\[
e\, \frac{qq'}{r'^2}
\]
dargestellt, worin $e$ ein Factor ist, welcher von der Natur der
Agentien und von den gewählten Einheiten abhängt. Nehmen wir
an, dass alle auf einander wirkenden Agentien von gleicher Natur
seien, und dass zwischen ihnen nur solche Unterschiede vorkommen,
die sich dadurch ausdrücken lassen, dass man die Mengen theils
positiv, theils negativ in Rechnung bringt, so ist jener Factor für
alle vorkommenden Combinationen von zwei Mengen gleich, und
wir haben ihn oben für diesen Fall zum Unterschiede mit $\epsilon$ bezeichnet.
%% -----File: 173.png---Folio 159-------

Wir erhalten demnach für die Function, welche die Kraft
zwischen zwei Mengen ausdrückt, die Form:
\[
f(r') = \epsilon\, \frac{qq'}{r'^2}
\]
und daraus folgt:
\[
F(r') = -\int f(r')\, dr' = \epsilon\, \frac{qq'}{r'}.
\]
Bilden wir nun die in den Gleichungen (19)~und~(20) vorkommende
Summe~$\sum F(r')$, für welche wir in diesem Falle ein besonderes Zeichen~$W'$
einführen wollen, so erhalten wir:
\[
\tag{25}
W' = \epsilon \sum \frac{qq'}{r'},
\]
worin das Summenzeichen alle Combinationen je einer der Mengen~$q$
mit einer der Mengen~$q'$ umfasst, und~$r'$ der zu jeder Combination
gehörige Abstand ist.

Diese Grösse $W'$ ist \Emphasis{das Potential des Systemes der $q'$
auf das System der $q$}. Da in ihr die Mengen $q$~und~$q'$ in ganz
gleicher Weise vorkommen, so kann man sie auch \Emphasis{das Potential
des Systemes der~$q$ auf das System der~$q'$, oder auch das
Potential der beiden Systeme auf einander} nennen.

Man kann die vorige Summe in der Weise zerlegen, dass man
immer die Glieder, welche eine und dieselbe Menge des Systemes
der $q$~enthalten, zusammenfasst und daraus Partialsummen bildet,
welche man dann noch addiren muss, um die Gesammtsumme zu
erhalten. Diese Partialsummen lauten, wenn man jedesmal die
allen Gliedern gemeinsame Menge vor das Summenzeichen setzt:
\[
\epsilon q   \sum \frac{q'}{r'};\quad
\epsilon q_1 \sum \frac{q'}{r_1'};\quad
\epsilon q_2 \sum \frac{q'}{r_2'} \text{ etc.}
\]
worin die verschiedene Bezeichnung der Abstände $r'$,~$r'_1$, $r'_2$~etc.
andeuten soll, dass in jeder Summe die Abstände von dem Puncte
aus gerechnet werden müssen, wo sich die vor dem Summenzeichen
stehende Menge befindet. Nun sind aber die Grössen:
\[
\epsilon \sum\frac{q'}{r'};\quad
\epsilon \sum\frac{q'}{r_1'};\quad
\epsilon \sum\frac{q'}{r_2'} \text{ etc.},
\]
%% -----File: 174.png---Folio 160-------
die Werthe der \Emphasis{Potentialfunction} des Systemes der $q'$ an den
Puncten, wo sich die Mengen $q$,~$q_1$, $q_2$~etc.\ befinden, und wir wollen
diese Werthe dem Früheren entsprechend mit $V'$,~$V'_1$, $V'_2$~etc.\ bezeichnen,
dann lauten jene Partialsummen:
\[
qV';\quad q_1V'_1;\quad q_2V'_2 \text{ etc.}
\]
und dadurch geht der Ausdruck für das Potential über in:
\[
\tag{26}
W' = \sum q V'.
\]
Man kann statt dieses Ausdruckes auch den ihm analogen schreiben,
welcher entsteht, wenn man die beiden Systeme unter einander
vertauscht. Sei nämlich~$V$ die Potentialfunction des Systemes der~$q$
an der Stelle, wo sich eine der Mengen~$q'$ befindet, so ist:
\[
\tag{26a.}
W' = \sum q' V.
\]

Wenn die Agentien, welche auf einander wirken, nicht in einzelnen
Puncten concentrirt sind, sondern Räume stetig ausfüllen,
so muss man sie in Elemente zerlegen, und statt der Summenzeichen
Integralzeichen einführen. Dadurch erhält man an Stelle
der Gleichung~(25):
\[
\tag{27}
W' = \epsilon \iint \frac{dq\,dq'}{r'},
\]
worin sich die eine Integration über das ganze Agens~$q$ und die
andere über das ganze Agens~$q'$ erstreckt. Durch Einführung der
Potentialfunction des einen oder des anderen Agens erhält man:
\[
\tag{28}
W' = \int V'\, dq = \int V\, dq'.
\]


\Section{64.}{Potential eines Systemes von Puncten, welche mit
Agens versehen sind, oder eines durch einen Raum stetig
verbreiteten Agens auf sich selbst.}

Wir betrachten nun in derselben Weise \Emphasis{die Kräfte, welche
die Bestandtheile des beweglichen Systemes auf einander
ausüben}. Gehen wir zuerst wieder von dem Falle aus, wo endliche
Mengen $q$,~$q_1$, $q_2$~etc.\ des Agens in Puncten concentrirt sind,
%% -----File: 175.png---Folio 161-------
so ist ohne Weiteres klar, dass die in~(22) vorkommende Summe
$\sum \Phi(r)$, welche wir für unseren jetzigen Fall mit~$W$ bezeichnen
wollen, folgende Form annimmt:
\[
\tag{29}
W = \epsilon \sum \frac{qq_1}{r},
\]
worin das Summenzeichen sich auf alle Combinationen der Mengen
$q$ zu je zweien bezieht, und $r$~die betreffenden Abstände bedeutet.
Diese Grösse ist \Emphasis{das Potential des mit den Mengen $q$,~$q_1$,
$q_2$}~etc.\ \Emphasis{versehenen Systemes von Puncten auf sich selbst}.

Für den Fall, dass das Agens einen Raum stetig ausfüllt, muss
man setzen:
\[
\tag{30}
W = \frac{1}{2} \,\epsilon \iint \frac{dq\,dq_1}{r},
\]
worin die Integration zweimal über dasselbe Agens auszuführen ist.
Bedeutet $V$ die Potentialfunction des betrachteten Agens an der
Stelle, wo sich eins seiner eigenen Elemente~$dq$ befindet, so geht
der vorige Ausdruck über in:
\[
\tag{31}
W = \frac{1}{2} \int V\, dq.
\]

Der Factor $\dfrac{1}{2}$, welcher in diesen Ausdrücken enthalten ist,
obwohl er sich in den entsprechenden Ausdrücken (27)~und~(28)
nicht findet, musste in diesem Falle deshalb hinzugefügt werden,
weil in den Integralen jedes Product aus zwei Elementen $dq_m$~und~$dq_n$
doppelt vorkommt, einmal in der Anordnung $dq_m\, dq_n$ und das
andere Mal in der Anordnung $dq_n\, dq_m$, während es in dem Potentiale
nur einmal vorkommen darf.

Ausser diesem Umstande ist bei den Formeln für~$W$ noch ein
anderer Umstand zur Sprache zu bringen. Unter den unendlich
vielen Combinationen von je zwei Elementen, welche jene Integrale
in sich begreifen, kommen auch solche vor, welche nicht zwei verschiedene
Elemente, sondern zweimal dasselbe Element enthalten.
Der einer solchen Combination entsprechende Theil des Gesammtintegrales
ist aber nicht in dem Sinne aufzufassen, dass man in
dem Ausdrucke $\dfrac{dq\, dq}{r}$ den Nenner~$r$ \Emphasis{absolut gleich Null} zu setzen
hat, sondern man kann sich das Element~$dq$ wieder in unendlich
%% -----File: 176.png---Folio 162-------
viele Theile zerlegt denken, deren jeder ein unendlich Kleines von
höherer Ordnung ist, und kann nun durch entsprechende Combination
dieser Theile unter einander ebenso das Potential der unendlich
kleinen Menge~$dq$ auf sich selbst bilden, wie in dem Ausdrucke~(30)
das Potential einer endlichen Menge auf sich selbst gebildet
ist. In diesem Potentiale des Elementes~$dq$ auf sich selbst kommen
dann wieder Glieder vor, in denen je einer der in höherer Ordnung
unendlich kleinen Theile mit sich selbst combinirt ist. Mit
einem solchen Gliede kann man dann wieder ebenso verfahren, wie
vorher mit dem Gliede $\dfrac{dq\,dq}{r}$, und kann so beliebig weiter fortfahren.

Es fragt sich nun, ob dieser Umstand, dass in dem Integrale
auch die Potentiale der einzelnen Elemente auf sich selbst enthalten
sind, wegen des darin vorkommenden unendlich kleinen Nenners
der bestimmten Ausführung der Integration hinderlich ist, und,
wenn dieses nicht der Fall sein sollte, ob diese Potentiale der
einzelnen Elemente auf sich selbst einen solchen Einfluss auf den
Werth des Gesammtpotentials haben, dass sie bei der Ausführung
der Integration irgendwie besonders berücksichtigt werden müssen.

Beide Fragen lassen sich am leichtesten beantworten, wenn
wir die in~(31) gegebene zweite Formel von $W$ betrachten, weil
wir die darin vorkommende Function~$V$ schon oben vollständig behandelt
haben, und daher die Transformationen, welche bei der in~(30)
gegebenen ersten Formel nöthig wären, nicht mehr auszuführen
brauchen. Dabei versteht es sich dann von selbst, dass,
was für die zweite Formel gilt, auch für die erste gelten muss,
da jene in vereinfachter Form ganz dasselbe ausdrückt wie diese.

Wir wissen aus dem Früheren, dass die Potentialfunction auch
im Innern des von dem Agens stetig erfüllten Raumes überall einen
endlichen Werth behält, und demnach muss auch das Integral $\ds\int V \,dq$
einen vollständig bestimmten endlichen Werth haben, wodurch die
erste Frage entschieden ist. Was ferner die zweite Frage anbetrifft,
so haben wir in §~11 unter~(25) die Potentialfunction in
folgender Form dargestellt:
\[
V = \epsilon \iint k'r\, dr\, d\sigma,
\]
worin $d\sigma$ das Element des körperlichen Winkels ist. In dieser
%% -----File: 177.png---Folio 163-------
Form ist der Abstand~$r$ nicht nur aus dem Nenner verschwunden,
sondern er kommt sogar als Factor vor. Daraus folgt, dass, wenn
man sich um den Punct, auf welchen sich die Potentialfunction
bezieht, und welcher in dieser Formel zugleich der Mittelpunct der
Polarcoordinaten ist, einen unendlich kleinen Raum abgegrenzt
denkt, es auf den Werth von $V$ nur einen unendlich kleinen Einfluss
haben kann, ob man bei seiner Berechnung die in diesem
kleinen Raume enthaltene Menge des Agens berücksichtigt oder
nicht. Demnach können wir auch bei dem Integral $\ds\int V\, dq$ sagen,
es macht nur einen unendlich kleinen Unterschied, ob bei der Bestimmung
von $V$ die kleine Menge~$dq$ mitgerechnet oder fortgelassen
ist, und wenn man annimmt, dass das letztere geschehen
sei, \dh\ dass in den verschiedenen Gliedern $V\, dq$, $V_1\, dq_1$~\ldots\ldots
$V_n\, dq_n$, welche in dem Integrale vorkommen, die Werthe von~$V$,
$V_1$~\ldots\ldots $V_n$ immer so bestimmt seien, dass dasjenige Element,
mit welchem die Potentialfunction multiplicirt ist, in ihr selbst
nicht vorkommt, so fallen dadurch aus dem Integrale die Combinationen,
welche zweimal dasselbe Element enthalten, fort. Da somit
der Unterschied, welcher in dem Gesammtintegrale dadurch
entsteht, dass man die Potentiale der einzelnen Elemente auf sich
selbst entweder miteinbegreift, oder fortlässt, nur ein unendlich
kleiner ist, so folgt daraus, dass es durchaus nicht erforderlich ist,
diese Potentiale in irgend einer Weise speciell in Betracht zu ziehen.

Ganz anders verhält es sich in dem zu Anfang dieses~§ betrachteten
Falle, wo wir uns endliche Mengen des Agens in einzelnen
Puncten concentrirt dachten. In diesem Falle würde es
einen wesentlichen Unterschied machen, wenn man das betreffende
Potential so verstehen wollte, dass darin nicht nur die Potentiale
der verschiedenen Mengen auf einander, sondern auch die Potentiale
der einzelnen, in Puncten concentrirten Mengen auf sich selbst
enthalten sein müssten. Bei der letzteren Auffassung würde man
zu einem Potentiale von unendlicher Grösse gelangen, und man
muss daher, wenn man einen endlichen Werth behalten will, die
Potentiale der einzelnen Mengen auf sich selbst fortlassen. Daraus
folgt dann aber, dass die erhaltene Grösse, welche oben »das Potential
des mit den Mengen $q$,~$q_1$, $q_2$~etc.\ versehenen Systemes von
Puncten auf sich selbst« genannt wurde, nicht als gleichbedeutend
mit dem Potentiale des gesammten in den Puncten befindlichen
Agens auf sich selbst zu betrachten ist.
%% -----File: 178.png---Folio 164-------

Uebrigens ist der Fall, wo endliche Mengen eines Agens in
mathematischen Puncten concentrirt sind, nur ein fingirter, der in
der Wirklichkeit nicht vorkommen kann. Es kommt daher bei
Betrachtung wirklich vorkommender Fälle die zuletzt erwähnte Unterscheidung
gar nicht zur Sprache.

\Section{65.}{Anwendung der Potentiale zur Bestimmung der Arbeit.}

Mit Hülfe der in den vorigen~§§ definirten Potentiale lassen
sich nun die Arbeitsgrössen ebenso darstellen, wie es schon oben
beim Ergal auseinandergesetzt wurde, da das Potential ja nur ein
specieller Fall des Ergals ist. Indessen möge es wegen der vielfachen
Anwendungen des Potentials hier noch einmal kurz angeführt
werden.

Wenn ein Agens, dessen Theile beweglich sind, seien diese
Theile nun in einzelnen Puncten concentrirt, oder durch einen
Raum stetig verbreitet, sich unter dem Einflusse eines festen Agens
bewegt, so wird die Arbeit, welche dabei von den Kräften des letzteren
gethan wird, dargestellt durch die Abnahme des Potentials
des festen Agens auf das bewegliche. Bezeichnen wir also dieses
Potential, wie oben, mit~$W'$, und seinen Anfangswerth mit~$W'_0$,
so ist die Arbeit:
\[
W'_0 - W'.
\]

Ebenso wird die Arbeit derjenigen Kräfte, welche die Theile
des beweglichen Agens auf einander ausüben, dargestellt durch die
Abnahme des Potentials des beweglichen Agens auf sich selbst,
welches oben mit $W$ bezeichnet wurde, und der Ausdruck für diese
Arbeit ist daher:
\[
W_0 - W.
\]

Wenn man endlich beide Arten von Kräften berücksichtigen
will, so muss man auch beide Potentiale anwenden, und erhält als
Ausdruck der Arbeit:
\[
(W + W')_0 - (W + w').
\]
In diesem Falle kann man die Sache aber auch noch anders ausdrücken.
Denkt man sich nämlich noch das Potential des festen
Agens auf sich selbst gebildet, welches $W''$ heissen möge, so ist die
Summe $W + W' + W''$ das Potential des gesammten Agens, des
%% -----File: 179.png---Folio 165-------
festen und beweglichen zusammen, auf sich selbst. Bei der Bewegung
des beweglichen Agens bleibt nun das Potential~$W''$ des
festen Agens auf sich selbst unverändert, und der Ausdruck für die
Arbeit ändert daher seinen Werth nicht, wenn man dieses Potential
darin mit aufnimmt, und schreibt:
\[
(W + W' + W'')_0 - (W + W' + W'').
\]
Wenn man also das feste und bewegliche Agens zusammen als ein
Ganzes betrachtet, und dessen Potential auf sich selbst bildet, so
stellt die Abnahme dieses Potentials die Arbeit aller wirksamen
Kräfte dar.

Ebenso wie bei der Bestimmung der Arbeit gilt natürlich auch
bei der Formulirung der Gleichgewichtsbedingung und bei der Bestimmung
der Energie Alles, was oben allgemein vom Ergal gesagt
ist, in dem speciellen Falle, wo nur Anziehungs- und Abstossungskräfte
vorkommen, welche dem Quadrate der Entfernung umgekehrt
proportional sind, vom Potential.

\ctb
%% -----File: 180.png---Folio 166-------


\Appendix{Zusatz I.}{Ableitung der in §~17 erwähnten Form der Potentialfunction
eines homogenen Körpers.}

In den ersten Auflagen dieses Buches habe ich eine eigenthümliche
Form der Potentialfunction eines homogenen Körpers
entwickelt, welche sich durch ihre Einfachheit und die Leichtigkeit,
mit welcher sich aus ihr gewisse Schlüsse ziehen lassen, auszeichnet.
Diese Form habe ich in der dritten und ebenso auch in der
vorliegenden Auflage im Texte fortgelassen, um dort die Uebersichtlichkeit
nicht durch zu grosse Breite zu stören. Indessen scheint
sie mir doch ein hinlängliches Interesse darzubieten, um sie hier
in einem Zusatze mitzutheilen.

Wenn man in dem in §~7 unter~(Ia.)\ gegebenen Ausdrucke
der Potentialfunction, nämlich
\[
V = \epsilon \int \frac{dq'}{r},
\]
das Mengenelement~$dq'$ durch das Product~$k\, d\tau$ ersetzt, worin $d\tau$
das Raumelement und $k$ die als constant vorausgesetzte Dichtigkeit
bedeutet, so kommt:
\[
V = \epsilon k \int \frac{d\tau}{r},
\]
und wenn man hierin ferner, wie in §~11, für $d\tau$ das Product
$r^2\, dr\, d\sigma$ einführt, worin $d\sigma$ das Element des körperlichen Winkels
darstellt, so lautet die Gleichung:
\[
V = \epsilon k \iint r\, dr\, d\sigma
\]
oder anders geschrieben:
%% -----File: 181.png---Folio 167-------
\[
\tag{1}
V = \epsilon k\int d\sigma \int r\, dr.
\]
Verfährt man mit diesem Ausdrucke so, wie es in §~22 mit dem
unter~(77) gegebenen Ausdrucke von $X$ geschehen ist, so erhält
man zunächst durch Integration nach~$r$
\[
\tag{2}
V = \frac {\epsilon k}{2} \int(± {R_1}^2 \mp {R_2}^2 ± \text{etc.})\, d\sigma.
\]
Setzt man hierin ferner, wie es dort geschehen ist:
\[
\tag{3}
d\sigma = ± \frac{i}{R^2}\, d\omega,
\]
worin $d\omega$ das Oberflächenelement bedeutet, welches dem Elemente
des körperlichen Winkels~$d\sigma$ entspricht, und $i$ den Cosinus des
Winkels darstellt, welchen die auf $d\omega$ nach Aussen hin errichtete
Normale mit dem von $p$ nach $d\omega$ gezogenen und darüber hinaus
verlängerten Leitstrahle bildet, und wählt man dabei die Vorzeichen
in der dort erläuterten Weise, so erhält man:
\[
\tag{A}
V = \frac{\epsilon k}{2} \int i\, d\omega,
\]
worin das Integral sich einfach über die ganze Oberfläche des gegebenen
Körpers zu erstrecken hat. Dieses ist der erwähnte neue
Ausdruck der Potentialfunction eines homogenen Körpers, welcher
sowohl für Puncte innerhalb des Körpers, als auch für Puncte
ausserhalb desselben gültig ist.

Mit Hülfe dieses Ausdruckes lässt sich der Werth von $\Delta V$ für
innerhalb und ausserhalb des Körpers gelegene Puncte leicht bestimmen.
Es ist nämlich:
\[
\tag{4}
\Delta V = \frac{\epsilon k}{2}
  \int \left(\frac{\partial^2 i}{\partial x^2}
           + \frac{\partial^2 i}{\partial y^2}
           + \frac{\partial^2 i}{\partial z^2}\right) d\omega.
\]
Um die hierin angedeuteten Differentiationen auszuführen, müssen
wir $i$ ausdrücken. Die Cosinus der Winkel, welche der nach $d\omega$
gezogene Leitstrahl mit den Coordinatenaxen bildet, mögen mit $a$,~$b$,~$c$
und die Cosinus der Winkel der auf $d\omega$ errichteten Normale
mit den Coordinatenaxen mit $\alpha$,~$\beta$,~$\gamma$ bezeichnet werden; dann ist:
%% -----File: 182.png---Folio 168-------
\[
\tag{5}
i = a \alpha + b \beta + c \gamma.
\]
Ferner ist, wenn $\xi$,~$\eta$,~$\zeta$ die Coordinaten des Elementes~$d \omega$ sind:
\[
\tag{6}
a = \frac{\xi - x}{R};\quad
b = \frac{\eta - y}{R};\quad
c = \frac{\zeta - z}{R}.
\]
Dadurch geht die vorige Gleichung über in:
\[
\tag{7}
i = \frac{(\xi - x)\alpha + (\eta - y)\beta + (\zeta - z)\gamma}{r}
\]
und zugleich ist:
\[
\tag{8}
R = \sqrt{(\xi - x)^2 + (\eta - y)^2 + (\zeta - z)^2}.
\]
Hiernach können wir die Differentialcoefficienten von $i$ bilden, und
bekommen:
\begin{align*}
\tag{9}
&\left\{
\begin{aligned}
\frac{\partial i}{\partial x} &= \frac{\xi - x}{R^2}\, i - \frac{\alpha}{R}\\
\frac{\partial i}{\partial y} &= \frac{\eta - y}{R^2}\, i - \frac{\beta}{R}\\
\frac{\partial i}{\partial z} &= \frac{\zeta - z}{R^2}\, i - \frac{\gamma}{R}
\end{aligned}
\right. \\[2ex]
\tag{10}
&\left\{
\begin{aligned}
\frac{\partial^2 i}{\partial x^2}
  &= \frac{3(\xi - x)^2 - R^2}{R^4}\, i - 2\frac{\xi - x}{R^3}\, \alpha\\ % bis hier ok, aber...
%
\frac{\partial^2 i}{\partial y^2}
  &= \frac{3(\eta - y)^2 - R^2}{R^4}\, i - 2\frac{\eta - y}{R^3}\, \beta\\
%
\frac{\partial^2 i}{\partial z^2}
  &= \frac{3(\zeta - z)^2 - R^2}{R^4}\, i - 2\frac{\zeta - z}{R^3}\, \gamma.
\end{aligned}
\right.
\end{align*}

Wenn man diese drei Gleichungen addirt, so heben sich die
ersten Glieder an der rechten Seite auf, und es bleibt:
\begin{align*}
\tag{11}
\frac{\partial^2 i}{\partial x^2} +
\frac{\partial^2 i}{\partial y^2} +
\frac{\partial^2 i}{\partial z^2}
  &= -2\, \frac{(\xi - x)\alpha + (\eta - y)\beta + (\zeta - z)\gamma}{R^3}\\
  &= -2\, \frac{i}{R^2},
\end{align*}
und dadurch geht die Gleichung~(4) über in:
\[
\tag{12}
\Delta V = -\epsilon k \int\frac{i}{R^2}\, d\omega.
\]
%% -----File: 183.png---Folio 169-------

Hierin kann man nun gemäss~(3) wieder $d\sigma$ für $d\omega$ einführen,
Dabei ist, wie es in §~22 auseinandergesetzt wurde, in solchen
Fällen, wo ein Leitstrahl die Oberfläche mehrmals schneidet, dasselbe
Element~$d\sigma$ mehrmals mit verschiedenen Vorzeichen zu setzen,
und man erhält dadurch, jenachdem der Punct~$p$ innerhalb oder
ausserhalb des Körpers liegt, eine der beiden Gleichungen:
\[
\tag{13}
\left\{
\begin{aligned}
\Delta V &= - \epsilon k \int (1 - 1 + 1 - \text{etc.})\, d\sigma\\
\Delta V &= - \epsilon k \int (-1 + 1 - \text{etc.})\, d\sigma,\\
\end{aligned}
\right.
\]
von denen die erstere in der Klammer eine ungerade und die letztere
eine gerade Anzahl von Gliedern hat. In der ersteren Gleichung
heben sich die in der Klammer stehenden Glieder, mit Ausnahme
des ersten, gegenseitig auf, und es bleibt:
\[
\Delta V = - \epsilon k \int d\sigma,
\]
worin die Integration über den ganzen körperlichen Winkelraum
auszuführen ist, so dass man endlich erhält:
\[
\tag{14}
\Delta V = - 4 \pi \epsilon k.
\]
In der zweiten Gleichung heben sich alle in der Klammer stehenden
Glieder gegenseitig auf, und es kommt:
\[
\tag{15}
\Delta V = 0,
\]
welches die beiden zu beweisenden Gleichungen sind.

In Bezug auf die ersten Ableitungen des unter~(\DPtypo{$A$}{A}) gegebenen
Ausdruckes von $V$ stellt sich ein eigenthümliches Verhalten heraus.
Indem man die Gleichung~(A) nach $x$ differentiirt, erhält man:
\[
\tag{16}
\frac{\partial V}{\partial x}
  = \frac{\epsilon k}{2} \int \frac{\partial i}{\partial x}\, d \omega
  = \frac{\epsilon k}{2} \left( \frac{\xi - x}{R^2}\, i - \frac{\alpha}{R} \right) d\omega.
\]
Wenn man hierin für den Bruch $\dfrac{\xi - x}{R}$, welcher den Cosinus des
Winkels bedeutet, den der vom Puncte~$p$ nach dem Flächenelemente
%% -----File: 184.png---Folio 170-------
$d\omega$ gezogene Leitstrahl mit der $x$-Axe bildet, den oben eingeführten
Buchstaben~$a$ setzt, so lautet die Gleichung:
\[
\tag{17}
\frac{\partial V}{\partial x}
  = \frac{\epsilon k}{2} \int \left( \frac{ai}{R} - \frac{\alpha}{R} \right) d\omega.
\]
Vergleicht man hiermit den in §~20 unter~(56) gegebenen Ausdruck
von~$X$, nämlich:
\[
\tag{18}
X = -\epsilon k \int \frac{ai}{R}\, d\omega,
\]
so scheint es auf den ersten Blick, als ob die aus der Bedeutung
der Potentialfunction hervorgehende Gleichung
\[
\tag{19}
X = - \frac{\partial V}{\partial x}
\]
nicht erfüllt wäre. Es lässt sich aber durch eine geometrische
Betrachtung nachweisen, dass der Ausdruck, um welche die linke
und rechte Seite dieser letzten Gleichung scheinbar von einander
verschieden sind, sich auf Null reducirt.

Wir wollen diesen Nachweis dadurch führen, dass wir zeigen,
dass man aus derselben Gleichung, aus welcher der oben unter~(18)
gegebene Ausdruck von $X$ abgeleitet ist, auch einen anderen Ausdruck
ableiten kann. Der Allgemeinheit wegen wollen wir dabei
statt der speciell nach der $x$-Richtung gehenden Kraftcomponente,
die in die Richtung einer beliebigen durch $p$ gezogenen Geraden~$l$
fallende Kraftcomponente~$L$ betrachten. Die zur Bestimmung
dieser Kraftcomponente dienende Gleichung lautet, wenn wir den
Winkel, welchen der Leitstrahl mit der Geraden~$l$ bildet, mit $\vartheta$
bezeichnen, und demgemäss in der in §~22 unter~(77) gegebenen
Gleichung~$\cos{\vartheta}$ an die Stelle von $a$ setzen, folgendermaassen:
\[
\tag{20}
L = -\epsilon k \int d\sigma \cos\vartheta \int dr
\]
und hieraus erhält man durch Integration:
\[
\tag{21}
L = - \epsilon k \int (± R_1 \mp R_2 ± \text{etc.}) \cos{\vartheta}\, d\sigma,
\]
welche Gleichung den beiden in §~22 unter (78)~und~(78a.)\ gegebenen
Gleichungen entspricht. $R_1$,~$R_2$~etc.\ bezeichnen wie dort
%% -----File: 185.png---Folio 171-------
die Längen, welche der von $p$ ausgehende Leitstrahl bis zu den
Puncten hat, wo er die Oberfläche schneidet. Von den beiden Vorzeichen,
welche vor jedem $R$ stehen, ist das obere zu nehmen, wenn
der Leitstrahl, indem er wächst, die Oberfläche von innen nach
aussen durchschneidet, und das untere, wenn er die Oberfläche von
aussen nach innen durchschneidet. Das Integral ist, wenn $p$ innerhalb
des Körpers liegt, über den ganzen körperlichen Winkelraum~$4\pi$
zu nehmen, und wenn $p$ ausserhalb des Körpers liegt, über den
Theil des körperlichen Winkelraumes, innerhalb dessen die von $p$
ausgehenden Leitstrahlen die Oberfläche des Körpers treffen.

Wir führen nun, um das Element~$d\sigma$ auszudrücken, Polarcoordinaten
um den Punct~$p$ ein, indem wir die durch $p$ gehende
Gerade~$l$ als Axe nehmen, und dann unter~$\vartheta$, wie vorher, den
Winkel des Leitstrahles mit der Axe verstehen, und mit $\varphi$ den
Winkel bezeichnen, welchen die durch die Axe und den Leitstrahl
gelegte Ebene mit einer anderen durch die Axe gehenden festen
Ebene bildet. Dadurch geht die Gleichung~(21) über in:
\[
\tag{22}
L = - \epsilon k \iint (± R_1 \mp R_2 ± \text{etc.})
      \cos\vartheta \sin\vartheta\, d\vartheta\, d\varphi.
\]
Hierin wollen wir unsere Aufmerksamkeit zunächst nur auf das
Integral nach $\vartheta$ richten, welches wir der Kürze wegen durch einen
einfachen Buchstaben bezeichnen wollen, indem wir setzen:
\[
\tag{23}
J = \int (± R_1 \mp R_2 ± \text{etc.}) \cos\vartheta \sin\vartheta\, d\vartheta.
\]

Dieses Integral bezieht sich auf die Curve, in welcher eine
durch die Axe gelegte und nach der durch den Winkel~$\varphi$ bestimmten
Richtung gehende Ebene die Oberfläche des Körpers schneidet, und
es ist für unseren Zweck vortheilhaft, das Bogenelement~$ds$ dieser
Curve statt des Winkelelementes~$d\vartheta$ anzuwenden. Wenn an der
Stelle, von wo aus wir die Länge~$s$ des Bogens rechnen wollen,
der Leitstrahl die Oberfläche in der Richtung \Emphasis{von innen nach
aussen} durchschneidet, so nehmen wir $s$ nach der Seite hin als
wachsend an, wohin $\vartheta$ wächst, im anderen Falle umgekehrt, so
dass $\dfrac{d\vartheta}{ds}$ im ersteren Falle positiv, im letzteren negativ ist. Wenn
dann die Curve in ihrem weiteren Verlaufe sich so biegt, dass die
%% -----File: 186.png---Folio 172-------
Durchschnittsrichtung des Leitstrahles sich umkehrt, so macht es
sich von selbst, dass an derselben Stelle auch $\dfrac{d\vartheta}{ds}$ sein Vorzeichen
ändert. Demnach hat $\dfrac{d\vartheta}{ds}$ immer dasselbe Vorzeichen, mit welchem
der zu diesem Bogenelemente gehörige Leitstrahl~$R$ in der vorigen
Gleichung zu nehmen ist, und man kann daher statt $± R\, d\vartheta$ schreiben
$R\, \dfrac{d\vartheta}{ds}\, ds$. Da ferner zu jedem Elementarwinkel~$d\vartheta$ gerade so
viele Bogenelemente~$ds$ gehören, als die vorige Gleichung verschiedene
Werthe von $R$ enthält, so geht die Gleichung über in:
\[
\tag{24}
J = \int R \cos\vartheta \sin\vartheta\, \frac{d\vartheta}{ds}\, ds,
\]
worin $R$~und~$\vartheta$, da der Winkel~$\varphi$ bei der Integration constant ist,
als Functionen von $s$ zu betrachten sind.

Wir wollen nun den zu integrirenden Ausdruck in zwei Factoren
zerlegen, welche in der folgenden Gleichung durch einen
Punct von einander getrennt sind:
\[
J = \int R \sin\vartheta \mathbin{.} \cos\vartheta\, \frac{d\vartheta}{ds}\, ds,
\]
und auf dieses Product wollen wir die Methode der theilweisen
Integration anwenden. Da das Integral von $\cos\vartheta\, \dfrac{d\vartheta}{ds}\, ds$ einfach
$\sin\vartheta$ ist, so erhalten wir, wenn wir die Grenzwerthe von $R$ und~$\vartheta$
mit $R'$,~$\vartheta'$ und $R''$,~$\vartheta''$ bezeichnen:
\[
\tag{25}
J = R'' \sin^2 \vartheta'' - R' \sin^2 \vartheta'
  - \int \sin\vartheta\, \frac{d(R \sin{\vartheta})}{ds}\, ds.
\]
Die beiden ersten Glieder dieses Ausdruckes sind entweder gleich
Null, oder, wenn sie angebbare Werthe haben, so heben sie sich
gegenseitig auf. Da nämlich unsere Integration von der geschlossenen
Durchschnittscurve, welche die Ebene mit der Körperoberfläche
bildet, nur den Theil umfassen soll, welcher an der einen Seite der
Axe liegt (denn die nach der entgegengesetzten Seite der Axe
gehende andere Hälfte derselben Ebene entspricht einem anderen
Werthe von~$\varphi$, der um $180°$ von dem hier angenommenen verschieden
ist), so sind in Bezug auf die Grenzen der Integration zwei
%% -----File: 187.png---Folio 173-------
Fälle möglich. 1)~Wenn von der Curve nur ein Stück an der
einen Seite der Axe liegt, so liegen die beiden Endpuncte dieses
Stückes in der Axe selbst, und die Grenzwerthe $\vartheta'$~und~$\vartheta''$ des
Winkels~$\vartheta$ sind daher entweder $0$ oder~$\pi$, woraus folgt, dass $\sin\vartheta'$
und~$\sin\vartheta''$, und mit ihnen jene beiden Glieder einzeln gleich Null
werden. 2)~Wenn die ganze geschlossene Curve an der einen Seite
der Axe liegt, so fällt ihr Endpunct mit dem Anfangspuncte zusammen.
Die beiden Grenzwerthe sowohl von $R$ als auch von $\vartheta$
sind also unter einander gleich, und jene beiden Glieder heben sich
gegenseitig auf. Es kann auch vorkommen, dass die beiden erwähnten
Fälle zugleich stattfinden oder einer von ihnen sich mehrmals
wiederholt, da die Durchschnittscurve einer Ebene mit der
Körperoberfläche aus mehreren in sich geschlossenen Theilen bestehen
kann; aber dadurch wird an dem Resultate, dass die beiden
ersten Glieder des vorigen Ausdruckes fortfallen, nichts geändert.
Es bleibt also nur das letzte Glied zu betrachten, und wenn wir
dieses noch dadurch abändern, dass wir unter dem Integralzeichen
mit $R$ multipliciren und dividiren, so kommt:
\[
\tag{26}
J = -\int \frac{R \sin\vartheta\, \dfrac{d(R \sin{\vartheta})}{ds}\, ds}{R}.
\]

Dieser Ausdruck muss nun noch, um den vollständigen Ausdruck
von $L$ zu erhalten, gemäss der Gleichung~(22), mit $d\varphi$ multiplicirt
und mit dem zweiten Integralzeichen und dem Factor~$-\epsilon k$
versehen werden. Es kommt also:
\[
\tag{27}
L = \epsilon k \iint \frac{R \sin\vartheta\, \dfrac{d(R \sin{\vartheta})}{ds}\, ds\, d\varphi}{R}.
\]
Der Zähler des Bruches, welcher hier unter dem Integralzeichen
steht, hat eine einfache geometrische Bedeutung. Das Product
$R \sin\vartheta$ ist die Projection des Leitstrahles~$R$ auf eine auf der Axe
senkrechte Ebene, und demnach ist, wie man leicht sieht, der ganze
Zähler seinem absoluten Werthe nach die auf dieselbe Ebene bezogene
Projection desjenigen Elementes der Oberfläche, welches den
Elementen $ds$~und~$d\varphi$ entspricht, welche Projection, abgesehen vom
Vorzeichen, durch $\cos\nu \mathbin{.} d\omega$ dargestellt wird, wenn $d\omega$ das Oberflächenelement,
%% -----File: 188.png---Folio 174-------
und $\nu$ den Winkel zwischen der darauf errichteten
Normale und der Axe bedeutet. Was die Vorzeichen anbetrifft, so
kann man sich durch eine nähere Betrachtung des Gegenstandes
leicht davon überzeugen, dass in Folge dessen, was über den Sinn,
in welchem $s$ als wachsend angenommen wird, gesagt ist, die Grösse
$\dfrac{d(R \sin \vartheta)}{ds}$, welche allein in jenem Zähler ihr Vorzeichen ändern
kann, immer dasselbe Vorzeichen hat, wie $\cos\nu$, wobei ich daran
erinnern will, dass die Normale, auf welche sich der Winkel~$\nu$ bezieht,
immer in der Richtung vom Körper nach aussen hin betrachtet
wird. Man kann also schreiben:
\[
R \sin \vartheta\, \frac{ d(R \sin\vartheta)}{ds}\, ds\, d\phi
  = \cos\nu \mathbin{.} d\omega,
\]
und dadurch geht die vorige Gleichung über in:
\[
\tag{28}
L = \epsilon k \int \frac{\cos\nu}{R}\, d\omega.
\]
Diese Gleichung enthält an der rechten Seite den gesuchten Ausdruck
der in die $l$-Richtung fallenden Kraftcomponente~$L$.

Um hieraus den Ausdruck der in die $x$-Richtung fallenden
Kraftcomponente~$X$ zu erhalten, brauchen wir nur für $\cos\nu$ das
Zeichen~$\alpha$ zu setzen, welches wir oben für den Cosinus des Winkels,
welchen die auf $d\omega$ errichtete Normale mit der $x$-Richtung
bildet, angewandt haben. Es kommt also:
\[
\tag{29}
X = \epsilon k \int \frac{\alpha}{R}\, d\omega.
\]
Aus der Vergleichung dieses hier gewonnenen Ausdruckes von $X$
mit dem früher gewonnenen und oben unter~(18) angeführten ergiebt
sich die Gleichung:
\[
\tag{30}
\int \left(\frac{ai}{R} + \frac{\alpha}{R}\right) d\omega = 0,
\]
mit Hülfe deren sich die Gleichungen (17)~und~(18) mit~(19) in
Uebereinstimmung bringen lassen.

Da es übrigens nach der Potentialtheorie als selbstverständlich
%% -----File: 189.png---Folio 175-------
anzusehen ist, dass die Kraftcomponente~$X$ gleich $-\dfrac{\partial V}{\partial x}$ sein muss,
so könnte man auch die Schlussweise umkehren, und die in (17)~und~(18)
an der rechten Seite stehenden Ausdrücke, nach Abänderung
des Vorzeichens eines derselben, ohne Weiteres einander
gleich setzen, also:
\[
\frac{\epsilon k }{2} \int \left(\frac{ai}{R} - \frac{\alpha}{R}\right) d\omega
  = \epsilon k \int \frac{ai}{R}\, d\omega,
\]
wodurch man sofort, ohne die vorher angestellten etwas weitläufigen
Betrachtungen, zu der geometrisch interessanten, für jede geschlossene
Fläche geltenden Gleichung~(30) gelangen würde.

\begin{center}
\tb
\end{center}

% [** TN: Title heading in orig. reads "Beweis des in § 29, S. 74..."]
\Appendix{Zusatz II.}{Beweis des in § 29 angeführten Satzes.}

Es sei in einer Ebene eine geschlossene Curve gegeben. Die
Ebene möge als $xy$-Ebene eines rechtwinkligen Raumcoordinaten-Systemes
genommen werden. Es sei ferner ein beliebiger Punct~$p$
im Raum mit den Coordinaten $x$,~$y$,~$z$ gegeben, und von diesem
ein Perpendikel auf die Ebene gefällt. Betrachten wir nun irgend
einen Punct der Curve, dessen Coordinaten $\xi'$~und~$\eta'$ heissen mögen,
so soll sein Abstand vom Puncte~$p$ mit~$R$, und der in der Ebene
vom Fusspuncte des Perpendikels aus nach ihm gezogene Leitstrahl
mit $U$ bezeichnet werden. Errichtet man an diesem Puncte auf
der Curve eine in der Ebene liegende, nach auswärts gehende Normale,
so soll der Cosinus des Winkels, welchen diese Normale mit
der $x$-Axe bildet, mit~$\alpha'$, und der Cosinus des Winkels, welchen
sie mit der Verlängerung des Leitstrahles~$U$ bildet, mit $i'$ bezeichnet
werden. Nennt man dann noch ein an dem betreffenden Puncte
genommenes Bogenelement der Curve~$ds$, so soll bewiesen werden,
dass folgende Gleichung stattfindet:
\[
\tag{1}
\int \left[ \frac{(R^2 + z^2)(\xi' - x)}{RU^3}\, i'
  - \frac{z^2}{RU^2}\, \alpha' \right] ds = 0,
\]
worin das Integral über die ganze geschlossene Curve zu nehmen ist.
%% -----File: 190.png---Folio 176-------

Setzen wir zur Abkürzung:
\[
\tag{2}
\left\{
\begin{aligned}
P &= \frac{(R^2 + z^2)(\xi' - x)}{RU^3}\, i'\\
Q &= \frac{z^2}{RU^2}\, \alpha',
\end{aligned}
\right.
\]
so lautet die zu beweisende Gleichung:
\[
\tag{3}
\int (P - Q)\, ds = 0.
\]

Es möge nun der Winkel, welchen der Leitstrahl~$U$ mit der
$x$-Axe bildet, mit~$\varphi$, und das dem Bogenelemente~$ds$ entsprechende
Element dieses Winkels mit $d\varphi$ bezeichnet werden; dann ist, wie
man leicht sieht, und wie es auch schon in der Gleichung~(98) §~28
ausgedrückt wurde:
\[
i'\, ds = ± U\, d\varphi.
\]
Hierin ist, wenn $ds$~und~$d\varphi$ beide als positiv betrachtet werden,
das obere oder untere Vorzeichen anzuwenden, jenachdem $i'$ positiv
oder negativ ist, \dh\ jenachdem der Leitstrahl~$U$, indem er wächst,
den Umfang in der Richtung von innen nach aussen oder von
aussen nach innen durchschneidet. Nimmt man aber an, dass,
während man von irgend einem Anfangspuncte aus in einem gewissen
Sinne in der Curve herumgeht, der Bogen~$s$ immer wachsen
soll, und betrachtet dabei zugleich den Winkel~$\varphi$ als Function von~$s$,
so kann der Differentialcoefficient $\dfrac{d\varphi}{ds}$ sowohl positiv, als negativ
sein, und zwar ändert er an denselben Stellen der Curve sein Vorzeichen,
wo der mit $i'$ bezeichnete Cosinus sein Vorzeichen ändert.
Lässt man also $s$ in dem Sinne wachsen, dass der Differentialcoefficient
$\dfrac{d\varphi}{ds}$ an irgend einer Stelle der Curve gleiches Vorzeichen
mit $i'$ hat, so haben diese beiden Grössen auch überall gleiche Vorzeichen,
und man kann daher in der vorigen Gleichung von den
beiden äusserlich hinzugefügten Vorzeichen ein für alle Mal das
obere anwenden, und somit folgende Gleichung bilden:
\[
\tag{4}
i' = U\, \frac{d\varphi}{ds}.
\]

Ferner ist $\alpha'\, ds$, abgesehen vom Vorzeichen, die Veränderung,
%% -----File: 191.png---Folio 177-------
welche die Coordinate~$\eta'$ eines in der Curve beweglichen Punctes
erleidet, während dieser das Bogenelement~$ds$ durchläuft. Da nun
die Gleichung
\[
\eta' - y = U \sin\varphi
\]
gilt, worin $y$ dem Obigen nach eine durch die Lage des Punctes~$p$
im Voraus gegebene Grösse ist, so hat man:
\[
d\eta' = d(U \sin\varphi)
\]
und demnach kann man schreiben:
\[
\alpha'\, ds = ± d(U \sin\varphi).
\]
Was das Vorzeichen anbetrifft, so überzeugt man sich leicht durch
einfache geometrische Betrachtungen, dass auch in dieser Gleichung,
wenn man den Bogen~$s$ in dem vorher festgesetzten Sinne als
wachsend annimmt, überall das obere Vorzeichen anzuwenden ist,
und man kann daher folgende Gleichung bilden:
\[
\tag{5}
\alpha' = \frac{d(U \sin\varphi)}{ds}.
\]

Setzen wir die in (4)~und~(5) gegebenen Werthe von $i'$ und~$\alpha'$
in den Gleichungen~(2) ein, und schreiben zugleich für die
Differenz $\xi' - x$ ihren Werth~$U \cos\varphi$, so erhalten wir:
\begin{align*} %[** TN: Aligning on = signs]
P &= \frac{R^2 + z^2}{RU} \cos\varphi\, \frac{d\varphi}{ds} \\
Q &= \frac{z^2}{RU^2} · \frac{d(U \sin\varphi)}{ds} \\
  &= \frac{z^2}{RU^2} \sin\varphi\, \frac{dU}{ds}
   + \frac{z^2}{RU} \cos\varphi\, \frac{d\varphi}{ds},
\end{align*}
und demnach:
\[
\tag{6}
P - Q = \frac{R}{U} \cos\varphi\, \frac{d\varphi}{ds}
  - \frac{z^2}{RU^2} \sin\varphi\, \frac{dU}{ds}.
\]
Hierin lassen sich die beiden Glieder an der rechten Seite in der
Weise umgestalten, dass sie in einen Differentialcoefficienten zusammengezogen
werden können. Bedenkt man, dass
\[
R = \sqrt{U^2 + z^2},
\]
worin $z$ von $s$ unabhängig ist, und daher
\[
\frac{dR}{ds} = \frac{U}{R} · \frac{dU}{ds},
\]
%% -----File: 192.png---Folio 178-------
so erhält man:
\begin{align*}
\frac{d\left(\dfrac{R}{U}\right)}{ds}
  &= \frac{1}{R} · \frac{dU}{ds} - \frac{R}{U^2} · \frac{dU}{ds} \\
  &= \frac{U^2 - R^2}{RU^2} · \frac{dU}{ds} \\
  &= - \frac{z^2}{RU^2} · \frac{dU}{ds}.
\end{align*}
Wendet man diese Gleichung auf das zweite an der rechten Seite
stehende Glied der Gleichung~(6) an, und setzt zugleich im ersten
Gliede:
\[
\cos\varphi\, \frac{d\varphi}{ds} = \frac{d\sin\varphi}{ds},
\]
so kommt:
\[
P - Q = \frac{R}{U} · \frac{d\sin\varphi}{ds}
  + \sin\varphi\, \frac{d\left(\dfrac{R}{U}\right)}{ds},
\]
oder zusammengezogen:
\[
\tag{7}
P - Q = \frac{d\left(\dfrac{R}{U} \sin\varphi\right)}{ds}.
\]

Demnach nimmt das in den Gleichungen (3)~und~(1) enthaltene
Integral folgende einfache Gestalt an:
\[
\int \frac{d\left(\dfrac{R}{U} \sin\varphi\right)}{ds}\, ds.
\]
Hierin lässt sich die Integration ohne Weiteres ausführen, und giebt,
wenn wir die Grenzwerthe des Integrales durch die Indices $0$~und~$1$
andeuten:
\[
\left(\frac{R}{U} \sin\varphi\right)_1 - \left(\frac{R}{U} \sin\varphi\right)_0.
\]
Für eine geschlossene Curve, bei welcher der Anfang und das Ende
des Bogens in einen und denselben Punct zusammenfallen, sind
beide Grenzwerthe gleich und heben sich auf, und die zu beweisende
Gleichung~(1) ist somit erfüllt.

\ctb
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Rudolf Clausius

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Section 5.  General Information About Project Gutenberg-tm electronic
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Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm
concept of a library of electronic works that could be freely shared
with anyone.  For thirty years, he produced and distributed Project
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unless a copyright notice is included.  Thus, we do not necessarily
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\end{PGtext}

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
%                                                                         %
% End of the Project Gutenberg EBook of Die Potentialfunction und das Potential, by 
% Rudolf Clausius                                                         %
%                                                                         %
% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK DIE POTENTIALFUNCTION ***       %
%                                                                         %
% ***** This file should be named 32634-t.tex or 32634-t.zip *****        %
% This and all associated files of various formats will be found in:      %
%         http://www.gutenberg.org/3/2/6/3/32634/                         %
%                                                                         %
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %

\end{document}

###
@ControlwordReplace = (
  ['\\dh', 'd.h.'],
  ['\\zB', 'z.B.'],
  ['\\TableofContents', '']
  );

@ControlwordArguments = (
  ['\\Chapter', 1, 1, '', ''],
  ['\\Section', 1, 1, '', ' ', 1, 1, '', ''],
  ['\\SubSection', 1, 1, '', '. ', 1, 1, '', ''],
  ['\\Appendix', 1, 1, '', ' ', 1, 1, '', ''],
  ['\\DPtypo', 1, 0, '', '', 1, 1, '', '']
  );
###
This is pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6) (format=pdflatex 2010.5.6)  1 JUN 2010 00:41
entering extended mode
 %&-line parsing enabled.
**32634-t.tex
(./32634-t.tex
LaTeX2e <2005/12/01>
Babel <v3.8h> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh
yphenation, arabic, farsi, croatian, ukrainian, russian, bulgarian, czech, slov
ak, danish, dutch, finnish, basque, french, german, ngerman, ibycus, greek, mon
ogreek, ancientgreek, hungarian, italian, latin, mongolian, norsk, icelandic, i
nterlingua, turkish, coptic, romanian, welsh, serbian, slovenian, estonian, esp
eranto, uppersorbian, indonesian, polish, portuguese, spanish, catalan, galicia
n, swedish, ukenglish, pinyin, loaded.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/book.cls
Document Class: book 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/leqno.clo
File: leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/bk12.clo
File: bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
)
\c@part=\count79
\c@chapter=\count80
\c@section=\count81
\c@subsection=\count82
\c@subsubsection=\count83
\c@paragraph=\count84
\c@subparagraph=\count85
\c@figure=\count86
\c@table=\count87
\abovecaptionskip=\skip41
\belowcaptionskip=\skip42
\bibindent=\dimen102
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty
Package: inputenc 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
\inpenc@prehook=\toks14
\inpenc@posthook=\toks15
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/latin1.def
File: latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/fontenc.sty
Package: fontenc 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1enc.def
File: t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding T1 on input line 43.
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ifthen.sty
Package: ifthen 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.sty
Package: babel 2005/11/23 v3.8h The Babel package
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/greek.ldf
Language: greek 2005/03/30 v1.3l Greek support from the babel system
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.def
File: babel.def 2005/11/23 v3.8h Babel common definitions
\babel@savecnt=\count88
\U@D=\dimen103
) Loading the definitions for the Greek font encoding (/usr/share/texmf-texlive
/tex/generic/babel/lgrenc.def
File: lgrenc.def 2001/01/30 v2.2e Greek Encoding
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/germanb.ldf
Language: germanb 2004/02/19 v2.6k German support from the babel system
\l@austrian = a dialect from \language\l@german 
Package babel Info: Making " an active character on input line 91.
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features
\@mathmargin=\skip43
For additional information on amsmath, use the `?' option.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty
Package: amstext 2000/06/29 v2.01
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0
\@emptytoks=\toks16
\ex@=\dimen104
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d
\pmbraise@=\dimen105
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names
)
\inf@bad=\count89
LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211.
\uproot@=\count90
\leftroot@=\count91
LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307.
\classnum@=\count92
\DOTSCASE@=\count93
LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379.
LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382.
LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467.
\Mathstrutbox@=\box26
\strutbox@=\box27
\big@size=\dimen106
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OML on input line 567.
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OMS on input line 568.
\macc@depth=\count94
\c@MaxMatrixCols=\count95
\dotsspace@=\muskip10
\c@parentequation=\count96
\dspbrk@lvl=\count97
\tag@help=\toks17
\row@=\count98
\column@=\count99
\maxfields@=\count100
\andhelp@=\toks18
\eqnshift@=\dimen107
\alignsep@=\dimen108
\tagshift@=\dimen109
\tagwidth@=\dimen110
\totwidth@=\dimen111
\lineht@=\dimen112
\@envbody=\toks19
\multlinegap=\skip44
\multlinetaggap=\skip45
\mathdisplay@stack=\toks20
LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666.
LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
Package: amsfonts 2001/10/25 v2.2f
\symAMSa=\mathgroup4
\symAMSb=\mathgroup5
LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
(Font)                  U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132.
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/alltt.sty
Package: alltt 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/calc.sty
Package: calc 2005/08/06 v4.2 Infix arithmetic (KKT,FJ)
\calc@Acount=\count101
\calc@Bcount=\count102
\calc@Adimen=\dimen113
\calc@Bdimen=\dimen114
\calc@Askip=\skip46
\calc@Bskip=\skip47
LaTeX Info: Redefining \setlength on input line 75.
LaTeX Info: Redefining \addtolength on input line 76.
\calc@Ccount=\count103
\calc@Cskip=\skip48
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/indentfirst.sty
Package: indentfirst 1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/footmisc/footmisc.sty
Package: footmisc 2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities
\FN@temptoken=\toks21
\footnotemargin=\dimen115
\c@pp@next@reset=\count104
\c@@fnserial=\count105
Package footmisc Info: Declaring symbol style bringhurst on input line 817.
Package footmisc Info: Declaring symbol style chicago on input line 818.
Package footmisc Info: Declaring symbol style wiley on input line 819.
Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport-robust on input line 823.

Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport* on input line 831.
Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport*-robust on input line 840
.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphicx.sty
Package: graphicx 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty
Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
\KV@toks@=\toks22
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphics.sty
Package: graphics 2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/trig.sty
Package: trig 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
) (/etc/texmf/tex/latex/config/graphics.cfg
File: graphics.cfg 2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
)
Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 90.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def
File: pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
\Gread@gobject=\count106
))
\Gin@req@height=\dimen116
\Gin@req@width=\dimen117
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/fancyhdr/fancyhdr.sty
\fancy@headwidth=\skip49
\f@ncyO@elh=\skip50
\f@ncyO@erh=\skip51
\f@ncyO@olh=\skip52
\f@ncyO@orh=\skip53
\f@ncyO@elf=\skip54
\f@ncyO@erf=\skip55
\f@ncyO@olf=\skip56
\f@ncyO@orf=\skip57
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/geometry/geometry.sty
Package: geometry 2002/07/08 v3.2 Page Geometry
\Gm@cnth=\count107
\Gm@cntv=\count108
\c@Gm@tempcnt=\count109
\Gm@bindingoffset=\dimen118
\Gm@wd@mp=\dimen119
\Gm@odd@mp=\dimen120
\Gm@even@mp=\dimen121
\Gm@dimlist=\toks23
(/usr/share/texmf-texlive/tex/xelatex/xetexconfig/geometry.cfg)) (/usr/share/te
xmf-texlive/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
Package: hyperref 2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX
\@linkdim=\dimen122
\Hy@linkcounter=\count110
\Hy@pagecounter=\count111
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/pd1enc.def
File: pd1enc.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
) (/etc/texmf/tex/latex/config/hyperref.cfg
File: hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty
Package: kvoptions 2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (
HO)
)
Package hyperref Info: Option `hyperfootnotes' set `false' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `bookmarks' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `linktocpage' set `false' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `pdfdisplaydoctitle' set `true' on input line 223
8.
Package hyperref Info: Option `pdfpagelabels' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `bookmarksopen' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `colorlinks' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 2288.
Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 2293.
Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 2296.
Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 2303.
Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 2308.
Implicit mode ON; LaTeX internals redefined
Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 2444.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/url.sty
\Urlmuskip=\muskip11
Package: url 2005/06/27  ver 3.2  Verb mode for urls, etc.
)
LaTeX Info: Redefining \url on input line 2599.
\Fld@menulength=\count112
\Field@Width=\dimen123
\Fld@charsize=\dimen124
\Choice@toks=\toks24
\Field@toks=\toks25
Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 3102.
Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 3107.
Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 3110.
Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 3117.
Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 3120.
\Hy@abspage=\count113
\c@Item=\count114
)
*hyperref using driver hpdftex*
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hpdftex.def
File: hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX
\Fld@listcount=\count115
)
\c@Chapter=\count116
\TmpLen=\skip58
(./32634-t.aux)
\openout1 = `32634-t.aux'.

LaTeX Font Info:    Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 410.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 410.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 410.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 410.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 410.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 410.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 410.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 410.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 410.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 410.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 410.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 410.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for LGR/cmr/m/n on input line 410.
LaTeX Font Info:    Try loading font information for LGR+cmr on input line 410.

(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/lgrcmr.fd
File: lgrcmr.fd 2001/01/30 v2.2e Greek Computer Modern
)
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 410.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 410.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 410.
(/usr/share/texmf/tex/context/base/supp-pdf.tex
[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).]
\scratchcounter=\count117
\scratchdimen=\dimen125
\scratchbox=\box28
\nofMPsegments=\count118
\nofMParguments=\count119
\everyMPshowfont=\toks26
\MPscratchCnt=\count120
\MPscratchDim=\dimen126
\MPnumerator=\count121
\everyMPtoPDFconversion=\toks27
)
-------------------- Geometry parameters
paper: class default
landscape: --
twocolumn: --
twoside: true
asymmetric: --
h-parts: 36.135pt, 361.34999pt, 36.13501pt
v-parts: 13.98709pt, 543.19225pt, 20.98065pt
hmarginratio: 1:1
vmarginratio: 2:3
lines: --
heightrounded: --
bindingoffset: 0.0pt
truedimen: --
includehead: true
includefoot: true
includemp: --
driver: pdftex
-------------------- Page layout dimensions and switches
\paperwidth  433.62pt
\paperheight 578.15999pt
\textwidth  361.34999pt
\textheight 481.31845pt
\oddsidemargin  -36.135pt
\evensidemargin -36.13498pt
\topmargin  -58.2829pt
\headheight 12.0pt
\headsep    19.8738pt
\footskip   30.0pt
\marginparwidth 98.0pt
\marginparsep   7.0pt
\columnsep  10.0pt
\skip\footins  10.8pt plus 4.0pt minus 2.0pt
\hoffset 0.0pt
\voffset 0.0pt
\mag 1000
\@twosidetrue \@mparswitchtrue 
(1in=72.27pt, 1cm=28.45pt)
-----------------------
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/color.sty
Package: color 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
(/etc/texmf/tex/latex/config/color.cfg
File: color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
)
Package color Info: Driver file: pdftex.def on input line 130.
)
Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 410.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/nameref.sty
Package: nameref 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/refcount.sty
Package: refcount 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO)
)
\c@section@level=\count122
)
LaTeX Info: Redefining \ref on input line 410.
LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 410.
(./32634-t.out) (./32634-t.out)
\@outlinefile=\write3
\openout3 = `32634-t.out'.

LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+cmtt on input line 422.

(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1cmtt.fd
File: t1cmtt.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msa on input line 444.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msb on input line 444.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
) [1

{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2

] [1


] <./images/pubmark.pdf, id=65, 469.755pt x 280.04625pt>
File: ./images/pubmark.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/pubmark.pdf> [2

 <./images/pubmark.pdf>] [3] [4


] [5] (./32634-t.toc [6


] [7] [8])
\tf@toc=\write4
\openout4 = `32634-t.toc'.

[9] [1



] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] 
[19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34]
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[83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98]
[99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [1
12] [113]
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+euf on input line 5528.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/ueuf.fd
File: ueuf.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
) [114] [115] [116] [117] [118]
Overfull \hbox (2.51262pt too wide) in paragraph at lines 5745--5748
\T1/cmr/m/n/12 Diese drei Glei-chun-gen (142), (143) und (144) drücken den \T1/
cmr/m/sc/12 Green\T1/cmr/m/n/12 'schen
 []

[119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [
132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [1
45] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153


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[]\T1/cmtt/m/n/9 End of the Project Gutenberg EBook of Die Potentialfunction un
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l.9316 \end{document}
                      [9] (./32634-t.aux)

 *File List*
    book.cls    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
   leqno.clo    1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers)
    bk12.clo    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
inputenc.sty    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
  latin1.def    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
 fontenc.sty
   t1enc.def    2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
  ifthen.sty    2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
   babel.sty    2005/11/23 v3.8h The Babel package
   greek.ldf    2005/03/30 v1.3l Greek support from the babel system
  lgrenc.def    2001/01/30 v2.2e Greek Encoding
 germanb.ldf    2004/02/19 v2.6k German support from the babel system
 amsmath.sty    2000/07/18 v2.13 AMS math features
 amstext.sty    2000/06/29 v2.01
  amsgen.sty    1999/11/30 v2.0
  amsbsy.sty    1999/11/29 v1.2d
  amsopn.sty    1999/12/14 v2.01 operator names
 amssymb.sty    2002/01/22 v2.2d
amsfonts.sty    2001/10/25 v2.2f
   alltt.sty    1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
    calc.sty    2005/08/06 v4.2 Infix arithmetic (KKT,FJ)
indentfirst.sty    1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC)
footmisc.sty    2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities
graphicx.sty    1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
  keyval.sty    1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
graphics.sty    2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
    trig.sty    1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
graphics.cfg    2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
  pdftex.def    2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
fancyhdr.sty    
geometry.sty    2002/07/08 v3.2 Page Geometry
geometry.cfg
hyperref.sty    2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX
  pd1enc.def    2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
hyperref.cfg    2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
kvoptions.sty    2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (HO
)
     url.sty    2005/06/27  ver 3.2  Verb mode for urls, etc.
 hpdftex.def    2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX
  lgrcmr.fd    2001/01/30 v2.2e Greek Computer Modern
supp-pdf.tex
   color.sty    2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
   color.cfg    2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
 nameref.sty    2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section
refcount.sty    2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO)
 32634-t.out
 32634-t.out
  t1cmtt.fd    1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
    umsa.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
    umsb.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
./images/pubmark.pdf
    ueuf.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
 ***********

 ) 
Here is how much of TeX's memory you used:
 5971 strings out of 94074
 75315 string characters out of 1165154
 150180 words of memory out of 1500000
 8547 multiletter control sequences out of 10000+50000
 32745 words of font info for 81 fonts, out of 1200000 for 2000
 648 hyphenation exceptions out of 8191
 27i,19n,45p,317b,505s stack positions out of 5000i,500n,6000p,200000b,5000s
 </home/widger/.texmf-var/fonts/pk/ljfour/public/cb/grmn1200.600pk>{/usr/shar
e/texmf/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc}</usr/share/texmf-texlive/font
s/type1/bluesky/cm/cmex10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/
cmmi10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi12.pfb></usr/sh
are/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fo
nts/type1/bluesky/cm/cmr10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm
/cmr12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr6.pfb></usr/shar
e/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts
/type1/bluesky/cm/cmr8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cms
y10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy6.pfb></usr/share/
texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/
type1/bluesky/cm/cmsy8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/ams/eu
fm10.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1000.pfb></usr/share
/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/p
ublic/cm-super/sfbx1440.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1
728.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx2074.pfb></usr/share/
texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx2488.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/pu
blic/cm-super/sfcc1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfcc12
00.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm0700.pfb></usr/share/t
exmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm0800.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/pub
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.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfxc1200.pfb>
Output written on 32634-t.pdf (219 pages, 1055358 bytes).
PDF statistics:
 1642 PDF objects out of 1728 (max. 8388607)
 579 named destinations out of 1000 (max. 131072)
 94 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)

